运筹学（Operation）是近代应用数学的一个分支。它把具体的问题进行数学抽象，然后用像是统计学、数学模型和算法等方法加以解决，以此来寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。
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运筹学代写
There are many applications of the duality theorem ranging from economic and algorithmic game theory to optimization model design. We list several of them in this section while putting some others as exercises.
Example 1 (Core of Production Game) In cooperative game theory, the core is the set of feasible allocations from a grand coalition/alliance that cannot be improved upon by a subset of the economy’s agents in the coalition. A subset of agents is said to improve upon if the members of that subset are better off when they form their own smaller allocation. An allocation from the grand coalition is said to have the core property if there is no sub-coalition that can improve upon it so that the grand coalition is stable. The core is the set of all feasible allocations with the be difficult in a cooperative game, even just checking whether or not the core is empty is challenging.
Consider a finite set $F$ of firms each of whom has operations that have representations as production linear programs. Suppose the linear program representing the operations of firm $i \in F$ entails choosing an $n$-column vector $\mathbf{x}$ of production levels that
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$3.5$ Selected Applications of the Duality where vector.
An alliance is a subset of the firms, say $S \subset F$, that pools their resources together. Thus, the production linear program that $S$ faces is
Let $V^{S}$ be the resulting maximum profit. The Grand Alliance includes all firms in set $F$, that is, $\mathbf{b}^{F}:=\sum_{i \in F} \mathbf{b}^{i}$ in its linear program. Note that the dual feasible region remains the same for all possible subset $S$ ‘s.
The core of the Grand Alliance is the set of back-payment vector, $\mathbf{z}=\left(z_{1} ; z_{2} ; \ldots ; z_{|F|}\right)$, where $z_{i}$ is the payment to firm $i$, for all firms in $F$ such that
$$
\sum_{i \in F} z_{i}=V^{F} \quad \text { and } \quad \sum_{i \in S} z_{i} \geq V^{S}, \forall S \subset F
$$
The first constraint indicates that the total profit of the Grand Alliance is completely shared by all firms in $F$, and the second constraint indicates that no sub-alliance would be better off if they formed their own production linear program. Note that there are exponentially many constraints in (3.12). But the duality would help here.
Theorem Let $\mathbf{y}^{F}$ be an optimal dual price vector of the Grand-Alliance linear program and assign $z_{i}=\left(\mathbf{y}^{F}\right)^{T} \mathbf{b}^{i}$ for all $i \in F$, that is, price ith firm’s resource vector at $\mathbf{y}^{F}$. Then $\mathbf{z}$ is
Proof From the strong duality theorem,
Proof From the strong duality theorem,
$$
\sum_{i \in F} z_{i}=\sum_{i \in F}\left(\mathbf{y}^{F}\right)^{T} \mathbf{b}^{i}=\left(\mathbf{y}^{F}\right)^{T}\left(\sum_{i \in F} \mathbf{b}^{i}\right)=\left(\mathbf{y}^{F}\right)^{T} \mathbf{b}^{F}=V^{F}
$$
For any subset $S \subset F$
$$
\sum_{i \in S} z_{i}=\sum_{i \in S}\left(\mathbf{y}^{F}\right)^{T} \mathbf{b}^{i}=\left(\mathbf{y}^{F}\right)^{T} \mathbf{b}^{S} \geq V^{S}
$$
where the last inequality is from the weak duality lemma because $\mathbf{y}^{F}$ is feasible for the dual of (3.11).
对偶定理有许多应用，从经济和算法博弈论到优化模型设计。我们在本节中列出了其中的几个，同时将其他一些作为练习。
示例 1（生产博弈的核心） 在合作博弈论中，核心是来自大联盟/联盟的一组可行分配，联盟中的经济主体的子集无法对其进行改进。如果该子集的成员在形成自己的较小分配时情况更好，则据说该代理子集会有所改进。如果没有子联盟可以对其进行改进，从而使大联盟稳定，则大联盟的分配被称为具有核心属性。核心是合作博弈中所有可行分配的集合，即使只是检查核心是否为空也是具有挑战性的。
考虑一个有限集合 $F$ 的公司，每个公司都有表示为生产线性程序的操作。假设表示公司 $i \in F$ 的操作的线性规划需要选择一个 $n$-列向量 $\mathbf{x}$ 的生产水平，
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$3.5$ 对偶向量的选定应用。
联盟是公司的一个子集，比如$S\subset F$，它将它们的资源集中在一起。因此，$S$ 面临的生产线性规划是
令 $V^{S}$ 为所得的最大利润。大联盟包括$F$集合中的所有企业，即$\mathbf{b}^{F}:=\sum_{i \in F} \mathbf{b}^{i}$在其线性规划中。请注意，对于所有可能的子集 $S$，双重可行区域保持不变。
大联盟的核心是一组欠付向量，$\mathbf{z}=\left(z_{1} ; z_{2} ; \ldots ; z_{|F|}\right)$，其中$z_{i}$ 是对 $i$ 公司的支付，对于 $F$ 中的所有公司，使得
$$
\sum_{i \in F} z_{i}=V^{F} \quad \text { and } \quad \sum_{i \in S} z_{i} \geq V^{S}, \forall S \子集 F
$$
第一个约束表明大联盟的总利润完全由 $F$ 中的所有企业共享，第二个约束表明如果它们形成自己的生产线性计划，则没有一个子联盟会更好。请注意，(3.12) 中存在成倍增加的约束。但是二元性在这里会有所帮助。
定理 令 $\mathbf{y}^{F}$ 为 Grand-Alliance 线性规划的最优对偶价格向量，并赋值 $z_{i}=\left(\mathbf{y}^{F}\right)^ {T} \mathbf{b}^{i}$ 对所有 $i \in F$，也就是说，将第 i 个公司的资源向量定价为 $\mathbf{y}^{F}$。那么 $\mathbf{z}$ 是
证明 由强对偶定理，
证明 由强对偶定理，
$$
\sum_{i \in F} z_{i}=\sum_{i \in F}\left(\mathbf{y}^{F}\right)^{T} \mathbf{b}^{i}= \left(\mathbf{y}^{F}\right)^{T}\left(\sum_{i \in F} \mathbf{b}^{i}\right)=\left(\mathbf{y }^{F}\right)^{T} \mathbf{b}^{F}=V^{F}
$$
对于任何子集 $S \subset F$
$$
\sum_{i \in S} z_{i}=\sum_{i \in S}\left(\mathbf{y}^{F}\right)^{T} \mathbf{b}^{i}= \left(\mathbf{y}^{F}\right)^{T} \mathbf{b}^{S} \geq V^{S}
$$
其中最后一个不等式来自弱对偶引理，因为 $\mathbf{y}^{F}$ 对于 (3.11) 的对偶是可行的。
运筹学代考
什么是运筹学代写
运筹学（OR）是一种解决问题和决策的分析方法，在组织管理中很有用。在运筹学中，问题被分解为基本组成部分，然后通过数学分析按定义的步骤解决。
运筹学的过程大致可以分为以下几个步骤：
- 确定需要解决的问题。
- 围绕问题构建一个类似于现实世界和变量的模型。
- 使用模型得出问题的解决方案。
- 在模型上测试每个解决方案并分析其成功。
- 实施解决实际问题的方法。
与运筹学交叉的学科包括统计分析、管理科学、博弈论、优化理论、人工智能和复杂网络分析。所有这些学科的目标都是解决某一个现实中出现的复杂问题或者用数学的方法为决策提供指导。 运筹学的概念是在二战期间由参与战争的数学家们提出的。二战后，他们意识到在运筹学中使用的技术也可以被应用于解决商业、政府和社会中的问题。
运筹学代写的三个特点
所有运筹学解决实际问题的过程中都具有三个主要特征：
- 优化——运筹学的目的是在给定的条件下达到某一机器或者模型的最佳性能。优化还涉及比较不同选项和缩小潜在最佳选项的范围。
- 模拟—— 这涉及构建模型，以便在应用解决方案刀具体的复杂大规模问题之前之前尝试和测试简单模型的解决方案。
- 概率和统计——这包括使用数学算法和数据挖掘来发现有用的信息和潜在的风险，做出有效的预测并测试可能的解决方法。
运筹学领域提供了比普通软件和数据分析工具更强大的决策方法。此外，运筹学可以根据特定的业务流程或用例进行定制，以确定哪些技术最适合解决问题。
运筹学可以应用于各种活动，比如：计划和时间管理（Planning and Time Management），城乡规划（Urban and Rural Planning），企业资源计划（ERP）与供应链管理（Supply Chain Management）等等。 如有代写代考需求，欢迎同学们联系Assignmentexpert™，我们期待为你服务！
