统计代写|The Correlation 抽样理论代考
统计代写
- Let $Z_{1}$ and $Z_{2}$ be two independent standard normal random variables. Let $\sigma_{1}>$ $0, \sigma_{2}>0,-1<\rho<1, \mu_{1}$, and $\mu_{2}$ be real numbers. Define
$$
X_{1}=\sigma_{1} Z_{1}+\mu_{1} \text { and } X_{2}=\sigma_{2} \rho Z_{1}+\sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}} Z_{2}+\mu_{2}
$$
Then, $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ is said to have a bivariate normal distribution with parameters $\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}, \sigma_{2}$, and $\rho$. - Assume $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ is a bivariate normal vector with parameters $\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}, \sigma_{2}$, and $\rho$. Then $X_{1}$ is normally distributed with mean $\mu_{1}$ and variance $\sigma_{1}^{2}$ and $X_{2}$ is normally distributed with mean $\mu_{2}$ and variance $\sigma_{2}^{2}$.
It is easy to see that $X_{1}$ is normally distributed as a linear transformation of a normal random variable $Z_{1}$. The fact that $X_{2}$ is normally distributed comes from the following property of the normal distribution. A linear combination of two independent normal variables is also normal. This will be proved in the moment random variables $Z_{1}$ and $Z_{2}, X_{2}$ is also normally distributed.
We will show the following properties of a bivariate normal: - Consider a bivariate random vector $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ as defined above. Then, $E\left(X_{1}\right)=$ $\mu_{1}, E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}, \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)=\sigma_{1}^{2}, \operatorname{Var}\left(X_{2}\right)=\sigma_{2}^{2}$, and the correlation of $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ is $\rho$.
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We now perform these computations. We will use that $Z_{1}$ and $Z_{2}$ are independent, $E\left(Z_{1}\right)=E\left(Z_{2}\right)=0$, and $\operatorname{Var}\left(Z_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(Z_{2}\right)=1$. Note that these
(C) Springer Nature Switzerland AG 2022 R. B. Schinazi, Probability with Statistical Applications,
Using that $E\left(Z_{1}\right)=E\left(Z_{2}\right)=0$ and the linearity of the expectation it is easy to that $E\left(X_{1}\right)=\mu_{1}$ and $E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}$. This is left to the reader. Using that the variance is shift invariant and is quadratic, $$ \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(\sigma_{1} Z_{1}+\mu_{1}\right) $$ $$ =\operatorname{Var}\left(\sigma_{1} Z_{1}\right) $$ $$ =\sigma_{1}^{2} \operatorname{Var}\left(Z_{1}\right) $$ $$ =\sigma_{1}^{2} $$
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computations hold for any distributions for $Z_{1}$ and $Z_{2}$. The fact that $Z_{1}$ and $Z_{2}$ are normally distributed plays no role at this point.
Using that $E\left(Z_{1}\right)=E\left(Z_{2}\right)=0$ and the linearity of the expectation it is easy to see that $E\left(X_{1}\right)=\mu_{1}$ and $E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}$. This is left to the reader.
Using that the variance is shift invariant and is quadratic,
We now turn to $\operatorname{Var}\left(X_{2}\right)$, using the independence of $Z_{1}$ and $Z_{2}$,
We now compute the covariance of $X_{1}$ and $X_{2}$. Recall that the covariance is shift $$ \begin{aligned} \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) &=\operatorname{Cov}\left(\sigma_{1} Z_{1}+\mu_{1}, \sigma_{2} \rho Z_{1}+\sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}} Z_{2}+\mu_{2}\right) \ &=\operatorname{Cov}\left(\sigma_{1} Z_{1}, \sigma_{2} \rho Z_{1}+\sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}} Z_{2}\right) \end{aligned} $$ invariant and linear in both components, hence
$$
=\sigma_{1} \sigma_{2} \rho \operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{1}\right)+\sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}} \operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{2}\right)
$$
Using now that $\operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(Z_{1}\right)=1$ and that $\operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{2}\right)=0$ we get
$$
\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=\sigma_{1} \sigma_{2} \rho
$$
By definition
- 令 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是两个独立的标准正态随机变量。令 $\sigma_{1}>$ $0, \sigma_{2}>0,-1<\rho<1, \mu_{1}$ 和 $\mu_{2}$ 为实数。定义
$$
X_{1}=\sigma_{1} Z_{1}+\mu_{1} \text { 和 } X_{2}=\sigma_{2} \rho Z_{1}+\sigma_{2} \sqrt{ 1-\rho^{2}} Z_{2}+\mu_{2}
$$
然后，$\left(X_{1}, X_{2}\right)$ 被称为具有参数 $\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}, \sigma_ 的二元正态分布{2}$ 和 $\rho$。 - 假设 $\left(X_{1}, X_{2}\right)$ 是具有参数 $\mu_{1}, \mu_{2}, \sigma_{1}, \sigma_{2} 的二元法线向量$ 和 $\rho$。那么 $X_{1}$ 正态分布，均值 $\mu_{1}$ 和方差 $\sigma_{1}^{2}$ 并且 $X_{2}$ 正态分布，均值 $\mu_{2} $ 和方差 $\sigma_{2}^{2}$。
很容易看出，$X_{1}$ 是作为正态随机变量 $Z_{1}$ 的线性变换的正态分布。 $X_{2}$ 是正态分布的事实来自正态分布的以下性质。两个独立正态变量的线性组合也是正态的。这将在随机变量 $Z_{1}$ 和 $Z_{2} 的时刻得到证明，X_{2}$ 也是正态分布的。
我们将展示二元正态的以下属性： - 考虑如上定义的二元随机向量 $\left(X_{1}, X_{2}\right)$。那么，$E\left(X_{1}\right)=$$\mu_{1}, E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}, \operatorname{Var}\left(X_ {1}\right)=\sigma_{1}^{2}，\operatorname{Var}\left(X_{2}\right)=\sigma_{2}^{2}$，以及$\的相关性left(X_{1}, X_{2}\right)$ 是 $\rho$。
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我们现在执行这些计算。我们将使用 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是独立的，$E\left(Z_{1}\right)=E\left(Z_{2}\right)=0$ 和 $ \operatorname{Var}\left(Z_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(Z_{2}\right)=1$。请注意，这些
(C) Springer Nature Switzerland AG 2022 R. B. Schinazi，概率与统计应用，
使用 $E\left(Z_{1}\right)=E\left(Z_{2}\right)=0$ 和期望的线性很容易得到 $E\left(X_{1}\右）=\mu_{1}$ 和 $E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}$。这是留给读者的。使用方差是移位不变的并且是二次的，$$ \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(\sigma_{1} Z_{1}+\mu_{ 1}\right) $$ $$ =\operatorname{Var}\left(\sigma_{1} Z_{1}\right) $$ $$ =\sigma_{1}^{2} \operatorname{Var}\左(Z_{1}\右) $$ $$ =\sigma_{1}^{2} $$
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计算适用于 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 的任何分布。 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 是正态分布的事实在这一点上没有任何作用。
使用 $E\left(Z_{1}\right)=E\left(Z_{2}\right)=0$ 和期望的线性很容易看出 $E\left(X_{1} \right)=\mu_{1}$ 和 $E\left(X_{2}\right)=\mu_{2}$。这是留给读者的。
使用方差是移位不变的并且是二次的，
我们现在转向 $\operatorname{Var}\left(X_{2}\right)$，利用 $Z_{1}$ 和 $Z_{2}$ 的独立性，
我们现在计算 $X_{1}$ 和 $X_{2}$ 的协方差。回想一下，协方差是 shift $$ \begin{aligned} \operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right) &=\operatorname{Cov}\left(\sigma_{1} Z_{ 1}+\mu_{1}, \sigma_{2} \rho Z_{1}+\sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}} Z_{2}+\mu_{2}\right ) \ &=\operatorname{Cov}\left(\sigma_{1} Z_{1}, \sigma_{2} \rho Z_{1}+\sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2 }} Z_{2}\right) \end{aligned} $$ 在两个分量中都是不变的和线性的，因此
$$
=\sigma_{1} \sigma_{2} \rho \operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{1}\right)+\sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1-\ rho^{2}} \operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{2}\right)
$$
现在使用 $\operatorname{Cov}\left(Z_{1}, Z_{1}\right)=\operatorname{Var}\left(Z_{1}\right)=1$ 和 $\operatorname{Cov }\left(Z_{1}, Z_{2}\right)=0$ 我们得到
$$
\operatorname{Cov}\left(X_{1}, X_{2}\right)=\sigma_{1} \sigma_{2} \rho
$$
根据定义
统计代考
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编码理论代写
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编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
