数学代写| The theorems of Bohr-Jessen and of Bagchi 数论代考
数论代考
We begin by stating a precise version of Bagchi’s Theorem. In the remainder of this chapter, we denote by $\Omega_{\mathrm{T}}$ the probability space $([-\mathrm{T}, \mathrm{T}], d t /(2 \mathrm{~T}))$ for $\mathrm{T} \geqslant 1$. We will often write $\mathbf{E}{\mathrm{T}}(\cdot)$ and $\mathbf{P}{\mathrm{T}}(\cdot)$ for the corresponding expectation and probability.
THEOREM $3.2 .1$ (Bagchi [4]). Let $\tau$ be such that $1 / 2<\tau$. If $1 / 2<\tau<1$, let $r>0$ be such that
$$
\mathrm{D}={s \in \mathrm{C}|| s-\tau \mid \leqslant r} \subset{s \in \mathbf{C} \mid 1 / 2<\operatorname{Re}(s)<1}
$$
and if $\tau \geqslant 1$, let $\mathrm{D}$ be any compact subset of ${s \in \mathrm{C} \mid \operatorname{Re}(s) \geqslant 1}$ such that $\tau \in \mathrm{D}$.
Consider the $\mathrm{H}(\mathrm{D})$-valued random variables $\mathrm{Z}{\mathrm{D}, \mathrm{T}}$ defined by $$ t \mapsto(s \mapsto \zeta(s+i t)) $$ on $\Omega{\mathrm{T}}$. Let $\left(\mathrm{X}{p}\right){p}$ be a sequence of independent random variables, indexed by the primes, which are identically distributed, with distribution uniform on the unit circle $\mathrm{S}^{1} \subset \mathrm{C}^{\times}$.
Then we have convergence in law $\mathrm{Z}{\mathrm{D}, \mathrm{T}} \longrightarrow \mathrm{Z}{\mathrm{D}}$ as $\mathrm{T} \rightarrow+\infty$, where $\mathrm{Z}{\mathrm{D}}$ is the random Euler product defined by $$ \mathrm{Z}{\mathrm{D}}(s)=\prod_{p}\left(1-p^{-s} \mathrm{X}{p}\right)^{-1} $$ In this theorem, the space $\mathrm{H}(\mathrm{D})$ is viewed as a Banach space (hence a metric space, so that convergence in law makes sense) with the norm $$ |f|{\infty}=\sup _{z \in \mathrm{D}}|f(z)| .
$$
We can already see that Theorem $3.2 .1$ is (much) stronger than the convergence in law component of Theorem 3.1.1, which we now prove assuming this result:
COROLLARY 3.2.2. Fix $\tau$ such that $1 / 2<\tau$. As $\mathrm{T} \rightarrow+\infty$, the random variables $\mathrm{Z}{\tau, \mathrm{T}}$ of Theorem 3.1.1 converge in law to the random variable $\mathrm{Z}{\mathrm{D}}(\tau)$, where $\mathrm{D}$ is either a disc
$$
\mathrm{D}={s \in \mathbf{C}|| s-\tau \mid \leqslant r}
$$
contained in the interior of the critical strip, if $\tau<1$, or any compact subset of ${s \in \mathbf{C} \mid$ $\operatorname{Re}(s) \geqslant 1}$ such that $\tau \in \mathrm{D}$.
PROOF. Fix D as in the statement. Tautologically, we have
is the evaluation map. This map is continuous on $\mathrm{H}(\mathrm{D})$, so it follows by composition (Proposition B.3.2 in Appendix B) that the convergence in law $\mathrm{Z}{\mathrm{D}, \mathrm{T}} \longrightarrow \mathrm{Z}{\mathrm{D}}$ of Bagchi’s Theorem implies the convergence in law of $Z_{\tau, T}$ to the random variable $e_{\tau} \circ Z_{\mathrm{D}}$, which is simply $\mathrm{Z}_{\mathrm{D}}(\tau)$.
In order to prove the final part of Theorem 3.1.1, and to derive Voronin’s universality theorem, we need to understand the support of the limit $\mathrm{Z}{\mathrm{D}}$ in Bagchi’s Theorem. We will prove in Section 3.3: 41 THEOREM 3.2.3 (Bagchi, Voronin). Let $\tau$ be such that $1 / 2<\tau<1$, and r such that $$ \mathrm{D}={s \in \mathbf{C}|| s-\tau \mid \leqslant r} \subset{s \in \mathrm{C} \mid 1 / 2<\operatorname{Re}(s)<1} $$ The support of $\mathrm{Z}{\mathrm{D}}$ contains
$$
\mathrm{H}(\mathrm{D})^{\times}={f \in \mathrm{H}(\mathrm{D}) \mid f(z) \neq 0 \text { for all } z \in \mathrm{D}}
$$
and is equal to $\mathrm{H}(\mathrm{D})^{\times} \cup{0}$.
In particular, for any function $f \in \mathrm{H}(\mathrm{D})^{\times}$, and for any $\varepsilon>0$, there exists $t \in \mathbf{R}$ such that
$\operatorname{Sup}{s \in \mathrm{D}}|\zeta(s+i t)-f(s)|<\varepsilon{-}$
It is then obvious that if $1 / 2<\tau<1$, the support of the Bohr-Jessen random variable ( $\tau)$ is equal to $\mathrm{C}$.
EXERCISE 3.2.4. Prove that the support of the Bohr-Jessen random variable $\mathrm{Z}_{\mathrm{D}}(1)$ is also equal to $\mathrm{C}$.
We now begin the proof of Theorem $3.2 .1$ by giving some intuition for the result and in particular for the shape of the limiting distribution. Indeed, this very elementary argument will suffice to prove Bagchi’s Theorem in the case $\tau>1$. This turns out to be similar to the intuition behind the Erdős-Kac Theorem. We begin with the Euler product
$$
\zeta(s+i t)=\prod_{p}\left(1-p^{-s-i t}\right)^{-1}
$$
我们首先陈述一个精确版本的 Bagchi 定理。在本章的其余部分，我们用 $\Omega_{\mathrm{T}}$ 表示概率空间 $([-\mathrm{T}, \mathrm{T}], dt /(2 \mathrm{~T }))$ 为 $\mathrm{T} \geqslant 1$。我们经常会写 $\mathbf{E}{\mathrm{T}}(\cdot)$ 和 $\mathbf{P}{\mathrm{T}}(\cdot)$ 来表示对应的期望和概率。
定理 $3.2 .1$ (Bagchi [4])。令$\tau$ 使得$1 / 2<\tau$。如果 $1 / 2<\tau<1$，让 $r>0$ 是这样的
$$
\mathrm{D}={s \in \mathrm{C}|| s-\tau \mid \leqslant r} \subset{s \in \mathbf{C} \mid 1 / 2<\operatorname{Re}(s)<1}
$$
如果$\tau \geqslant 1$，令$\mathrm{D}$ 是${s \in \mathrm{C} \mid \operatorname{Re}(s) \geqslant 1}$ 的任何紧子集这样$\tau \in \mathrm{D}$。
考虑 $\mathrm{H}(\mathrm{D})$ 值随机变量 $\mathrm{Z}{\mathrm{D}, \mathrm{T}}$ 定义为 $$ t \mapsto(s \mapsto \zeta(s+i t)) $$ 在 $\Omega{\mathrm{T}}$ 上。令 $\left(\mathrm{X}{p}\right){p}$ 为由素数索引的独立随机变量序列，它们同分布，在单位圆 $\mathrm 上分布均匀{S}^{1} \subset \mathrm{C}^{\times}$。
那么我们有收敛律 $\mathrm{Z}{\mathrm{D}, \mathrm{T}} \longrightarrow \mathrm{Z}{\mathrm{D}}$ as $\mathrm{T} \ rightarrow+\infty$，其中 $\mathrm{Z}{\mathrm{D}}$ 是由下式定义的随机欧拉积 $$ \mathrm{Z}{\mathrm{D}}(s)=\prod_{p}\left(1-p^{-s} \mathrm{X}{p}\right)^{-1} $$ 在这个定理中，空间 $\mathrm{H}(\mathrm{D})$ 被视为具有范数的 Banach 空间（因此是度量空间，因此在法律上收敛是有意义的） $$ |f|{\infty}=\sup _{z \in \mathrm{D}}|f(z)| .
$$
我们已经可以看到，定理 $3.2 .1$ 比定理 3.1.1 的收敛性（很多）强，我们现在假设这个结果证明：
推论 3.2.2。修正 $\tau$ 使得 $1 / 2<\tau$。由于 $\mathrm{T} \rightarrow+\infty$，定理 3.1.1 的随机变量 $\mathrm{Z}{\tau, \mathrm{T}}$ 收敛于随机变量 $\mathrm{ Z}{\mathrm{D}}(\tau)$，其中 $\mathrm{D}$ 是一个圆盘
$$
\mathrm{D}={s \in \mathbf{C}|| s-\tau \mid \leqslant r}
$$
包含在关键带的内部，如果 $\tau<1$，或 ${s \in \mathbf{C} \mid$ $\operatorname{Re}(s) \geqslant 1} 的任何紧凑子集$ 使得 $\tau \in \mathrm{D}$.
证明。修正 D，如声明中所述。同义反复，我们有
是评价图。该映射在 $\mathrm{H}(\mathrm{D})$ 上是连续的，因此通过合成（附录 B 中的命题 B.3.2）可以得出收敛律 $\mathrm{Z}{\mathrm{ Bagchi定理的D}, \mathrm{T}} \longrightarrow \mathrm{Z}{\mathrm{D}}$暗示了$Z_{\tau, T}$对随机变量$e_{的收敛规律\tau} \circ Z_{\mathrm{D}}$，就是 $\mathrm{Z}_{\mathrm{D}}(\tau)$。
为了证明定理 3.1.1 的最后部分，并推导出 Voronin 的普遍性定理，我们需要了解 Bagchi 定理中极限 $\mathrm{Z}{\mathrm{D}}$ 的支持。我们将在 3.3 节证明： 41 定理 3.2.3（巴奇，沃罗宁）。令 $\tau$ 满足 $1 / 2<\tau<1$，并且 r 满足 $$ \mathrm{D}={s \in \mathbf{C}|| s-\tau \mid \leqslant r} \subset{s \in \mathrm{C} \mid 1 / 2<\operatorname{Re}(s)<1} $$ $\mathrm{Z}{\mathrm{D}}$ 的支持包含
$$
\mathrm{H}(\mathrm{D})^{\times}={f \in \mathrm{H}(\mathrm{D}) \mid f(z) \neq 0 \text { for all } z \in \mathrm{D}}
$$
并且等于$\mathrm{H}(\mathrm{D})^{\times} \cup{0}$。
特别地，对于任何函数 $f \in \mathrm{H}(\mathrm{D})^{\times}$，并且对于任何 $\varepsilon>0$，存在 $t \in \mathbf{R} $ 这样
$\operatorname{Sup}{s \in \mathrm{D}}|\zeta(s+it)-f(s)|<\varepsilon{-}$
那么很明显，如果 $1 / 2<\tau<1$，则 Bohr-Jessen 随机变量 ($\tau)$ 的支持度等于 $\mathrm{C}$。
练习 3.2.4。证明 Bohr-Jessen 随机变量 $\mathrm{Z}_{\mathrm{D}}(1)$ 的支持度也等于 $\mathrm{C}$。
我们现在开始证明定理 $3.2 .1$，对结果给出一些直觉，特别是对极限分布的形状。事实上，这个非常基本的论点足以证明在 $\tau>1$ 的情况下的 Bagchi 定理。这与 Erdős-Kac 定理背后的直觉相似。我们从欧拉积开始
$$
\zeta(s+i t)=\prod_{p}\left(1-p^{-s-it}\right)^{-1}
$$
我们将命题 B.4.4 应用于随机向量 $\mathrm{G}{\mathrm{N}}=\left(g^{b}\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N} }\right), g^{\sharp}\left(\mathrm{S}{\mathrm{N}}\right)\right)$（值在 $\mathrm{C}^{2}$ 中） , 有近似值 $\mathrm{G}{\mathrm{N}}=\mathrm{G}{\mathrm{N}, \mathrm{M}}+\mathrm{E}{\mathrm{N }, \mathrm{M}}$ 其中
$$
\mathrm{G}{\mathrm{N}, \mathrm{M}}=\left(\sum{p \leqslant \mathrm{M}} g^{b}\left(p^{v_{p} \left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right)}\right), \sum{p \leqslant \mathrm{M}} g^{\sharp}\left(p^{v_ {p}\left(\mathrm{~S}{\mathrm{N}}\right)}\right)\right) 。 $$ 让 $M \geqslant 1$ 固定。随机向量 $G{N, M}$ 是有限和，并且表示为 $\Omega_{\mathrm{N}}$ 的元素的估值 $v_{p}$ 的明显连续函数，对于 $p \leqslant \mathrm{M}$。由于这些估值的向量根据推论 1.3.9 在法律上收敛到 $\left(\mathrm{V}{p}\right){p \leqslant \mathrm{M}}$，因此应用连续映射的合成（同样是命题 B.3.2），因此 $\left(\mathrm{G}{\mathrm{N}, \mathrm{M}}\right){\mathrm{N}}$ 在规律上收敛为$\mathrm{N} \rightarrow+\infty$ 到向量
$$
\left(\sum_{p \leqslant \mathrm{M}} g^{b}\left(p^{\mathrm{V}{p}}\right), \sum{p \leqslant \mathrm{M }} g^{\sharp}\left(p^{\mathrm{V}_{p}}\right)\right) \text {. }
$$
因此，足以验证命题 B.4.4 的假设 (2) 成立，我们可以对向量的两个坐标中的每一个分别进行验证（通过对 $\mathrm{C}^{2}$ 取范数）在命题中是两个坐标的模的最大值）。
数论代写
数论是纯粹数学的分支之一，主要研究整数的性质。整数可以是方程式的解（丢番图方程）。有些解析函数（像黎曼ζ函数）中包括了一些整数、质数的性质，透过这些函数也可以了解一些数论的问题。透过数论也可以建立实数和有理数之间的关系，并且用有理数来逼近实数（丢番图逼近）。
按研究方法来看，数论大致可分为初等数论和高等数论。初等数论是用初等方法研究的数论，它的研究方法本质上说，就是利用整数环的整除性质，主要包括整除理论、同余理论、连分数理论。高等数论则包括了更为深刻的数学研究工具。它大致包括代数数论、解析数论、计算数论等等。
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在中世纪时，除了1175年至1200年住在北非和君士坦丁堡的斐波那契有关等差数列的研究外，西欧在数论上没有什么进展。
数论中期主要指15-16世纪到19世纪，是由费马、梅森、欧拉、高斯、勒让德、黎曼、希尔伯特等人发展的。最早的发展是在文艺复兴的末期，对于古希腊著作的重新研究。主要的成因是因为丢番图的《算术》（Arithmetica）一书的校正及翻译为拉丁文，早在1575年Xylander曾试图翻译，但不成功，后来才由Bachet在1621年翻译完成。
计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
