数学代考| Alphabets and Words 离散数学代写代写 - 代考代写：100%准时可靠您的作业代写专家

An alphabet is a finite non-empty set $\mathrm{A}$, and the elements of $\mathrm{A}$ are called letters. For example, consider the usual alphabet which is a set A that consists of the letters from $a$ to $z$.

Words are finite strings of letters, and a set of words is generated from the alphabet. For example, the alphabet $A={a, b}$ generates the following set of words:
$$
{\varepsilon, a, b, a a, a b, b b, b a, a a a, b b b, \ldots \ldots \ldots}
$$
( $\varepsilon$ denotes the empty word.)
Each non-empty word consists of an ordered list of one or more letters, and the set of words of length two consists of all ordered lists of two letters. It is given by
$$
A^{2}={a a, a b, b b, b a}
$$
Similarly, the set of words of length three is given by
$$
A^{3}={a a a, a a b, a b b, a b a, b a a, b a b, b b b, b b a}
$$
The set of all words over the alphabet $A$ is given by the positive closure $\mathrm{A}^{+}$, and it is defined by
$$
A^{+}=A \cup A^{2} \cup A^{3} \cup \ldots . .=\bigcup_{n=1}^{\propto} A^{n}
$$
Given any two words $w_{1}=a_{1} a_{2} \ldots a_{k}$ and $w_{2}=b_{1} b_{2} \ldots b_{r}$ then the concatenation of $w_{1}$ and $w_{2}$ is given by
$$
w=w_{1} w_{2}=a_{1} a_{2} \ldots a_{k} b_{1} b_{2} \ldots b_{r}
$$
The empty word is a word of length zero and is denoted by $\varepsilon$. Clearly, $\varepsilon w=$ $w \varepsilon=w$ for all $w$ and so $\varepsilon$ is the identity element under the concatenation operation.
$12.2$ Alphabets and Words
193
$A^{0}$ is used to denote the set containing the empty word ${\varepsilon}$, and the closure $A^{}\left(=\mathrm{A}^{+} \cup{\varepsilon}\right)$ denotes the infinite set of all words over A (including empty words). It is defined as $$ A^{}=\bigcup_{n=1}^{\propto} A^{n} .
$$
The mathematical structure $\left(\mathrm{A}^{*},^{\wedge}, \varepsilon\right)$ forms a monoid, ${ }^{1}$ where $^{\wedge}$ is the concatenation operator for words and the identity element is $\varepsilon$. The length of a word $w$ is denoted by $|w|$ and the length of the empty word is zero: i.e. $|\varepsilon|=0$.

A subset $L$ of $A^{}$ is termed a formal language over $A$. Given two languages $L_{1}, L_{2}$ then the concatenation (or product) of $\mathrm{L}{1}$ and $\mathrm{L}{2}$ is defined by
$$
L_{1} L_{2}=\left{w \mid w=w_{1} w_{2} \text { where } w_{1} \in L_{1} \text { and } w_{2} \in L_{2}\right} .
$$
The positive closure of $L$ and the closure of $L$ may also be defined as
$$
L^{+}=\bigcup_{n=1}^{\propto} L^{n} \quad L^{}=\bigcup_{n=0}^{\propto} L^{n} .
$$

图论代考

字母表是一个有限非空集合$\mathrm{A}$，$\mathrm{A}$ 的元素称为字母。例如，考虑通常的字母表，它是由从 $a$ 到 $z$ 的字母组成的集合 A。

单词是有限的字母串，从字母表中生成一组单词。例如，字母表 $A={a, b}$ 生成以下单词集：
$$
{\varepsilon, a, b, a a, a b, b b, b a, a a a, b b b, \ldots \ldots \ldots}
$$
（$\varepsilon$ 表示空词。）
每个非空词由一个或多个字母的有序列表组成，长度为 2 的词集由两个字母的所有有序列表组成。它是由
$$
A^{2}={a a, a b, b b, b a}
$$
类似地，长度为 3 的单词集由下式给出
$$
A^{3}={a a a, a a b, a b b, a b a, b a a, b a b, b b b, b b a}
$$
字母表 $A$ 上所有单词的集合由正闭包 $\mathrm{A}^{+}$ 给出，定义为
$$
A^{+}=A \cup A^{2} \cup A^{3} \cup \ldots 。 .=\bigcup_{n=1}^{\propto} A^{n}
$$
给定任意两个单词 $w_{1}=a_{1} a_{2} \ldots a_{k}$ 和 $w_{2}=b_{1} b_{2} \ldots b_{r}$ 然后连接$w_{1}$ 和 $w_{2}$ 由下式给出
$$
w=w_{1} w_{2}=a_{1} a_{2} \ldots a_{k} b_{1} b_{2} \ldots b_{r}
$$
空字是长度为零的字，用$\varepsilon$ 表示。显然，对于所有的 $w$，$\varepsilon w=$ $w \varepsilon=w$ 并且因此 $\varepsilon$ 是串联操作下的恒等元素。
$12.2$ 字母和单词
193
$A^{0}$ 用于表示包含空词 ${\varepsilon}$ 的集合，以及闭包 $A^{}\left(=\mathrm{A}^{+} \cup {\varepsilon}\right)$ 表示 A 上所有单词的无限集（包括空单词）。它被定义为 $$ A^{}=\bigcup_{n=1}^{\propto} A^{n} 。
$$
数学结构 $\left(\mathrm{A}^{*},^{\wedge}, \varepsilon\right)$ 形成一个幺半群 ${ }^{1}$ 其中 $^{\wedge}$ 是单词和标识元素的连接运算符是 $\varepsilon$。单词 $w$ 的长度由 $|w|$ 表示，空单词的长度为零：即 $|\varepsilon|=0$。

$A^{}$ 的子集 $L$ 被称为 $A$ 上的形式语言。给定两种语言 $L_{1}、L_{2}$，那么 $\mathrm{L}{1}$ 和 $\mathrm{L}{2}$ 的连接（或乘积）定义为
$$
L_{1} L_{2}=\left{w \mid w=w_{1} w_{2} \text { 其中 } w_{1} \in L_{1} \text { 和 } w_{2} \in L_{2}\right} 。
$$
$L$ 的正闭包和$L$ 的闭包也可以定义为
$$
L^{+}=\bigcup_{n=1}^{\propto} L^{n} \quad L^{}=\bigcup_{n=0}^{\propto} L^{n} 。
$$

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Cryptosystem
A system that describes how to encrypt or decrypt messages
Plaintext
Message in its original form
Ciphertext
Message in its encrypted form
Cryptographer
Invents encryption algorithms
Cryptanalyst
Breaks encryption algorithms or implementations

编码理论代写

编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。

编码共分四类：^[1]