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数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Another Proof of Incompleteness
As we mentioned in the introduction to this chapter, the sentence $\theta$ of the First Incompleteness Theorem can be seen as a formalization of the liar paradox, where a speaker assets that what the speaker says is false. In this section we will outline a proof, due to George Boolos [Boolos 94] of the First Incompleteness Theorem that is based upon Berry’s paradox.
G. G. Berry, a librarian at Oxford University at the beginning of the twentieth century, is credited by Bertrand Russell with the observation that the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables is nameable in eighteen syllables. We will formalize a version of Berry’s phrase to come up with another sentence that is true in $\mathfrak{N}$ but not provable.
For our argument to work we need to make a minor change in our language. It will be important that our language have only finitely many symbols, and to make $\mathcal{L}{N T}$ finite, we have to rework the way that we denote variables. So, for this section, rather than having Vars be the infinite set of variables $v_1, v_2, \ldots, v_n, \ldots$, and thinking of each $v_i$ as its own symbol, we will think of them as a sequence of symbols. So the string $v{17}$ is no longer a single symbol but is, rather, three symbols. The set Vars then is defined to be the collection of finite strings of symbols that are of the form $v_s$, where $s$ is a string of numerals. Thus the symbols of $\mathcal{L}{N T}$ are $$ {(,), \vee, \neg, \forall,=, v, 0,1,2, \ldots, 9,0, S,+, \cdot, E,<}, $$ giving us precisely 23 symbols in the language, and $\mathcal{L}{N T}$ is finite.
We restate the First Incompleteness Theorem:
Theorem 5.5.1. Suppose that $Q$ is a consistent and recursive set of $\mathcal{L}_{N T}$-formulas. Then there is a sentence $\beta$ such that $\mathfrak{N} \vDash \beta$ and $Q \nvdash \beta$.
数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Peano Arithmetic and the Second Incompleteness Theorem
It is our goal in this section to show that a set of axioms cannot prove its own consistency. Now this statement needs to be sharpened, for of course some sets of axioms can prove their own consistency. For example, the axiom set $A$ might contain the statement ” $A$ is consistent.” But that will lead to problems, as we will show.
The first order of business will be to introduce a new collection of axioms, called $P A$, or the axioms of Peano Arithmetic. This extension of $N$ will be recursive and will be true in $\mathfrak{N}$, so all of the results of this chapter will apply to $P A$. We will then state, without proof, three properties that are true of $P A$, properties that are needed for the proof of the Second Incompleteness Theorem.
The Second Incompleteness Theorem is, in some sense, nothing more than finding another true and unprovable statement, but the statement that we will find is much more natural and has a longer history than the sentence $\theta$ of Gödel I. As we mentioned on page 1, at the beginning of the twentieth century, the German mathematician David Hilbert proposed that the mathematical community set itself the goal of proving that mathematics is consistent. In the Second Incompleteness Theorem, we will see that no extension of Peano Arithmetic can prove itself to be consistent, and thus certainly any plan for a self-contained proof of consistency must be doomed to failure. This was the blow that Gödel delivered to Hilbert’s consistency program. Understanding the ideas behind this second proof is our current goal. We will not fill in all of the details of the construction. The interested reader is directed to Craig Smoryński’s article in [Barwise 77], on which our presentation is based.
We begin by establishing our new set of nonlogical axioms, the axioms of Peano Arithmetic.
Definition 5.6.1. The axioms of Peano Arithmetic, or $P A$, are the eleven axioms of $N$ together with the axiom schema
$$
[\phi(0) \wedge(\forall x)[\phi(x) \rightarrow \phi(S x)]] \rightarrow(\forall x) \phi(x)
$$
for each $\mathcal{L}_{N T}$-formula $\phi$ with one free variable.
数理逻辑入门代写
数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Another Proof of Incompleteness
正如我们在本章的引言中提到的，第一不完备定理的句子$\theta$可以被看作是说谎者悖论的形式化，说谎者知道自己说的话是假的。在本节中，我们将概述George Boolos [Boolos 94]基于Berry悖论的第一不完备性定理的证明。
伯特兰·罗素(Bertrand Russell)认为，20世纪初牛津大学图书管理员g·g·贝里(G. G. Berry)观察到，不能在19个音节内命名的最小整数，可以在18个音节内命名。我们将把Berry的短语的一个版本形式化，以得出$\mathfrak{N}$中另一个正确但不可证明的句子。
为了使我们的论证有效，我们需要对我们的语言做一个小小的改变。重要的是，我们的语言只有有限的符号，为了使$\mathcal{L}{N T}$有限，我们必须重新设计表示变量的方式。因此，在本节中，我们不会将var视为无穷变量集$v_1, v_2, \ldots, v_n, \ldots$，并将每个$v_i$视为其自己的符号，而是将它们视为符号序列。因此，字符串$v{17}$不再是单个符号，而是三个符号。然后将集合Vars定义为形式为$v_s$的有限符号字符串的集合，其中$s$是数字字符串。因此$\mathcal{L}{N T}$的符号是$$ {(,), \vee, \neg, \forall,=, v, 0,1,2, \ldots, 9,0, S,+, \cdot, E,<}, $$，在语言中给我们精确的23个符号，$\mathcal{L}{N T}$是有限的。
我们重申第一不完备定理:
定理5.5.1。假设$Q$是一个一致且递归的$\mathcal{L}_{N T}$ -公式集。然后有一个句子$\beta$这样的$\mathfrak{N} \vDash \beta$和$Q \nvdash \beta$。
数学代写|数理逻辑入门代写Introduction To Mathematical logic代考|Peano Arithmetic and the Second Incompleteness Theorem
本节的目的是说明一组公理不能证明其自身的一致性。现在这个陈述需要被强化，因为当然一些公理集可以证明它们自己的一致性。例如，公理集$A$可能包含语句“$A$是一致的”。但这将导致问题，我们将展示。
首先要做的是介绍一组新的公理，叫做$P A$，或者叫皮亚诺算术公理。$N$的扩展将是递归的，并且在$\mathfrak{N}$中为真，因此本章的所有结果将适用于$P A$。然后我们将陈述，不需要证明，$P A$的三个为真的性质，这些性质是证明第二不完备性定理所需要的。
第二不完备性定理，在某种意义上，只不过是找到了另一个真实的、不可证明的命题，但是我们将找到的这个命题比Gödel i中的$\theta$这个句子更自然，历史也更悠久。正如我们在第一页提到的，在二十世纪初，德国数学家大卫·希尔伯特建议数学界为自己设定一个证明数学是一致的目标。在第二不完备性定理中，我们将看到Peano算术的任何扩展都不能证明自己是一致的，因此，任何自包含的一致性证明计划都注定要失败。这是Gödel对希尔伯特一致性计划的打击。理解第二个证明背后的思想是我们当前的目标。我们将不填写施工的所有细节。感兴趣的读者可以直接阅读Craig Smoryński在[Barwise 77]中的文章，我们的演讲就是基于这篇文章。
我们首先建立一套新的非逻辑公理，皮亚诺算术公理。
5.6.1.定义皮亚诺算术公理，或$P A$，是$N$的11个公理和公理模式
$$
[\phi(0) \wedge(\forall x)[\phi(x) \rightarrow \phi(S x)]] \rightarrow(\forall x) \phi(x)
$$
对于每个$\mathcal{L}_{N T}$ -公式$\phi$有一个自由变量
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
