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随机过程Stochastic Porcesses应用和对现象的研究反过来又激发了新的随机过程的提出。这类随机过程的例子包括维纳过程或布朗运动过程，路易-巴舍利耶用来研究巴黎证券交易所的价格变化，以及A.K.埃朗用来研究一定时期内发生的电话数量的泊松过程。 这两个随机过程被认为是随机过程理论中最重要和最核心的，并且在巴切莱特和埃朗之前和之后，在不同的环境和国家中被反复和独立地发现了。
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数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Some ‘Brownian’ martingales
Brownian motion is a martingale with respect to its natural filtration, i. e. the family of $\sigma$-algebras $\mathcal{F}t^B:=\sigma\left(B_s: s \leqslant t\right)$. Recall that, by Lemma 2.10 , $$ B_t-B_s \Perp \mathcal{F}_s^B \quad \text { for all } 0 \leqslant s \leqslant t $$ It is often necessary to enlarge the canonical filtration $\left(\mathcal{F}_t^B\right){t \geqslant 0}$ of a Brownian motion $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$. The property (5.1) is equivalent to the independent increments property (B1) of $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$, see Lemma 2.10 and Problem 2.9, and it is this property which preserves the Brownian character of a filtration.
5.1 Definition. Let $\left(B_t\right){t \geqslant 0}$ be a $d$-dimensional Brownian motion. A filtration $\left(\mathcal{F}_t\right){t \geqslant 0}$ is called admissible, if
a) $\mathcal{F}t^B \subset \mathcal{F}_t$ for all $t \geqslant 0$; b) $B_t-B_s \Perp \mathcal{F}_s$ for all $0 \leqslant s \leqslant t$. If $\mathcal{F}_0$ contains all subsets of $\mathbb{P}$ null sets, $\left(\mathcal{F}_t\right){t \geqslant 0}$ is an admissible complete filtration.
The natural filtration $\left(\mathcal{F}t^B\right){t \geqslant 0}$ is always admissible. We will discuss further examples of admissible filtrations in Lemma 6.20.
数学代写|随机过程代写Stochastic Porcess代考|Stopping and sampling
If we want to know when a Brownian motion $\left(B_t\right)_{t \geqslant 0}$
- leaves or enters a set for the first time,
- hits its running maximum,
- returns to zero,
we have to look at random times. A random time $\tau: \Omega \rightarrow[0, \infty]$ is a stopping time (with respect to $\left.\left(\mathcal{F}t\right){t \geqslant 0}\right)$ if
$$
{\tau \leqslant t} \in \mathcal{F}t \quad \text { for all } t \geqslant 0 . $$ Typical examples of stopping times are entry and hitting times of a process $\left(X_t\right){t \geqslant 0}$ into a set $A \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)$ :
(first) entry time into $A: \quad \tau_A^{\circ}:=\inf \left{t \geqslant 0: X_t \in A\right}$,
(first) hitting time of $A: \quad \tau_A:=\inf \left{t>0: X_t \in A\right}$,
(inf $\emptyset=\infty)$; sometimes $\tau_{A^c}$ is called the (first) exit time from $A$. Note that $\tau_A^{\circ} \leqslant \tau_A$. If Ex. 5.11 $t \mapsto X_t$ and $\left(\mathcal{F}t\right){t \geqslant 0}$ are sufficiently regular, $\tau_A^{\circ}, \tau_A$ are stopping times for every Borel set $A \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)$. In this generality, the proof is very hard, cf. [13, Chapter I.10].
For our purposes it is enough to consider closed and open sets $A$. The natural filtration $\mathcal{F}t^X:=\sigma\left(X_s: s \leqslant t\right)$ of a stochastic process $\left(X_t\right){t \geqslant 0}$ is relatively small. For many interesting stopping times we have to consider the slightly larger filtration
$$
\mathcal{F}{t+}^X:=\bigcap{u>t} \mathcal{F}u^X=\bigcap{n \geqslant 1} \mathcal{F}_{t+\frac{1}{n}}^X .
$$
随机过程代写
数学代写|随机过程代写STOCHASTIC PORCESS代 考|SOME ‘BROWNIAN’ MARTINGALES
布朗运动是一个关于其自然滤波的鞅，即$sigma$-algebras $mathcal{F}t^B:=\sigma\left(B_s: s\leqslant t\right)$。回顾一下，根据Lemma 2.10 、 $$ B_t-B_s \Perp \mathcal{F}_s^B \quad \text { for all } 0 /leqslant s /leqslant t $$ 通常有必要放大布朗运动的典型滤波$\left(\mathcal{F}_t^B\right){t \geqslant 0}$。属性（5.1）等同于$left(B_t\right){t\geqslant 0}$的独立增量属性（B1），见Lemma 2.10和问题2.9，正是这个属性保留了过滤的布朗特性。 5.1 定义。让$left(B_t\right){t\geqslant 0}$是一个$d$维的布朗运动。一个$left(\mathcal{F}t\right){t\geqslant 0}$的过滤被称为可接受的，如果
a) $mathcal{F}_t^B\subset\mathcal{F}_t$ 对于所有$t\geqslant 0$；
b) $B_t-B_s Perpmathcal{F}_s$ 对于所有$0 leqslant sleqslant t$。
如果$mathcal{F}_0$包含$mathbb{P}$的所有子集，$left(mathcal{F}_t\right)_{tgeqslant 0}$是一个可接受的完全过滤。
自然过滤$left(\mathcal{F}t^B\right){t\geqslant 0}$总是可接受的。我们将在Lemma 6.20中进一步讨论可接受过滤的例子。
数学代写|随机过程代写STOCHASTIC PORCESS代考|Stopping and sampling
如果我们想知道布朗运动何时$left(B_t\right)_{t\geqslant 0}$
- 第一次离开或进入一个集合、
- 达到其运行最大值、
- 返回到零、
我们必须看一下随机时间。一个随机的时间$\tau： \Omega\rightarrow[0, \infty]$是一个停止时间（相对于$left.\left(\mathcal{F}t\right){t \geqslant 0}\right）$如果
$$
{fnFangSong_GB2312bord1shad1pos(200,288)}那就可以了。\inmathcal{F}_tquadtext { for all } tgeqslant 0 .
$$
停止时间的典型例子是$left(X_t\right){t\geqslant 0}$过程进入$A\in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d\right)$的进入和击中时间： (第一)进入$A的时间： 夸父A^{\circ}:=inf \left{t geqslant 0: X_t \in A\right}$、 (第一)$A的命中时间： 夸父A：=inf \left{t>0: X_t \in A\right}$、 (inf $\emptyset=infty)$; 有时$tau{A^c}$被称为从$A$退出的（第一个）时间。请注意，$tau_A^{\circ} \leqslant tau_A$。如果Ex.5.11 $t\mapst to X_t$和$/left(\mathcal{F}t/right){t\geqslant 0}$是充分规则的，$tau_A^{circ}, tau_A$是在\mathcal{B}\left(\mathbb{R}^d/right)$中每个博勒集$A的停止时间。在这种一般情况下，证明是非常困难的，参看[13，I.10章]。
为了我们的目的，只需考虑封闭和开放的集合$A$。随机过程的自然滤波$mathcal{F}t^X:=\sigma\left(X_s: s\leqslant t\right)$\left(X_t\right){t\geqslant 0}$是相对小的。对于许多有趣的停止时间，我们必须考虑稍大的过滤方式
$$
\mathcal{F}{t+}^X:=\bigcap{u>t} `mathcal{F}u^X=\bigcap{n\geqslant 1}。\mathcal{F}_{t+\frac{1}{n}}^X .
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
