运筹学（Operation）是近代应用数学的一个分支。它把具体的问题进行数学抽象，然后用像是统计学、数学模型和算法等方法加以解决，以此来寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。
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运筹学代写
To this point the relation between the primal and dual programs has been simply a
formal one based on what might appear as an arbitrary definition. In this section,
however, the deeper connection between a program and its dual, as expressed by the Duality Theorem, is derived.
The proof of the Duality Theorem given in this section relies on Farkas
Lemma (Chap. 2, Sect. 2.6) and is therefore somewhat more advanced than previous
In this section it is not assumed that $\mathbf{A}$ is necessarily of full rank. The following lemma is easily established and gives us an important relation between the two problems.
Lemma 1 (Weak Duality Lemma) If $\mathbf{x}$ and $\mathbf{y}$ are feasible for (3.3) and (3.4), respectively, then $\mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \geqslant \mathbf{y}^{T} \mathbf{b}$.
Proof We have
$$
\mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \mathbf{x} \leqslant \mathbf{c}^{T} \mathbf{x}
$$
the last inequality being valid since $\mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}$ and $\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \leqslant \mathbf{c}^{T}$.
This lemma shows that a feasible vector to either problem yields a bound on the value of the other problem. The values associated with the primal are all larger than the values associated with the dual as illustrated in Fig. 3.1. Since the primal seeks a minimum and the dual seeks a maximum, each seeks to reach the other. From this we have an important corollary.
Corollary If $\mathbf{x}{0}$ and $\mathbf{y}{0}$ are feasible for (3.3) and (3.4), respectively, and if $\mathbf{c}^{T} \mathbf{x}{0}=\mathbf{y}{0}^{T} \mathbf{b}$, then $\mathbf{x}{0}$ and $\mathbf{y}{0}$ are optimal for their respective problems.
The above corollary shows that if a pair of feasible vectors can be found to the primal and dual programs with equal objective values, then these are both optimal. The Duality Theorem of linear programming states that the converse is also true, and that, in fact, the two regions in Fig. 3.1 actually have a common point; there is no “gap.”
Duality Theorem of Linear Programming If either of the problems (3.3) or (3.4) has a finite optimal solution, so does the other, and the corresponding values of the objective functions are equal. If either problem has an unbounded objective, the other problem has no feasible solution.
Proof We note first that the second statement is an immediate consequence of the Weak Duality Lemma 1. For if the primal is unbounded and $\mathbf{y}$ is feasible for the dual, we must have $\mathbf{y}^{T} \mathbf{b} \leqslant-M$ for arbitrarily large $M$, which is clearly impossible.
Second we note that although the primal and dual are not stated in symmetric form it is sufficient, in proving the first statement, to assume that the primal has a finite optimal solution and then show that the dual has a solution with the same value. This follows because either problem can be converted to standard form and because the roles of primal and dual are reversible. Essentially, we prove that if the
到目前为止，原始程序和对偶程序之间的关系只是一种基于任意定义的
正式关系。但是，在本节中，
导出了程序与其对偶之间更深层次的联系，如对偶定理所表达的那样。
本节中给出的对偶定理的证明依赖于 Farkas
引理 (第 2 章，第 2.6 节），因此比以前更先进
在本节中，不假定 $\mathbf{A}$ 一定是满秩的。以下引理很容易建立，并为我们提供了两个问题之间的重要关系。
引理 1（弱对偶引理）如果 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 对于 (3.3) 和(3.4) 分别有 $\mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \geqslant \mathbf{y}^{T} \mathbf{b}$。
证明我们有
$ $
\mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \mathbf{x} \leqslant \mathbf{c}^{T} \ mathbf{x}
$$
最后一个不等式有效，因为 $\mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}$ 和 $\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \leqslant \mathbf{c}^{T}$.
这个引理表明，任一问题的可行向量都会产生另一个问题的值的界限。与原始相关的值都大于与对偶相关的值，如图 3.1 所示。由于原始寻求最小值而对偶寻求最大值，因此每个寻求达到另一个。由此我们有一个重要的推论。
推论 如果 $\mathbf{x}{0}$ 和 $\mathbf{y}{0}$ 对于 (3.3) 和 (3.4) 是可行的)，如果 $\mathbf{c}^{T} \mathbf{x}{0}=\mathbf{y}{0}^{T} \mathbf{b}$ ，则 $\mathbf{x}{0}$ 和 $\mathbf{y}{0}$ 对于它们各自的问题是最优的。
上述推论表明，如果一对可行向量可以找到目标值相等的原始程序和对偶程序，那么它们都是最优的。线性规划的对偶定理表明反之亦然，事实上，图 3.1 中的两个区域实际上有一个共同点；没有“差距”。
线性规划的对偶定理 如果问题 (3.3) 或 (3.4) 中的任何一个有一个有限最优解，那么另一个也有一个有限最优解，并且目标函数的对应值相等。如果任何一个问题的目标是无限的，那么另一个问题就没有可行的解决方案。
证明我们首先注意到第二个陈述是弱对偶引理 1 的直接结果。因为如果原始是无限的并且 $\mathbf{y }$ 对于对偶是可行的，对于任意大的 $M$，我们必须有 $\mathbf{y}^{T} \mathbf{b} \leqslant-M$，这显然是不可能的。
其次我们注意到尽管原始和对偶不是以对称形式陈述的，但在证明第一个陈述时，假设原始具有有限最优解然后证明对偶具有相同值的解就足够了。这是因为任何一个问题都可以转换为标准形式，并且原始和对偶的角色是可逆的。本质上，我们证明如果
到目前为止，原始程序和对偶程序之间的关系只是一种基于任意定义的
正式关系。但是，在本节中，
导出了程序与其对偶之间更深层次的联系，如对偶定理所表达的那样。
本节中给出的对偶定理的证明依赖于 Farkas
引理 (第 2 章，第 2.6 节），因此比以前更先进
到目前为止，原始程序和对偶程序之间的关系只是一种基于任意定义的
正式关系。但是，在本节中，
导出了程序与其对偶之间更深层次的联系，如对偶定理所表达的那样。
本节中给出的对偶定理的证明依赖于 Farkas
引理 (第 2 章，第 2.6 节），因此比以前更先进
在本节中，不假定 $\mathbf{A}$ 一定是满秩的。以下引理很容易建立，并为我们提供了两个问题之间的重要关系。
引理 1（弱对偶引理）如果 $\mathbf{x}$ 和 $\mathbf{y}$ 对于 (3.3) 和(3.4) 分别有 $\mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \geqslant \mathbf{y}^{T} \mathbf{b}$。
证明我们有
$ $
\mathbf{y}^{T} \mathbf{b}=\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \mathbf{x} \leqslant \mathbf{c}^{T} \ mathbf{x}
$$
最后一个不等式有效，因为 $\mathbf{x} \geqslant \mathbf{0}$ 和 $\mathbf{y}^{T} \mathbf{A} \leqslant \mathbf{c}^{T}$.
这个引理表明，任一问题的可行向量都会产生另一个问题的值的界限。与原始相关的值都大于与对偶相关的值，如图 3.1 所示。由于原始寻求最小值而对偶寻求最大值，因此每个寻求达到另一个。由此我们有一个重要的推论。
推论 如果 $\mathbf{x}{0}$ 和 $\mathbf{y}{0}$ 对于 (3.3) 和 (3.4) 是可行的)，如果 $\mathbf{c}^{T} \mathbf{x}{0}=\mathbf{y}{0}^{T} \mathbf{b}$ ，则 $\mathbf{x}{0}$ 和 $\mathbf{y}{0}$ 对于它们各自的问题是最优的。
上述推论表明，如果一对可行向量可以找到目标值相等的原始程序和对偶程序，那么它们都是最优的。线性规划的对偶定理表明反之亦然，事实上，图 3.1 中的两个区域实际上有一个共同点；没有“差距”。
线性规划的对偶定理 如果问题 (3.3) 或 (3.4) 中的任何一个有一个有限最优解，那么另一个也有一个有限最优解，并且目标函数的对应值相等。如果任何一个问题的目标是无限的，那么另一个问题就没有可行的解决方案。
证明我们首先注意到第二个陈述是弱对偶引理 1 的直接结果。因为如果原始是无限的并且 $\mathbf{y }$ 对于对偶是可行的，对于任意大的 $M$，我们必须有 $\mathbf{y}^{T} \mathbf{b} \leqslant-M$，这显然是不可能的。
其次我们注意到尽管原始和对偶不是以对称形式陈述的，但在证明第一个陈述时，假设原始具有有限最优解然后证明对偶具有相同值的解就足够了。这是因为任何一个问题都可以转换为标准形式，并且原始和对偶的角色是可逆的。本质上，我们证明如果
运筹学代考
什么是运筹学代写
运筹学（OR）是一种解决问题和决策的分析方法，在组织管理中很有用。在运筹学中，问题被分解为基本组成部分，然后通过数学分析按定义的步骤解决。
运筹学的过程大致可以分为以下几个步骤：
- 确定需要解决的问题。
- 围绕问题构建一个类似于现实世界和变量的模型。
- 使用模型得出问题的解决方案。
- 在模型上测试每个解决方案并分析其成功。
- 实施解决实际问题的方法。
与运筹学交叉的学科包括统计分析、管理科学、博弈论、优化理论、人工智能和复杂网络分析。所有这些学科的目标都是解决某一个现实中出现的复杂问题或者用数学的方法为决策提供指导。 运筹学的概念是在二战期间由参与战争的数学家们提出的。二战后，他们意识到在运筹学中使用的技术也可以被应用于解决商业、政府和社会中的问题。
运筹学代写的三个特点
所有运筹学解决实际问题的过程中都具有三个主要特征：
- 优化——运筹学的目的是在给定的条件下达到某一机器或者模型的最佳性能。优化还涉及比较不同选项和缩小潜在最佳选项的范围。
- 模拟—— 这涉及构建模型，以便在应用解决方案刀具体的复杂大规模问题之前之前尝试和测试简单模型的解决方案。
- 概率和统计——这包括使用数学算法和数据挖掘来发现有用的信息和潜在的风险，做出有效的预测并测试可能的解决方法。
运筹学领域提供了比普通软件和数据分析工具更强大的决策方法。此外，运筹学可以根据特定的业务流程或用例进行定制，以确定哪些技术最适合解决问题。
运筹学可以应用于各种活动，比如：计划和时间管理（Planning and Time Management），城乡规划（Urban and Rural Planning），企业资源计划（ERP）与供应链管理（Supply Chain Management）等等。 如有代写代考需求，欢迎同学们联系Assignmentexpert™，我们期待为你服务！
