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Econ经济作业代写Economics代考|Revisiting the first-price auction
Thus, we found the equilibrium strategy combination
$$
s^{}=\left(s_{1}^{}, s_{2}^{}\right) $$ defined by $$ s_{1}^{}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}{+}, \quad t{1} \mapsto s_{1}^{}\left(t_{1}\right)=\frac{t_{1}}{2} $$ and $$ s_{2}^{}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}{+}, \quad t{2} \mapsto s_{2}^{*}\left(t_{2}\right)=\frac{t_{2}}{2} .
$$
In that combination, every player uses the half-bid strategy.
Now consider another mechanism for the problem of allocating the object. In this new mechanism, the object also goes to the highest bidder but the payment is set at half the announced willingness to pay. Let us call this mechanism the half-price auction. This auction is constructed from the first-price auction and the half-bid strategies in the obvious manner:
- The half-bid strategies have every bidder halve his type, $a_{i}=\frac{t_{i}}{2}$. Under the first-price auction, the successful bidder pays $a_{i}=\frac{t_{i}}{2}$.
- The half-price auction tries to achieve the same outcome for players who tell the truth. Thus, the factor $\frac{1}{2}$ (stemming from the players’ strategic behavior) is brought into the half-price auction by requiring that the successful bidder pays $\frac{a_{i}}{2}$, only.
Assume, now, that both players truthfully announce their respective willingness to pay. Expressed formally, player $i$ ‘s strategy is
$$
\begin{aligned}
i d_{i}: & {[0,1] \rightarrow[0,1] } \
& t_{i} \mapsto i d_{i}\left(t_{i}\right)=t_{i}
\end{aligned}
$$
因此，我们找到了均衡策略组合
$$
s^{ }=\left(s_{1}^{ }, s_{2}^{ }\right)d和F一世n和db和s_{1}^{ }:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} {+}, \quad t {1} \mapsto s_{1}^{ }\left(t_{1}\right)= \frac{t_{1}}{2}一种nds_{2}^{ }:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} {+}, \quad t {2} \mapsto s_{2}^{*}\left(t_{2}\right) =\frac{t_{2}}{2} 。
$$
在这种组合中，每个玩家都使用半价策略。
现在考虑分配对象问题的另一种机制。在这个新机制中，对象也会被给出最高出价者，但付款被设置为宣布的付款意愿的一半。让我们将这种机制称为半价拍卖。这种拍卖是由第一价拍卖和半出价策略以明显的方式构成的：
- 半投标策略让每个投标人将他的类型减半，一种一世=吨一世2. 在第一价拍卖下，中标者支付一种一世=吨一世2.
- 半价拍卖试图让说真话的玩家达到同样的结果。因此，因数12（源于玩家的策略行为）通过要求中标者支付的方式被带入半价拍卖一种一世2， 只要。
现在假设两个玩家都如实宣布了他们各自的支付意愿。正式表达，玩家一世的策略是
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