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数学代写|随机分析作业代写stochastic analysis代考|Property of Brownian Motion

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随机分析stochastic analysis应用随机微积分的最著名的随机过程是维纳过程(为纪念诺伯特-维纳而命名),它被用来模拟路易-巴切莱特在1900年和阿尔伯特-爱因斯坦在1905年描述的布朗运动以及其他受随机力作用的粒子在空间的物理扩散过程。自20世纪70年代以来,维纳过程被广泛地应用于金融数学和经济学中,以模拟股票价格和债券利率的时间演变。

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数学代写|随机分析作业代写stochastic analysis代考|martingale

However, we see that
$$
\begin{aligned}
E[\langle M\rangle(t)] &=\int_{0}^{t} E\left[\frac{1}{\left|x_{0}+B(s)\right|^{2}}\right] d s \
&=\int_{0}^{t} d s \frac{1}{2 \pi s} \int_{\mathbf{R}^{2}} \frac{1}{|y|^{2}} \exp \left(-\frac{\left|y-x_{0}\right|^{2}}{2 s}\right) d y=\infty .
\end{aligned}
$$
Therefore by Proposition $3.6 .8$ we see that
$$
E\left[\max {t \in[0, T]} M(t)^{2}\right]=\infty $$ On the other hand, we see that for $p \in(1, \infty)$ $$ E\left[|M(t)|^{p}\right]=\frac{1}{2 \pi t} \int{\mathbf{R}^{2}}|\log | y|-\log | x_{0} |^{p} \exp \left(-\frac{\left|y-x_{0}\right|^{2}}{2 t}\right) d y<\infty
$$
If $M$ is a martingale, then we see by Theorem $3.3 .1$ that
$$
E\left[\max _{t \in[0, T]} M(t)^{2}\right] \leqq 4 E\left[M(T)^{2}\right]<\infty
$$
and we have a contradiction. Therefore we see that $M$ is not a martingale.
By this example, we see the following.
(1) Even if $M$ is a continuous local martingale and $E\left[|M(t)|^{p}\right]<\infty, p \in(0, \infty)$, $t \geqq 0, M$ may not be a martingale.
(2) In Doob’s inequality (Theorem 3.3.1), we cannot replace the assumption ” $M$ is a martingale” by ” $M$ is a continuous local martingale.”
Also, the following result is shown by Dudley .

数学代写|随机分析作业代写stochastic analysis代考|progressively measurable processes

Theorem 5.6.1 Let $B$ be a 1-dimensional $\left{\mathcal{F}{t}\right}{t \in[0, \infty)}$-Brownian motion, $T>0, \varepsilon>$ 0 , and $X$ be an $\mathcal{F}_{T}$-measurable random variable. Then there is a progressively measurable process $\xi:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ satisfying the following.

(1) $\int_{0}^{\infty} \xi(t)^{2} d t<\infty$ a.s.
(2) $\int_{0}^{T} \xi(t) d B(t)=X a . s$.
(3) $P\left({X=0} \backslash\left{\int_{0}^{T} \xi(t)^{2} d t=0\right}\right)<\varepsilon$.
By this result we see that any random variable can be described by a stochastic integral. If $E[X] \neq 0$ in the above theorem, then $M(t)=\int_{0}^{t} \xi(s) d B(s)$ is a continuous local martingale but is not a martingale.
We will prove this theorem in Appendix .

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然而,我们看到
和[⟨米⟩(吨)]=∫0吨和[1|X0+乙(s)|2]ds =∫0吨ds12圆周率s∫R21|是|2经验⁡(−|是−X0|22s)d是=∞.
因此由命题3.6.8我们看到
$$
E\left[\max {t \in[0, T]} M(t)^{2}\right]=\infty $$ On the other hand, we see that for $p \in(1, \infty)$ $$ E\left[|M(t)|^{p}\right]=\frac{1}{2 \pi t} \int{\mathbf{R}^{2}}|\log | y|-\log | x_{0} |^{p} \exp \left(-\frac{\left|y-x_{0}\right|^{2}}{2 t}\right) d y<\infty
$$
If $M$ is a martingale, then we see by Theorem $3.3 .1$ that
$$
E\left[\max _{t \in[0, T]} M(t)^{2}\right] \leqq 4 E\left[M(T)^{2}\right]<\infty
$$
我们有一个矛盾。因此我们看到米不是鞅。
通过这个例子,我们看到以下内容。
1即使米是一个连续的局部鞅,并且和[|米(吨)|p]<∞,p∈(0,∞),吨≧0,米可能不是鞅。
2在 Doob 不等式中吨H和这r和米3.3.1, 我们无法取代假设”米是鞅” by”米是一个连续的局部鞅。”
此外,Dudley 显示了以下结果。

数学代写|随机分析作业代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|PROGRESSIVELY MEASURABLE PROCESSES

定理 5.6.1 Let $B$ be a 1-dimensional $\left{\mathcal{F}{t}\right}{t \in[0, \infty)}$-Brownian motion, $T>0, \varepsilon>$ 0 , and $X$ be an $\mathcal{F}_{T}$-measurable random variable. Then there is a progressively measurable process $\xi:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \满足以下条件。

(1) $\int_{0}^{\infty} \xi(t)^{2} d t<\infty$ a.s.
(2) $\int_{0}^{T} \xi(t) d B(t)=X a . s$.
(3) $P\left({X=0} \backslash\left{\int_{0}^{T} \xi(t)^{2} d t=0\right}\right)<\varepsilon$.
通过这个结果,我们看到任何随机变量都可以用随机积分来描述。如果和[X]≠0在上述定理中,则米(吨)=∫0吨X(s)d乙(s)是连续局部鞅但不是鞅。
我们将在附录中证明这个定理。

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