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统计代写|多元统计分析作业代写Multivariate Statistical Analysis代考|A Short Excursion into Matrix Algebra

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多元统计分析Multivariate Statistical Analysis通常情况下,希望使用多变量分析的研究会因为问题的维度而停滞。这些问题通常通过使用代理模型来缓解,代理模型是基于物理学的代码的高度精确的近似。由于代用模型采取方程的形式,它们可以被快速评估。这成为大规模MVA研究的一个有利因素:在基于物理学的代码中,整个设计空间的蒙特卡洛模拟是困难的,而在评估代用模型时,它变得微不足道,代用模型通常采取响应面方程的形式。

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统计代写|多元统计分析作业代写Multivariate Statistical Analysis代考|Elementary Operations

A matrix $\mathcal{A}$ is a system of numbers with $n$ rows and $p$ columns:
$$
\mathcal{A}=\left(\begin{array}{cccccc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & \ldots & \ldots & a_{1 p} \
\vdots & a_{22} & & & & \vdots \
\vdots & \vdots & \ddots & & & \vdots \
\vdots & \vdots & & \ddots & & \vdots \
\vdots & \vdots & & & \ddots & \vdots \
a_{n 1} & a_{n 2} & \ldots & \ldots & \ldots & a_{n p}
\end{array}\right) .
$$
We also write $\left(a_{i j}\right)$ for $\mathcal{A}$ and $\mathcal{A}(n \times p)$ to indicate the numbers of rows and columns. Vectors are matrices with one column and are denoted as $x$ or $x(p \times 1)$. Special matrices and vectors are defined in Table 2.1. Note that we use small letters for scalars as well as for vectors.
Matrix Operations
Elementary operations are summarized below:
$$
\begin{aligned}
\mathcal{A}^{\top} &=\left(a_{j i}\right) \
\mathcal{A}+\mathcal{B} &=\left(a_{i j}+b_{i j}\right) \
\mathcal{A}-\mathcal{B} &=\left(a_{i j}-b_{i j}\right) \
c \cdot \mathcal{A} &=\left(c \cdot a_{i j}\right) \
\mathcal{A} \cdot \mathcal{B} &=\mathcal{A}(n \times p) \mathcal{B}(p \times m)=\mathcal{C}(n \times m)=\left(\sum_{j=1}^{p} a_{i j} b_{j k}\right)
\end{aligned}
$$

统计代写|多元统计分析作业代写Multivariate Statistical Analysis代考|Spectral Decompositions

The computation of eigenvalues and eigenvectors is an important issue in the analysis of matrices. The spectral decomposition or Jordan decomposition links the structure of a matrix to the eigenvalues and the eigenvectors.

THEOREM $2.1$ (Jordan Decomposition) Each symmetric matrix $\mathcal{A}(p \times p)$ can be written as
$$
\mathcal{A}=\Gamma \Lambda \Gamma^{\top}=\sum_{j=1}^{p} \lambda_{j} \gamma_{j} \gamma_{j}^{\top}
$$
where
$$
\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}\right)
$$
and where
$$
\Gamma=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots, \gamma_{p}\right)
$$
is an orthogonal matrix consisting of the eigenvectors $\gamma_{j}$ of $\mathcal{A}$.

统计代写|多元统计分析作业代写MULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS代考|Quadratic Forms

A quadratic form $Q(x)$ is built from a symmetric matrix $\mathcal{A}(p \times p)$ and a vector $x \in \mathbb{R}^{p}$ :
$$
Q(x)=x^{\top} \mathcal{A} x=\sum_{i=1}^{p} \sum_{j=1}^{p} a_{i j} x_{i} x_{j} .
$$
Definiteness of Quadratic Forms and Matrices
$$
\begin{array}{ll}
Q(x)>0 \text { for all } x \neq 0 & \text { positive definite } \
Q(x) \geq 0 \text { for all } x \neq 0 & \text { positive semidefinite }
\end{array}
$$
A matrix $\mathcal{A}$ is called positive definite (semidefinite) if the corresponding quadratic form $Q(.)$ is positive definite (semidefinite). We write $\mathcal{A}>0(\geq 0)$.
Quadratic forms can always be diagonalized, as the following result shows.

统计代写|多元统计分析作业代写Multivariate Statistical Analysis代考|A Short Excursion into Matrix Algebra

多元统计分析代写

统计代写|多元统计分析作业代写MULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS代考|ELEMENTARY OPERATIONS

矩阵一种是一个数字系统n行和p列:
一种=(一种11一种12………一种1p ⋮一种22⋮ ⋮⋮⋱⋮ ⋮⋮⋱⋮ ⋮⋮⋱⋮ 一种n1一种n2………一种np).
我们也写(一种一世j)为了一种和一种(n×p)来表示行数和列数。向量是一列的矩阵,表示为X或者X(p×1). 特殊矩阵和向量在表 2.1 中定义。请注意,我们对标量和向量使用小写字母。
矩阵运算
基本运算总结如下:
$$
\begin{aligned}
\mathcal{A}^{\top} &=\left(a_{j i}\right) \
\mathcal{A}+\mathcal{B} &=\left(a_{i j}+b_{i j}\right) \
\mathcal{A}-\mathcal{B} &=\left(a_{i j}-b_{i j}\right) \
c \cdot \mathcal{A} &=\left(c \cdot a_{i j}\right) \
\mathcal{A} \cdot \mathcal{B} &=\mathcal{A}(n \times p) \mathcal{B}(p \times m)=\mathcal{C}(n \times m)=\left(\sum_{j=1}^{p} a_{i j} b_{j k}\right)
\end{aligned}
$$

统计代写|多元统计分析作业代写MULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS代考|SPECTRAL DECOMPOSITIONS

特征值和特征向量的计算是矩阵分析中的一个重要问题。谱分解或 Jordan 分解将矩阵的结构与特征值和特征向量联系起来。

定理2.1 Ĵ这rd一种nD和C这米p这s一世吨一世这n每个对称矩阵一种(p×p)可以写成
$$
\mathcal{A}=\Gamma \Lambda \Gamma^{\top}=\sum_{j=1}^{p} \lambda_{j} \gamma_{j} \gamma_{j}^{\top}
$$
where
$$
\Lambda=\operatorname{diag}\left(\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{p}\right)
$$
and where
$$
\Gamma=\left(\gamma_{1}, \gamma_{2}, \ldots, \gamma_{p}\right)
$$
是由特征向量组成的正交矩阵Cj的一种.

统计代写|多元统计分析作业代写MULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS代考|QUADRATIC FORMS

二次形式问(X)由对称矩阵构建一种(p×p)和一个向量X∈Rp :
问(X)=X⊤一种X=∑一世=1p∑j=1p一种一世jX一世Xj.
二次形式和矩阵的确定性
问(X)>0 对全部 X≠0 正定  问(X)≥0 对全部 X≠0 正半定 
矩阵一种称为正定s和米一世d和F一世n一世吨和如果对应的二次型问(.)是正定的s和米一世d和F一世n一世吨和. 我们写一种>0(≥0).
二次形式总是可以对角化,如下面的结果所示。

统计代写|多元统计分析作业代写Multivariate Statistical Analysis代考

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