统计代写|Transformations of Random Variable抽样理论代考
统计代写
At this point we know relatively few different continuous distributions: uniform, exponential, and normal are the main distributions we have seen. In this section we will see a general method to obtain many more distributions from the known ones. We start with an example.
Example 3 Let $U$ be a uniform random variable on $(0,1)$. Define $X=U^{2}$. What is the probability density of $X$ ?
Since the support of $U$ is $(0,1)$ so is the support of $X=U^{2}$. Let $F_{X}$ and $F_{U}$ be the distribution functions of $X$ and $U$, respectively.
$$
\begin{aligned}
F_{X}(x) &=P(X \leq x) \
&=P\left(U^{2} \leq x\right) \
&=P(U \leq \sqrt{x}) \
&=F_{U}(\sqrt{x})
\end{aligned}
$$
Recall that if the probability density $f_{X}$ is continuous at $x$, then the distribution function $F_{X}$ is differentiable at $x$ and
$$
\frac{d}{d x} F_{X}(x)=f_{X}(x)
$$
Hence, for $x$ in $(0,1)$
$$
\frac{d}{d x} F_{X}(x)=\frac{d}{d x} F_{U}(\sqrt{x}),
$$
and therefore by the chain rule,
$$
f_{X}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}} f_{U}(\sqrt{x})
$$
Since $U$ is uniform on $(0,1), f_{U}(u)=1$ for $u$ in $(0,1)$. Hence, $f_{U}(\sqrt{x})=1$ for $x$ in $(0,1)$. Thus,
$$
f_{X}(x)-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \text { for } x \in(0,1)
$$
- The preceding example gives a general method to compute the probability density of the transformed random variable. We first find the support of the transformed random variable. Then, we compute the distribution function of the transformed random variable. Assuming the distribution function is regular
162
15 The Cumulative Distribution Function
enough (which will always be the case for us) the probability density of the transformed variable is the derivative of the distribution function.
Example 4 (The Chi-Squared Distribution) Let $Z$ be a standard normal random variable. What is the density of $Y=Z^{2}$ ?
The support of $Z$ is $(-\infty,+\infty)$. Hence, the support of $Y=Z^{2}$ is $(0,+\infty)$.
I.et $y>0$,
$$
\begin{aligned}
&P(Y \leq y) \
&=P\left(Z^{2} \leq y\right)
\end{aligned}
$$
$$
\begin{aligned}
F_{Y}(y) &=P(Y \leq y) \
&=P\left(Z^{2} \leq y\right) \
&=P(-\sqrt{y} \leq Z \leq \sqrt{y})
\end{aligned}
$$
Recall that the standard normal is centered around 0 . Hence,
$$
P(-\sqrt{y} \leq Z \leq \sqrt{y})=2 P(0 \leq Z \leq \sqrt{y})
$$
Since
在这一点上，我们知道相对较少的不同连续分布：均匀分布、指数分布和正态分布是我们看到的主要分布。在本节中，我们将看到一种从已知分布中获得更多分布的通用方法。我们从一个例子开始。
示例 3 令 $U$ 为 $(0,1)$ 上的均匀随机变量。定义 $X=U^{2}$。 $X$ 的概率密度是多少？
由于$U$ 的支持是$(0,1)$，所以$X=U^{2}$ 的支持也是。令$F_{X}$ 和$F_{U}$ 分别是$X$ 和$U$ 的分布函数。
$$
\开始{对齐}
F_{X}(x) &=P(X \leq x) \
&=P\left(U^{2} \leq x\right) \
&=P(U \leq \sqrt{x}) \
&=F_{U}(\sqrt{x})
\end{对齐}
$$
回想一下，如果概率密度 $f_{X}$ 在 $x$ 处是连续的，那么分布函数 $F_{X}$ 在 $x$ 处是可微的，并且
$$
\frac{d}{d x} F_{X}(x)=f_{X}(x)
$$
因此，对于 $(0,1)$ 中的 $x$
$$
\frac{d}{d x} F_{X}(x)=\frac{d}{d x} F_{U}(\sqrt{x}),
$$
因此通过链式法则，
$$
f_{X}(x)=\frac{1}{2 \sqrt{x}} f_{U}(\sqrt{x})
$$
由于 $U$ 在 $(0,1) 上是均匀的，对于 $(0,1)$ 中的 $u$，f_{U}(u)=1$。因此，对于 $(0,1)$ 中的 $x$，$f_{U}(\sqrt{x})=1$。因此，
$$
f_{X}(x)-\frac{1}{2 \sqrt{x}} \text { for } x \in(0,1)
$$
- 前面的例子给出了一种计算变换后随机变量概率密度的通用方法。我们首先找到转换后的随机变量的支持。然后，我们计算变换后的随机变量的分布函数。假设分布函数是正则的
162
15 累积分布函数
足够（对我们来说总是如此）转换变量的概率密度是分布函数的导数。
示例 4（卡方分布） 令 $Z$ 为标准正态随机变量。 $Y=Z^{2}$ 的密度是多少？
$Z$ 的支持是 $(-\infty,+\infty)$。因此，$Y=Z^{2}$ 的支持度为 $(0,+\infty)$。
I.et $y>0$,
$$
\开始{对齐}
&P(Y \leq y) \
&=P\left(Z^{2} \leq y\right)
\end{对齐}
$$
$$
\开始{对齐}
F_{Y}(y) &=P(Y \leq y) \
&=P\left(Z^{2} \leq y\right) \
&=P(-\sqrt{y} \leq Z \leq \sqrt{y})
\end{对齐}
$$
回想一下，标准法线以 0 为中心。因此，
$$
P(-\sqrt{y} \leq Z \leq \sqrt{y})=2 P(0 \leq Z \leq \sqrt{y})
$$
自从
统计代考
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计量经济学代考
计量经济学是以一定的经济理论和统计资料为基础，运用数学、统计学方法与电脑技术，以建立经济计量模型为主要手段，定量分析研究具有随机性特性的经济变量关系的一门经济学学科。 主要内容包括理论计量经济学和应用经济计量学。 理论经济计量学主要研究如何运用、改造和发展数理统计的方法，使之成为经济关系测定的特殊方法。
相对论代考
相对论（英語：Theory of relativity）是关于时空和引力的理论，主要由愛因斯坦创立，依其研究对象的不同可分为狭义相对论和广义相对论。 相对论和量子力学的提出给物理学带来了革命性的变化，它们共同奠定了现代物理学的基础。
编码理论代写
编码理论（英语：Coding theory）是研究编码的性质以及它们在具体应用中的性能的理论。编码用于数据压缩、加密、纠错，最近也用于网络编码中。不同学科（如信息论、电机工程学、数学、语言学以及计算机科学）都研究编码是为了设计出高效、可靠的数据传输方法。这通常需要去除冗余并校正（或检测）数据传输中的错误。
编码共分四类：[1]
数据压缩和前向错误更正可以一起考虑。
复分析代考
学习易分析也已经很冬年了，七七八人的也续了圧少的书籍和论文。略作总结工作，方便后来人学 Đ参考。
复分析是一门历史悠久的学科，主要是研究解析函数，亚纯函数在复球面的性质。下面一昭这 些基本内容。
(1) 提到复变函数 ，首先需要了解复数的基本性左和四则运算规则。怎么样计算复数的平方根， 极坐标与 $x y$ 坐标的转换，复数的模之类的。这些在高中的时候囸本上都会学过。
(2) 复变函数自然是在复平面上来研究问题，此时数学分析里面的求导数之尖的运算就会很自然的 引入到复平面里面，从而引出解析函数的定义。那/研究解析函数的性贡就是关楗所在。最关键的 地方就是所谓的Cauchy一Riemann公式，这个是判断一个函数是否是解析函数的关键所在。
(3) 明白解析函数的定义以及性质之后，就会把数学分析里面的曲线积分 $a$ 的概念引入复分析中， 定义几乎是一致的。在引入了闭曲线和曲线积分之后，就会有出现复分析中的重要的定理: Cauchy 积分公式。 这个是易分析的第一个重要定理。
