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数学代写|复杂网络作业代写complex networks代考|Percolation Threshold
Percolation theory deals with the cluster structure of networks when a fraction of the sites or bonds is removed. A spanning cluster (or a “giant component”in the terminology of random graphs) is a cluster of connected sites (i.e. where there is a path from each site to each other) of the order of the size of the entire network. Most standard treatments of percolation deal with lattices and regular graphs. However, a similar treatment can be applied to random networks.
For a general random network having degree distribution $P(k)$ to have a spanning cluster, a site which is reached by following a link from this cluster must have at least one other link on average to allow the cluster to exist. For this to happen the average degree of a site must be at least 2 (one incoming and one outgoing link) given that the site $i$ is connected to $j$ :
$$
\left\langle k_{i} \mid i \leftrightarrow j\right\rangle=\sum_{k_{i}} k_{i} P\left(k_{i} \mid i \leftrightarrow j\right)=2 .
$$
数学代写|复杂网络作业代写complex networks代考|Generating Functions
A general method for studying the size of the infinite cluster and the residual network for a graph with an arbitrary degree distribution was first developed by Molloy and Reed [23]. They suggested viewing the infinite cluster as being explored and used differential equations for the number of un-exposed links and unvisited sites to find the size of the infinite cluster and the degree distribution of the residual graph (the finite clusters).
An alternative and very powerful derivation was given by Newman, Strogatz and Watts [14]. They have used the generating functions method to study the size of the infinite cluster as well as other quantities (such as the diameter and cluster size distribution). They have also applied this method to other types of graphs (directed and bipartite). Here we closely follow their derivation in order to find the size of the infinite cluster and the critical exponents.
In $[14,24]$ a generating function is built for the degree distribution:
$$
G_{0}(x)=\sum_{k=0}^{\infty} P(k) x^{k} .
$$
The probability of reaching a site with degree $k$ by following a specific link is $k P(k) /\langle k\rangle[10,11,14,24]$, and the corresponding generating function for those probabilities is
$$
G_{1}(x)=\frac{\sum k P(k) x^{k-1}}{\sum k P(k)}=\frac{d}{d x} G_{0}(x) /\langle k\rangle
$$
数学代写|复杂网络作业代写COMPLEX NETWORKS代考|Critical Exponents
Using Abelian and Tauberian methods $[25,26]$ one can use . (3.19) and (3.20) to find the critical exponents for percolation in scale free networks. Some preliminary results can be found in [27]. A more detailed treatment can be found in $[28,19]$. Here we just state the results.
The size of the giant component near the critical point behaves as $P_{\infty} \sim$ $\left(p-p_{c}\right)^{\beta}$, where
$$
\beta= \begin{cases}\frac{1}{3-\lambda} & 2<\lambda<3 \\ \frac{1}{\lambda-3} & 3<\lambda<4 \\ 1 & \lambda>4\end{cases}
$$
The number of clusters with size $s$ behaves as $n_{s} \sim\left(p-p_{c}\right)^{-\tau}$, where
$$
\tau=2+\frac{1}{\lambda-2}=\frac{2 \lambda-3}{\lambda-2}, \quad 2<\lambda<4 $$ For $\lambda>4, \tau=2.5$, which is the regular mean field value. From those results it can be seen that the critical exponents are anomalous even when the second moment $\left\langle k^{2}\right\rangle$ is convergent and only the third moment $\left\langle k^{3}\right\rangle$ diverges, as in the case of $3<\lambda<4$.
From $\tau$ it can be deduced that the “double jump” in Erdős-Rényi graphs is also seen in scale free graphs, Where $S$, the size of largest component, scales as $S \sim N^{(\lambda-2) /(\lambda-1)}$ exactly at criticality [19]. For $\lambda \geq 4$ the known result of $S \sim N^{2 / 3}$ is obtained. The fractal dimensions at criticality for $\lambda>3$ can also be obtained $[19]$ and are:
$$
d_{l}=\frac{\lambda-2}{\lambda-3}, \quad d_{f}=2 \frac{\lambda-2}{\lambda-3}, \quad d_{c}=2 \frac{\lambda-1}{\lambda-3},
$$
where for $\lambda \geq 4$ the regular mean field values of $2,4,6$ are restored.
复杂网络代写
数学代写|复杂网络作业代写COMPLEX NETWORKS代考|PERCOLATION THRESHOLD
渗流理论处理当一小部分位点或键被移除时网络的簇结构。跨越集群这r一种“G一世一种n吨C这米p这n和n吨”一世n吨H和吨和r米一世n这l这G是这Fr一种nd这米Gr一种pHs是一组连接的站点一世.和.在H和r和吨H和r和一世s一种p一种吨HFr这米和一种CHs一世吨和吨这和一种CH这吨H和r整个网络的规模。大多数标准的渗滤处理都处理格子和规则图。然而，类似的处理可以应用于随机网络。
对于具有度分布的一般随机网络磷(ķ)要拥有一个跨越集群，通过从该集群的链接到达的站点必须平均至少有一个其他链接才能允许该集群存在。为此，站点的平均度数必须至少为 2这n和一世nC这米一世nG一种nd这n和这在吨G这一世nGl一世nķ鉴于该网站一世连接到j :
$$
\left\langle k_{i} \mid i \leftrightarrow j\right\rangle=\sum_{k_{i}} k_{i} P\left(k_{i} \mid i \leftrightarrow j\right)=2 .
$$
数学代写|复杂网络作业代写COMPLEX NETWORKS代考|GENERATING FUNCTIONS
Molloy 和 Reed 首先开发了一种用于研究具有任意度分布的图的无限簇大小和残差网络的通用方法23. 他们建议将无限集群视为正在探索中，并使用微分方程来计算未暴露链接和未访问站点的数量，以找到无限集群的大小和残差图的度数分布吨H和F一世n一世吨和Cl在s吨和rs.
Newman、Strogatz 和 Watts 给出了另一种非常强大的推导14. 他们使用生成函数方法来研究无限集群的大小以及其他数量s在CH一种s吨H和d一世一种米和吨和r一种ndCl在s吨和rs一世和和d一世s吨r一世b在吨一世这n. 他们还将这种方法应用于其他类型的图表d一世r和C吨和d一种ndb一世p一种r吨一世吨和. 在这里，我们密切关注它们的推导，以找到无限集群的大小和临界指数。
在[14,24]为度分布构建生成函数：
G0(X)=∑ķ=0∞磷(ķ)Xķ.
到达具有学位的站点的概率ķ通过以下特定链接是ķ磷(ķ)/⟨ķ⟩[10,11,14,24]，并且这些概率的相应生成函数是
G1(X)=∑ķ磷(ķ)Xķ−1∑ķ磷(ķ)=ddXG0(X)/⟨ķ⟩
数学代写|复杂网络作业代写COMPLEX NETWORKS代考|CRITICAL EXPONENTS
使用 Abelian 和 Tauberian 方法[25,26]一个可以使用。3.19和3.20找到无标度网络中渗透的关键指数。一些初步结果可以在27. 更详细的处理可以在[28,19]. 这里我们只是陈述结果。
临界点附近的巨型组件的大小表现为磷∞∼ (p−pC)b， 在哪里
b={13−λ2<λ<31λ−33<λ<41λ>4
具有大小的簇数s表现为ns∼(p−pC)−τ， 在哪里
τ=2+1λ−2=2λ−3λ−2,2<λ<4为了λ>4,τ=2.5，这是常规的平均场值。从这些结果可以看出，即使在第二时刻，临界指数也是异常的⟨ķ2⟩是收敛的，只有第三个时刻⟨ķ3⟩发散，例如3<λ<4.
从τ可以推断，Erdős-Rényi 图中的“双跳”也出现在无标度图中，其中小号，最大组件的大小，缩放为小号∼ñ(λ−2)/(λ−1)正好处于临界状态19. 为了λ≥4的已知结果小号∼ñ2/3获得。临界分形维数λ>3也可以获得[19]并且是：
dl=λ−2λ−3,dF=2λ−2λ−3,dC=2λ−1λ−3,
在哪里λ≥4的常规平均场值2,4,6被恢复。
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