微积分(Calculus),数学概念,是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学,包括求积分的运算,为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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- 单变量微积分
- 多变量微积分
- 傅里叶级数
- 黎曼积分
- ODE
- 微分学
Suppose $f$ is a $T$-periodic function. We may write $T=2 \ell$. Then we may consider the change of variable $t=\pi x / \ell$ so that the function
$$
f(x)=f(\ell t / \pi)
$$
as a function of $t$, it is $2 \pi$-periodic. Hence, its Fourier series is
$$
\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n t+b_{n} \sin n t\right)
$$
where
$$
\begin{aligned}
&a_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(\ell t / \pi) \cos n t \mathrm{~d} t=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} f(x) \cos \frac{n \pi x}{\ell} \mathrm{d} x \
&b_{n}=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(\ell t / \pi) \sin n t \mathrm{~d} t=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} f(x) \sin \frac{n \pi x}{\ell} \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$
In particular, on the interval $(-\ell, \ell)$,
- $f$ even implies $b_{n}=0$ and $a_{n}=\frac{2}{\ell} \int_{0}^{\ell} f(x) \cos \frac{n \pi x}{\ell} \mathrm{d} x$,
- $f$ odd implies $a_{n}=0$ and $b_{n}=\frac{2}{\ell} \int_{0}^{\ell} f(x) \sin \frac{n \pi x}{\ell} \mathrm{d} x$.
认为F是一个吨- 周期函数。我们可以写吨=2ℓ. 然后我们可以考虑变量的变化吨=圆周率X/ℓ使函数
F(X)=F(ℓ吨/圆周率)
作为一个函数吨, 它是2圆周率-周期性的。因此,它的傅里叶级数是
一种02+∑n=1∞(一种n某物n吨+bn没有n吨)
在哪里
一种n=1圆周率∫−圆周率圆周率F(ℓ吨/圆周率)某物n吨 d吨=1ℓ∫−ℓℓF(X)某物n圆周率XℓdX bn=1圆周率∫−圆周率圆周率F(ℓ吨/圆周率)没有n吨 d吨=1ℓ∫−ℓℓF(X)没有n圆周率XℓdX
特别是在区间(−ℓ,ℓ),
- F甚至暗示bn=0和一种n=2ℓ∫0ℓF(X)某物n圆周率XℓdX,
- F奇怪的暗示一种n=0和bn=2ℓ∫0ℓF(X)没有n圆周率XℓdX.
微积分note Integer Multiples of Irrational Numbers 请认准UprivateTA™. UprivateTA™为您的留学生涯保驾护航。