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最优化Optimization Theory在不同学科中出现的(确定性)优化问题的结构可能具有相当不同的性质，研究它们的技术也是如此。影响所使用方法的一个关键准则是定义优化问题的域的拓扑结构。如果在一个有限的或可数的无限集合中寻找一个极值点，就会得到一个离散优化问题。策略通常具有组合的性质，这就是为什么组合优化这个术语在这类问题中变得流行的原因。对于像实数这样的不可数域，使用的技术很多时候是基于微积分和连续数学的概念，取决于所涉及的函数的特定性质(例如可微性)。
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数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Diffeomorphisms, Normal Forms (Morse Lemma)
In this section we consider the transition to the “elementary” linear and quadratic functions as introduced in Example 1.1.4 more precisely. These functions are also called (local) normal forms.
Definition 1.3.1 Let $U, V \subset \mathbb{R}^n$ be open sets and let $F: U \rightarrow V$ be a bijective mapping ( $F^{-1}$ denoting the inverse mapping). The mapping $F$ is called a $C^k$-diffeomorphism $(k \geq 1)$ if both $F \in C^k(U, V)$ and $F^{-1} \in$ $C^k(V, U)$. In case that $F$ and $F^{-1}$ are continuous, the mapping $F$ is called a homeomorphism.
Diffeomorphisms and homeomorphisms can be interpreted as coordinate transformations. In fact, let $f: U \rightarrow \mathbb{R}$ be a real valued mapping, and let $F: U \rightarrow V$ be bijective. Then, the composite function
$$
g:=f \circ F^{-1}: V \rightarrow \mathbb{R}
$$
can be interpreted as the function $f$ in new coordinates.
数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Constraints, Standard-Diffeomorphism
Let $I={1, \ldots, m}, J={1, \ldots, s}$ be finite index sets and let $h_i: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$, $i \in I, g_j: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, j \in J$. The constraint functions $h_i, g_j$ define the following subset $M[h, g] \subset \mathbb{R}^n$ :
$$
M[h, g]=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid h_i(x)=0, i \in I, g_j(x) \geq 0, j \in J\right} .
$$
In the above notation, $h$ and $g$ stand for $\left(h_1, \ldots, h_m\right)$ and $\left(g_1, \ldots, g_s\right)$, respectively. The functions $h_i$ represent the equality constraints, whereas the functions $g_j$ define the inequality constraints. In case that no confusion can occur, we write $M$ instead of $M[h, g]$. See Figure 2.1 for some pictures.
In order to indicate which inequalities $g_j$ are vanishing (active, binding) at $x \in M[h, g]$ we introduce the activity map $J_0$
$$
J_0(x)=\left{j \in J \mid g_j(x)=0\right} .
$$
Theorem 2.1.1 Let $h_i, g_j, i \in I, j \in J$ be continuous. Then, $M[h, g]$ is a closed set. Moreover, for each $\bar{x} \in M[h, g]$ there exists a neighborhood $U$ of $\bar{x}$ such that $J_0(x) \subset J_0(\bar{x})$ for all $x \in M[h, g] \cap U$.
Proof. (Exercise).
In general the set $M[h, g]$ might have a bizarre structure, even if the functions $h_i, g_j$ are smooth. This follows from the following theorem of $\mathrm{H}$. Whitney (cf. [33]).
Theorem 2.1.2 Let $A \subset \mathbb{R}^n$ be a closed set. Then, there exists $h \in$ $C^{\infty}\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}\right)$ with $A=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid h(x)=0\right}$.
In order to obtain a reasonable structure for the set $M[h, g]$ we have to impose additional assumptions. The simplest one is the linear independence of the derivatives of the active constraints.
最优化代写
数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Diffeomorphisms, Normal Forms (Morse Lemma)
在本节中，我们将更精确地考虑向例1.1.4中介绍的“初等”线性和二次函数的过渡。这些函数也称为(局部)范式。
1.3.1设$U, V \subset \mathbb{R}^n$为开集，设$F: U \rightarrow V$为双射映射($F^{-1}$表示逆映射)。如果是$F \in C^k(U, V)$和$F^{-1} \in$$C^k(V, U)$，则映射$F$称为$C^k$ -微分同构$(k \geq 1)$。如果$F$和$F^{-1}$是连续的，则映射$F$称为同胚。
微分同胚和同胚可以解释为坐标变换。实际上，设$f: U \rightarrow \mathbb{R}$为实值映射，设$F: U \rightarrow V$为双射。然后是复合函数
$$
g:=f \circ F^{-1}: V \rightarrow \mathbb{R}
$$
可以解释为新坐标下的函数$f$。
数学代写|最优化作业代写optimization theory代考|Constraints, Standard-Diffeomorphism
设$I={1, \ldots, m}, J={1, \ldots, s}$是有限索引集，设$h_i: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$$i \in I, g_j: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}, j \in J$。约束函数$h_i, g_j$定义了以下子集$M[h, g] \subset \mathbb{R}^n$:
$$
M[h, g]=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid h_i(x)=0, i \in I, g_j(x) \geq 0, j \in J\right} .
$$
在上述表示法中，$h$和$g$分别代表$\left(h_1, \ldots, h_m\right)$和$\left(g_1, \ldots, g_s\right)$。函数$h_i$表示等式约束，而函数$g_j$定义不等式约束。为了避免混淆，我们写$M$而不是$M[h, g]$。部分图片见图2.1。
为了指出哪些不平等$g_j$在$x \in M[h, g]$处正在消失(活动的、绑定的)，我们引入了活动映射$J_0$
$$
J_0(x)=\left{j \in J \mid g_j(x)=0\right} .
$$
定理2.1.1设$h_i, g_j, i \in I, j \in J$连续。那么，$M[h, g]$是一个闭集。此外，对于每个$\bar{x} \in M[h, g]$都存在一个$\bar{x}$的邻域$U$，使得对于所有$x \in M[h, g] \cap U$都存在$J_0(x) \subset J_0(\bar{x})$。
证明。(练习)。
一般来说，集合$M[h, g]$可能有一个奇怪的结构，即使函数$h_i, g_j$是平滑的。这是由$\mathrm{H}$的定理推导出来的。Whitney (cf.[33])。
定理2.1.2设$A \subset \mathbb{R}^n$为闭集。然后，有$h \in$$C^{\infty}\left(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}\right)$和$A=\left{x \in \mathbb{R}^n \mid h(x)=0\right}$。
为了得到集合$M[h, g]$的合理结构，我们必须施加额外的假设。最简单的是主动约束的导数的线性无关性。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
