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统计代写|Joint and Marginal Densities 抽样理论代考

统计代写

To compute a probability involving two random variables $T_{1}$ and $T_{2}$ we need the joint distribution of $\left(T_{1}, T_{2}\right)$. In this chapter we will consider only continuous random variables. The joint distribution will be given by the joint density of the random variables.

• Let $X$ and $Y$ be two continuous random variables. The joint density of the vector $(X, Y)$ is a positive function $f$ such that
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x d y=1$$
For $a<b$ and $c<d$,
$$P(a<X<b \text { and } c<Y<d)=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) d x d y .$$
More generally, for a function $g$,
$$E(g(X, Y))=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) d x d y$$
provided $g \geq 0$ or $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}|g(x, y)| f(x, y) d x d y<+\infty$.
• Note that the joint density $f$ is defined everywhere on $\mathbb{R}^{2}$. It is however non-zero only on its support. It will always be important to keep track of the support.
(C) Springer Nature Switzerland AG 2022 R. B. Schinazi, Probability with Statistical Applications,
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16 Continuous Joint Distributions
Example 1 Assume that $(X, Y)$ is uniformly distributed on the disc
What is the joint density of $(X, Y)$ ?
Since the distribution is uniform there is a constant $c$ such that $f(x, y)=c$ for $(x, y)$ in $\mathcal{C}$ and $f(x, y)=0$ elsewhere. That is, the support of $f$ is $\mathcal{C}$. Hence,
Thus, $c=1 / \pi$.
Note that if the random vector $(X, Y)$ has joint density $f$, then for any $a<b$,
\begin{aligned} P(a<X<b) &=P(a<X<b \text { and }-\infty<Y<+\infty) \ &=\int_{a}^{b} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y d x . \end{aligned}
Let
$$f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y$$
then
$$P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f_{X}(x) d x$$
That is, $f_{X}$ is the density of $X$. We now state this result.
• Let $(X, Y)$ be a random vector with density $f$. Then, the densities of $X$ and $Y$ are denoted, respectively, by $f_{X}$ and $f_{Y}$ and are called the marginal densities. They are given by
$$f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y \text { and } f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x$$
Example 2 We consider again the uniform random vector on the unit disc from

• 令 $X$ 和 $Y$ 是两个连续随机变量。向量 $(X, Y)$ 的联合密度是一个正函数 $f$ 使得
$$\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x d y=1$$
对于 $a<b$ 和 $c<d$，
$$P(a<X<b \text { and } c<Y<d)=\int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) d x d y 。$$
更一般地，对于函数 $g$，
$$E(g(X, Y))=\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} g(x, y) f(x, y) d x d y$$
提供 $g \geq 0$ 或 $\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty}|g(x, y)| f(x, y) d x d y<+\infty$。
• 请注意，在 $\mathbb{R}^{2}$ 上的任何地方都定义了联合密度 $f$。然而，仅在它的支持下它才非零。跟踪支持总是很重要的。
(C) Springer Nature Switzerland AG 2022 R. B. Schinazi，概率与统计应用，
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16个连续联合分布
示例 1 假设 $(X, Y)$ 均匀分布在磁盘上
$(X, Y)$ 的联合密度是多少？
因为分布是均匀的，所以有一个常数 $c$ 使得 $f(x, y)=c$ 对于 $\mathcal{C}$ 中的 $(x, y)$ 和 $f(x, y)=0$别处。即$f$的支持度为$\mathcal{C}$。因此，
因此，$c=1 / \pi$。
请注意，如果随机向量 $(X, Y)$ 具有联合密度 $f$，那么对于任何 $a<b$，
$$\开始{对齐} P(a<X<b) &=P(a<X<b \text { 和 }-\infty<Y<+\infty) \ &=\int_{a}^{b} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y d x 。 \end{对齐}$$

$$f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d y$$
然后
$$P(a<X<b)=\int_{a}^{b} f_{X}(x) d x$$
也就是说，$f_{X}$ 是 $X$ 的密度。我们现在陈述这个结果。
• 令 $(X, Y)$ 为密度为 $f$ 的随机向量。然后，$X$ 和 $Y$ 的密度分别用 $f_{X}$ 和 $f_{Y}$ 表示，称为边际密度。它们由
$$f_{X}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) dy \text { 和 } f_{Y}(y)=\int_{-\infty}^{ +\infty} f(x, y) dx$$
例 2 我们再次考虑单位圆盘上的均匀随机向量

统计代考

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编码理论代写

1. 数据压缩（或信源编码
2. 前向错误更正（或信道编码
3. 加密编码
4. 线路码

复分析代考

(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。