如果你也在 怎样代写数论Number theory 学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。数论Number theory（或旧时的算术或高等算术）是纯数学的一个分支，主要致力于研究整数和整数值的函数。德国数学家卡尔-弗里德里希-高斯（1777-1855）说：”数学是科学的女王–数论是数学的女王。”数论家研究素数以及由整数组成的数学对象（例如有理数）或定义为整数的概括（例如代数整数）的属性。
数论Number theory整数既可以被视为本身，也可以被视为方程的解（刁藩几何）。数论中的问题通常最好通过研究分析对象（例如黎曼Zeta函数）来理解，这些对象以某种方式编码整数、素数或其他数论对象的属性（分析数论）。人们也可以研究实数与有理数的关系，例如，由后者逼近的实数（Diophantine逼近）。
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数学代写|数论代写Number Theory代考|Two Quadratic Congruences
In this section we will analyze two simple-looking quadratic congruences
$$
x^2-1 \equiv 0 \quad(\bmod p) \text { and } x^2+1 \equiv 0 \quad(\bmod p),
$$
where $p$ is a prime. As we mentioned earlier, these are somewhat trickier to solve than their equational counterparts
$$
x^2-1=0 \text { and } x^2+1=0 .
$$
The first congruence, which we prefer to write as $x^2 \equiv 1(\bmod p)$, offers no surprises at all. As we saw while proving Wilson’s theorem, the only solutions are $x=1$ and $x=p-1$ (that is, $x=-1$ ). So this congruence has the same solution, effectively, as the equation $x^2=1$. However, when solving this congruence, we did need to exercise some care-using Euclid’s lemma-to show that these were the only solutions modulo $p$.
The second congruence, on the other hand, is much trickier and surprisingly hard to deal with. Again, we usually prefer to write this congruence as $x^2 \equiv-1(\bmod p)$, and so you might suspect it would have no solutions at all, since the corresponding equation $x^2=-1$ has no real solutions.
That’s the first surprise, since this congruence can have a solution. In fact, we already saw one example of this on page 126 where we used $x=34$ as a solution for the congruence $x^2 \equiv-1(\bmod 89)$. We didn’t mention this at the time, but it is clear that this congruence also has another solution: $x=-34$, that is, $x=55$.
Still, how did we even know that the congruence $x^2 \equiv-1(\bmod 89)$ had a solution, and how did we come up with the solution $x=34$ in the first place? This isn’t so easy-that’s the second surprise. We are going to discuss three methods for finding a solution to this congruence.
One method, of course, is simply to try all values of $x$ in the complete residue system ${0,1,2, \ldots, 88}$ to see which, if any, satisfy the congruence. Even for a small prime such as $p=89$, this is a tedious approach, but it will get the job done.
Another idea is to use Fermat’s little theorem. To illustrate this, we are going to consider the progression $1,3,3^2, 3^3, \ldots$ (we’ll explain why we choose the number 3 shortly). By Fermat’s little theorem, we know that $3^{88} \equiv 1(\bmod 89)$. Therefore, $3^{44}$ is a solution to the congruence $x^2 \equiv 1(\bmod 89)$, so we know that $3^{44}$ is either 1 or -1 modulo 89 . If $3^{44} \equiv-1(\bmod 89)$, then we have found our solution: $3^{22}$. On the other hand, if $3^{44} \equiv 1(\bmod 89)$, then we repeat this idea with $3^{22}$. So one of the numbers $3^{11}$ or $3^{22}$ should be a solution.
We begin with $3^{11}$, and discover that $3^{11} \equiv 37(\bmod 89)$. We go on to $3^{22}$, and compute $3^{22}=\left(3^{11}\right)^2=37^2 \equiv 34(\bmod 89)$. Finally, and this is apparently our last chance,
$$
3^{44}=\left(3^{22}\right)^2 \equiv 34^2 \equiv 88 \equiv-1 \quad(\bmod 89)
$$
数学代写|数论代写Number Theory代考|Lagrange’s Theorem
We are quite familiar with the fact that a polynomial equation
$$
a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0=0
$$
of degree $n$ can have at most $n$ solutions, because, for example, we know that a cubic polynomial such as $x^3-2 x^2-x+2$ can cross the $x$-axis at most three times. In fact, a cubic polynomial might have only a single solution if the curve crosses the $x$-axis just once, or possibly two solutions if the axis is crossed once and is tangent to the curve at another point.
Therefore, it would come as a tremendous shock to us if a congruence such as
$$
x^2+1 \equiv 0 \quad(\bmod 89)
$$
were to have more than the two solutions $x=34$ and $x=55$ that we have already found.
Similarly, in the proof of Wilson’s theorem, the one thing we had to be careful about was to check that for a prime $p$ the only solutions for the congruence
$$
x^2-1 \equiv 0 \quad(\bmod p)
$$
were the obvious ones, $x=1$ and $x=-1$. You might have wondered at the time why we even bothered to check, since it seemed obvious that a quadratic congruence couldn’t have more than two solutions.
Ah, but it can! It all depends on what the modulus is. For example, if the modulus is 8 , here is a quadratic congruence that has four solutions:
$$
x^2-1 \equiv 0 \quad(\bmod 8)
$$
数论代写
数学代写|数论代写Number Theory代考|Two Quadratic Congruences
在本节中，我们将分析两个简单的二次同余
$$
x^2-1 \equiv 0 \quad(\bmod p) \text { and } x^2+1 \equiv 0 \quad(\bmod p),
$$
，其中$p$是素数。正如我们前面提到的，这些比它们的相等对应物要棘手一些
$$
x^2-1=0 \text { and } x^2+1=0 .
$$
第一个同余，我们更喜欢写为$x^2 \equiv 1(\bmod p)$，一点也不奇怪。正如我们在证明Wilson定理时看到的，唯一的解是$x=1$和$x=p-1$(即$x=-1$)。所以这个同余式的解，和方程$x^2=1$一样。然而，当解这个同余时，我们确实需要使用欧几里得引理来证明这些是模$p$的唯一解。
另一方面，第二个同余要棘手得多，而且令人惊讶地难以处理。同样，我们通常更喜欢把这个同余写成$x^2 \equiv-1(\bmod p)$，所以你可能会怀疑它根本没有解，因为对应的方程$x^2=-1$没有实解。
这是第一个惊喜，因为这个同余是有解的。事实上，我们已经在126页见过一个例子我们用$x=34$作为同余$x^2 \equiv-1(\bmod 89)$的解。我们当时没有提到这一点，但很明显，这个同余还有另一个解:$x=-34$，也就是$x=55$ .
但是，我们是怎么知道这个同余$x^2 \equiv-1(\bmod 89)$有解的，我们又是怎么想到这个解$x=34$的呢?这并不容易——这是第二个惊喜。我们将讨论三种方法来求这个同余的解。
当然，一种方法是简单地在完全余数系统${0,1,2, \ldots, 88}$中尝试$x$的所有值，看看如果有的话，哪个值满足同余。即使对于像$p=89$这样的小素数，这也是一种繁琐的方法，但它可以完成工作。
另一个想法是使用费马小定理。为了说明这一点，我们将考虑级数$1,3,3^2, 3^3, \ldots$(我们将很快解释为什么选择数字3)。通过费马小定理，我们知道$3^{88} \equiv 1(\bmod 89)$。因此，$3^{44}$是同余$x^2 \equiv 1(\bmod 89)$的解，所以我们知道$3^{44}$等于1或-1模89。如果是$3^{44} \equiv-1(\bmod 89)$，那么我们就找到了解:$3^{22}$。另一方面，如果是$3^{44} \equiv 1(\bmod 89)$，那么我们对$3^{22}$重复这个想法。所以其中一个数字$3^{11}$或$3^{22}$应该是一个解。
我们从$3^{11}$开始，并发现$3^{11} \equiv 37(\bmod 89)$。我们继续到$3^{22}$，并计算$3^{22}=\left(3^{11}\right)^2=37^2 \equiv 34(\bmod 89)$。最后，这显然是我们最后的机会了，
$$
3^{44}=\left(3^{22}\right)^2 \equiv 34^2 \equiv 88 \equiv-1 \quad(\bmod 89)
$$
数学代写|数论代写Number Theory代考|Lagrange’s Theorem
我们非常熟悉这样一个事实，即次为$n$的多项式方程
$$
a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0=0
$$
最多可以有$n$个解，因为，例如，我们知道一个三次多项式，如$x^3-2 x^2-x+2$，最多可以穿过$x$ -轴三次。事实上，一个三次多项式可能只有一个解，如果曲线只穿过$x$ -轴一次，或者如果轴只穿过一次，并且在另一点与曲线相切，则可能有两个解。
因此，如果像
$$
x^2+1 \equiv 0 \quad(\bmod 89)
$$
这样的同余式有两个以上的解$x=34$和$x=55$，我们会感到非常震惊。同样的，在威尔逊定理的证明中，我们必须注意的一件事是检查对于一个素数$p$同余
$$
x^2-1 \equiv 0 \quad(\bmod p)
$$
的唯一解是明显的解$x=1$和$x=-1$。你当时可能会奇怪为什么我们还要费心去检验，因为很明显，一个二次同余式不可能有两个以上的解。
啊，但它可以!这都取决于模量是多少。例如，如果模数是8，这里有一个有四个解的二次同余:
$$
x^2-1 \equiv 0 \quad(\bmod 8)
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
