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拓扑学Topology MATH784拓扑空间是一个被赋予结构的集合，称为拓扑，它允许定义子空间的连续变形，以及更广泛地定义所有种类的连续性。欧几里得空间，以及更一般的，公制空间都是拓扑空间的例子，因为任何距离或公制都定义了一个拓扑结构。拓扑学中所考虑的变形是同构和同形。在这种变形下不变的属性是一种拓扑属性。拓扑学属性的基本例子有：维度，它可以区分线和面；紧凑性，它可以区分线和圆；连通性，它可以区分一个圆和两个不相交的圆。
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数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|The Idea of Homology
We have already seen one of the key algebraic invariants for topological spaces: the fundamental group. Roughly, the fundamental group detects interesting maps from the circle $\mathbb{S}^1$ to a space $X$. There are higher-dimensional versions of the fundamental group, known as homotopy groups and denoted by $\pi_n(X)$; these are defined in terms of homotopy classes of maps from $\mathbb{S}^n$ to
$X$. In computing $\pi_1\left(\mathbb{S}^1\right) \cong \mathbb{Z}$, we already found that we needed a somewhat involved argument. Nonetheless, as we learned when studying the Seifert-Van Kampen Theorem, there is a general method for computing fundamental groups of nice spaces.
No similar methods exist for the higher homotopy groups, and even the computation of higher homotopy groups of higher-dimensional spheres is a major topic of current research. For example, who would imagine that there are interesting ways of mapping $\mathbb{S}^3$ or $\mathbb{S}^4$ to $\mathbb{S}^2$ ? Or that there are exactly 2880 homotopy classes of maps from $\mathbb{S}^{14}$ to $\mathbb{S}^4$ ? See [Hat02, Chapter 4] for much more on this.
So, while higher homotopy groups are a nice idea, and they are very important in advanced algebraic topology, they are very tricky to compute in practice-one must rely on some technical machinery, especially spectral sequences, in order to compute them. See BT82 for several examples of these computations. Instead, we must return to the land of triangulations and dig more deeply, in order to define a family of topological invariants known as the homology groups.
The basic idea of homology is to count $n$-dimensional holes. Roughly speaking, an $n$-dimensional hole $H$ in $X$ is a compact $n$-dimensional manifold-an $n$-dimensional analogue of a surface – without boundary in $X$. But a hole is trivial if it is filled in; that is, if there is a compact $(n+1)$-dimensional manifold with boundary in $X$, whose boundary is $H$. This isn’t quite correct, but it will suffice for the sake of intuition for now. For example, $\mathbb{S}^2$ has no nontrivial 1-dimensional holes, because for every 1-dimensional manifold namely, a circle $C$ inside $\mathbb{S}^2$, we can find a disk whose boundary is $C$. On the other hand, the sphere does have a 2-dimensional hole, because the sphere itself is not the boundary of a 3-dimensional manifold with boundary contained inside $\mathbb{S}^2$. (In fact, there are no 3-dimensional manifolds at all contained inside $\mathbb{S}^2$. The homology groups measure holes “up to triviality,” in a way that we will soon make precise.
To give the simplest example of a trivial hole and a nontrivial hole, let us consider the triangle on the left in Figure 13.1, by which we mean just the edges without the interior. This triangle is a 1-dimensional hole, because we can map a circle a 1-manifold to it. This same hole also exists in the filled triangle on the right in Figure 13.1, except this time the hole is trivial: it’s the boundary of the filled triangle. Once we learn the definition of homology and compute it, we’ll find that the triangle on the left has nontrivial 1-dimensional homology, whereas the filled triangle on the right has trivial 1-dimensional homology.
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|Chains
Our basic building blocks in homology—or, to be more precise, simplicial homology or $\Delta$ homology-are simplices. ${ }^1$ Simplices are vertices, edges, faces, and their higher-dimensional analogues that we saw while working with triangulations when we discussed the Euler characteristic. A vertex is a 0 -simplex, an edge is a 1-simplex, a face is a 2-simplex, and so forth; in general, an $n$-simplex has $n+1$ vertices.
There is a small difference between the vertices, edges, and faces we saw before, and the simplices we are using now: in homology, it is necessary to work with oriented simplices. In low dimensions, we can easily visualize oriented simplices. 0 -dimensional simplices, or vertices, do not need to be oriented. In the case of a 1-dimensional simplex, or edge, we can travel along the edge in either direction; we put an arrow from the start vertex to the end vertex:
It is harder to visualize the orientation on higher-dimensional simplices in an analogous way, so instead we define the orientation more formally. Let us suppose that the vertices bounding an $n$-dimensional simplex $S$ are $v_0, \ldots, v_n$. Note that it has $n+1$ vertices, as expected. We write $S=\left[v_0, \ldots, v_n\right]$. We can order the vertices in any of $(n+1) !=\left|S_{n+1}\right|$ ways. The orientation is the sign of the permutation described by the ordering. (Recall that the sign of a permutation $\pi \in S_{n+1}$ is $(-1)^{t(\pi)}$, where $t(\pi)$ is the number of transpositions in a factorization of $\pi ; t(\pi)$ is not welldefined, but it is well-defined modulo 2: for a fixed permutation, there will either always be an even number of transpositions in a factorization of $\pi$, or else always an odd number. Thus there are only two orientations for each simplex: positive and negative.
Thus, as the pictures suggest, the edge $\left[v_0, v_1\right]$ has the opposite orientation from $\left[v_1, v_0\right]$; the faces $\left[v_0, v_1, v_2\right]$ and $\left[v_2, v_0, v_1\right]$ have the same orientation, whereas $\left[v_0, v_2, v_1\right]$ has the opposite orientation.
If two orderings of the vertices of some $n$-simplex have the same sign, then we consider them to be the same; if they have opposite sign, then we consider them to be off by a factor of -1 .
Now, suppose we have a triangulation $T$ of a space $X$. In the future, we shall implicitly assume that spaces come with triangulations into simplices, without mentioning it explicitly. Pick, once and for all, an orientation on each simplex. An $n$-chain on $X$ is a formal integer linear combination of the (oriented) $n$-simplices of $X$.
This concept is worthy of an example. Suppose the oriented $n$-simplices in a triangulation $T$ of $X$ are $T_1, \ldots, T_r$. Then a typical example of an $n$-chain might be $3 T_1-5 T_2+0 T_3+\cdots-6 T_r$. If there are infinitely many $n$-simplices, then we are only allowed to use finitely many of them in the sum; all the rest must be “multiplied by $0 . “$ All the coefficients must be integers, and they are allowed to be positive, negative, or zero.
拓扑学代写
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|THE IDEA OF HOMOLOGY
称为同伦群，记为 $\pi_n(X)$; 这些是根据来自的映射的同伦类定义的 $\mathbb{S}^n$ 到
$X$. 在计算 $\pi_1\left(\mathbb{S}^1\right) \cong \mathbb{Z}$ ，我们已经发现我们需要一个有点复杂的论点。尽管如此，正如我们在研究 Seifert-Van Kampen 定理时了解到的那样，有 一种通用方法可以计算漂亮空间的基本群。
对于更高的同伦群没有类似的方法，甚至高维球面的高同伦群的计算也是当前研究的主要课题。例如，谁会想到有有趣的映射方式 $S^3$ 或者 $S^4$ 到 $\mathbb{S}^2$ ? 或者正好有 2880 个映射的同伦类 $S^{14}$ 到 $^4$ ? 看
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\text { Hat02, Chapter } 4
$$
有关更多信息。
因此，虽然高同伦群是个好主意，而且它们在高级代数拓扑中非常重要，但在实践中计算它们非常棘手一一必须依赖某些技术机制，尤其是谱序 列，才能计算它们。有关这些计算的几个示例，请参见 BT82。相反，我们必须回到三角剖分的领域并进行更深入的挖掘，以便定义一个称为同源 群的拓扑不变量族。
同调的基本思想是计数 $n$ 维孔。粗略地说，一个 $n$ 维孔 $H$ 在 $X$ 是一个紧凑的 $n$-维流形-an $n$ – 表面的维模拟-没有边界 $X$. 但是，如果一个洞被填满 了，它就微不足道了；也就是说，如果有一个契约 $(n+1)$ 具有边界的维流形 $X$, 其边界是 $H$. 这不太正确，但就目前的直觉而言就足够了。例如， $\mathbb{S}^2$ 没有非平凡的一维孔，因为对于每个一维流形，即一个圆 $C$ 里面 $\mathbb{S}^2$, 我们可以找到一个边界为 $C$. 另一方面，球体确实有一个二维孔，因为球体 本身不是内部包含边界的 3 维流形的边界 $S^2$. (事实上，里面根本没有 3 维流形 $\mathrm{S}^2$. 同源群以一种我们很快就会精确的方式测量空洞“直到琐碎”。
为了给出平凡孔和非平凡孔的最简单示例，让我们考虑图 13.1 左侧的三角形，我们指的是没有内部的边。这个三角形是一个一维的洞，因为我们 可以将一个圆映射到它的 1-i流形。同样的洞也存在于图 13.1 右侧的实心三角形中，只是这次的洞是微不足道的: 它是实心三角形的边界。一旦我 们了解同调的定义并计算它，我们就会发现左边的三角形具有非平凡的一维同调，而右边的实心三角形具有平凡的一维同调。
数学代写|拓扑学代写TOPOLOGY代考|CHAINS
我们在同源性中的基本组成部分一一或者更准确地说，简单同源性或 $\Delta$ 同源很简单。 ${ }^1$ 单纯形是顶点、边、面，以及我们在讨论欧拉特征时使用三 角剖分时看到的它们的高维类似物。顶点是 0-单纯形，边是 1 -单纯形，面是 2-单纯形，等等；一般来说，一个 $n$-单纯形有 $n+1$ 顶点。
我们之前看到的顶点、边和面与我们现在使用的单纯形有一点不同：在同调中，需要使用定向单纯形。在低维中，我们可以轻松地可视化定向单 纯形。0 维单纯形或顶点不需要定向。对于一维单纯形或边，我们可以沿边沿任一方向行进；我们从起始顶点到结束顶点放置一个箭头:
更难以类似的方式可视化高维单纯形上的方向，因此我们更正式地定义方向。让我们假设顶点边界 $n$-维单纯形 $S$ 是 $v_0, \ldots, v_n$. 请注意，它有 $n+1$ 顶点，正如预期的那样。我们写 $S=\left[v_0, \ldots, v_n\right]$. 我们可以对任何一个顶点进行排序 $(n+1) !=\left|S_{n+1}\right|$ 方法。方向是由顺序描述的排列的符号。 Recallthatthesignofapermutation $\pi \in S_{n+1} \$ i s \$\left(-1^{\wedge}{\mathrm{t} \pi}\right.$, where 吨 $\pi$ isthenumberoftranspositionsinafactorizationof $\backslash$ pi; 你 $\pi$ isnotwelldefined, butitiswell – definedmodulo 2 : fora fixedpermutation, therewilleitheralwaysbeanevennumberoftranspositionsir Ipi\$，否则始终为奇数。因此每个单纯形只有两个方向：正向和负向。
因此，如图所示，边缘 $\left[v_0, v_1\right]$ 方向相反 $\left[v_1, v_0\right]$; 面孔 $\left[v_0, v_1, v_2\right]$ 和 $\left[v_2, v_0, v_1\right]$ 具有相同的方向，而 $\left[v_0, v_2, v_1\right]$ 有相反的方向。
如果一些顶点的两个排序 $n$-单纯形有相同的符号，则我们认为它们是相同的；如果它们的符号相反，那么我们认为它们相差-1倍。
现在，假设我们有一个三角测量 $T$ 一个空间 $X$. 将来，我们将隐含地假设空间伴随着三角剖分进入单纯形，而不会明确提及。一劳永逸地选择每个 单纯形的方向。一个 $n$-连锁 $X$ 是一个正式的整数线性组合oriented $n$-简单的 $X$.
这个概念值得一个例子。假设面向 $n$-简单的三角剖分 $T$ 的 $X$ 是 $T_1, \ldots, T_r$. 然后一个典型的例子 $n$-链可能是 $3 T_1-5 T_2+0 T_3+\cdots-6 T_r$. 如果有 无穷多个 $n$-单纯形，那么我们只允许在总和中使用它们中的有限多个；所有其余的必须“乘以 0 . “所有的系数都必须是整数，并且可以是正数、负 数或零。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
