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By admin 数学代写 2022年3月21日

微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法

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傅里叶级数
黎曼积分
ODE
微分学

微积分代考calculus代写|Additional Exercisesvals

Find the area of the loop of the curve $x=a\left(1-t^{2}\right), y=a t\left(1-t^{2}\right)$ for $-1 \leq$ $t \leq 1$.
$[$ Hint: $y=0$ for $t \in{-1,0,1}$, and $y$ negative for $-1 \leq t \leq 0$ and positive for $0 \leq t \leq 1$. Also, $y^{2}=x^{2}(a-x) / a$ so that the curve is symmetric w.r.t. the x-axis. Area is $2 \int_{0}^{a} y \mathrm{~d} x=2 \int_{1}^{0} y(t) x^{\prime}(t) \mathrm{d} t$. Ans: $\left.8 a^{2} / 15\right]$
Find the length of an arch of the cycloid $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$. [Hint: The curve cuts the $x$-axis at $x=a$ and $x=2 \pi a$ for $t=0$ and $t=2 \pi$, respectively. $\ell(C)=\int_{0}^{2 \pi} \sqrt{\left[x^{\prime}(t)\right]^{2}+\left[y^{\prime}(t)\right]^{2}} \mathrm{~d} t$. Ans: $8 a$.]
For $a>0$, find the length of the loop of the curve $3 a y^{2}=x(x-a)^{2}$. [Hint: The curve cuts the $x$-axis at $x=a$, and the curve is symmetric w.r.t. the $x$-axis. Thus the required area is $2 \int_{0}^{a} \sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right)^{2}} \mathrm{~d} x$. Since $6 a y y^{\prime}=(x-$ a) $(3 x-a), 1+y^{2}=\frac{(3 x+a)^{2}}{12 a x}$. Ans: $\frac{4 a}{\sqrt{3}}$.]
Find the length of the curve $r=\frac{2}{1+\cos \theta}, 0 \leq \theta \leq \pi / 2$.
$\left[\right.$ Hint: $\ell(C)=2 \int_{0}^{\pi / 4} \sec ^{3} \theta \mathrm{d} \theta$. Ans: $\left.\sqrt{2}+\ln (\sqrt{2}+1) .\right]$
Find the volume of the solid obtained by revolving the curve $y=4 \sin 2 x$, $0 \leq x \leq \pi / 2$, about $\mathrm{y}$-axis.
[Hint: Writing $y=4 \sin 2 x$ for $0 \leq x \leq \pi / 4$ and $y=4 \sin 2 u$ for $\pi / 4 \leq u \leq$ $\pi / 2, \quad V=\int_{0}^{4}\left(u^{2}-x^{2}\right) \mathrm{d} y=\pi \int_{\pi / 4}^{\pi / 2} u^{2}(8 \cos 2 u) d u-\pi \int_{0}^{\pi / 4} x^{2}(8 \cos 2 x) \mathrm{d} x .$ Also, note that the curve is symmetric w.r.t. the line $x=\pi / 4$. Hence, the volume is $\pi \int_{0}^{\pi / 4}\left[\left(\frac{\pi}{4}-x\right)^{2}-x^{2}\right] \mathrm{d} y .$ Ans: $2 \pi^{2}$.]
Find the area of the surface obtained by revolving a loop of the curve $9 a x^{2}=$ $y(3 a-y)^{2}$ about $y$-axis.
[Hint: $x=0$ iff $y=0$ or $y=3 a . A=2 \pi \int_{0}^{3 a} x \sqrt{1+\left(\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} y}\right)^{2}} \mathrm{~d} x .$ Ans: $\left.3 \pi a^{2} .\right]$
Find the area of the surface obtained by revolving about $x$-axis, an arc of the catenary $y=c \cosh (x / c)$ between $x=-a$ and $x=a$ for $a>0$.
$\left[\right.$ Hint: The area is $2 \pi \int_{-a}^{a} y \sqrt{1+y^{2}} \mathrm{~d} x=2 \pi c \int_{-a}^{a} \cosh ^{2} \frac{x}{c} \mathrm{~d} x$. Ans: $\pi c[2 a+$ $\left.c \sinh \frac{2 a}{c}\right]$.]

求曲线环的面积X=一种(1−吨2),和=一种吨(1−吨2)为了−1≤ 吨≤1.
[暗示：和=0为了吨∈−1,0,1，和和负−1≤吨≤0和积极的0≤吨≤1. 还，和2=X2(一种−X)/一种使得曲线关于 x 轴对称。面积是2∫0一种和 dX=2∫10和(吨)X′(吨)d吨. 年：8一种2/15]
求摆线弧的长度X=一种(吨−没有⁡吨),和=一种(1−某物⁡吨). [提示：曲线切割X-轴在X=一种和X=2圆周率一种为了吨=0和吨=2圆周率，分别。ℓ(C)=∫02圆周率[X′(吨)]2+[和′(吨)]2 d吨. 年：8一种.]
为了一种>0, 求曲线的循环长度3一种和2=X(X−一种)2. [提示：曲线切割X-轴在X=一种, 曲线是对称的X-轴。因此所需的面积是2∫0一种1+(d和 dX)2 dX. 自从6一种和和′=(X−一种）(3X−一种),1+和2=(3X+一种)212一种X. 年：4一种3.]
求曲线的长度r=21+某物⁡θ,0≤θ≤圆周率/2.
[暗示：ℓ(C)=2∫0圆周率/4秒3⁡θdθ. 年：2+ln⁡(2+1).]
求旋转曲线得到的固体体积和=4没有⁡2X,0≤X≤圆周率/2，关于和-轴。
[提示：写作和=4没有⁡2X为了0≤X≤圆周率/4和和=4没有⁡2你为了圆周率/4≤你≤ 圆周率/2,五=∫04(你2−X2)d和=圆周率∫圆周率/4圆周率/2你2(8某物⁡2你)d你−圆周率∫0圆周率/4X2(8某物⁡2X)dX.另外，请注意曲线是关于直线对称的X=圆周率/4. 因此，音量为圆周率∫0圆周率/4[(圆周率4−X)2−X2]d和.年：2圆周率2.]
找到通过旋转曲线的循环获得的曲面面积9一种X2= 和(3一种−和)2关于和-轴。
[暗示：X=0当且当和=0要么和=3一种.一种=2圆周率∫03一种X1+(dX d和)2 dX.年：3圆周率一种2.]
求旋转得到的曲面面积X-axis，悬链线的弧和=C科什⁡(X/C)之间X=−一种和X=一种为了一种>0.
[提示：该地区是2圆周率∫−一种一种和1+和2 dX=2圆周率C∫−一种一种科什2⁡XC dX. 年：圆周率C[2一种+ C出生⁡2一种C].]