微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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- 单变量微积分
- 多变量微积分
- 傅里叶级数
- 黎曼积分
- ODE
- 微分学
Suppose a function $f$ is defined in an interval $[a, b]$ such that $f(a)=f(b)$. We can obtain Fourier expansion of it as follows:
Method 1: Let us consider a change of variable as $y=x-\frac{a+b}{2}$. Let$\varphi(y):=f(x)=f\left(y+\frac{a+b}{2}\right), \quad$ where $\quad-\ell \leq y \leq \ell$
with $\ell=(b-a) / 2$. We can extend $\varphi$ as a $2 \ell$-periodic function and obtain its Fourier series as
$$
\varphi(y) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos \frac{n \pi}{\ell} y+b_{n} \sin \frac{n \pi}{\ell} y\right)
$$
where
$$
a_{n}=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} \varphi(y) \cos \frac{n \pi y}{\ell} \mathrm{d} y, \quad b_{n}=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} \varphi(y) \sin \frac{n \pi y}{\ell} \mathrm{d} y
$$
Method 2: Considering the change of variable as $y=x-a$ and $\ell:=b-a$, we define $\varphi(y):=f(x)=f(y+a)$ where $0 \leq y<\ell$. We can extend $\varphi$ as a $2 \ell$-periodic function in any manner and obtain its Fourier series. Here are two specific cases:
(a) Extending $\varphi$ to $(-\ell, \ell)$ as an even function, we obtain
$$
\varphi(y) \sim \frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} \cos \frac{n \pi}{\ell} y
$$
where $\ell=(b-a) / 2$ and
$$
a_{n}=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} \varphi(y) \cos \frac{n \pi y}{\ell} \mathrm{d} y
$$
(b) Extending $\varphi$ to $(-\ell, \ell)$ as an odd function, we obtain
$$
\varphi(y) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin \frac{n \pi}{\ell} y
$$
where
$$
b_{n}=\frac{1}{\ell} \int_{-\ell}^{\ell} \varphi(y) \sin \frac{n \pi y}{\ell} \mathrm{d} y .
$$
From the series of $\varphi$ we can recover the corresponding series of $f$ on $[a, b]$ by writing $y=x-a$.
认为F是一个吨- 周期函数。我们可以写吨=2ℓ. 然后我们可以考虑变量的变化吨=圆周率X/ℓ使函数
F(X)=F(ℓ吨/圆周率)
作为一个函数吨， 它是2圆周率-周期性的。因此，它的傅里叶级数是
一种02+∑n=1∞(一种n某物n吨+bn没有n吨)
在哪里
一种n=1圆周率∫−圆周率圆周率F(ℓ吨/圆周率)某物n吨 d吨=1ℓ∫−ℓℓF(X)某物n圆周率XℓdX bn=1圆周率∫−圆周率圆周率F(ℓ吨/圆周率)没有n吨 d吨=1ℓ∫−ℓℓF(X)没有n圆周率XℓdX
特别是在区间(−ℓ,ℓ),
- F甚至暗示bn=0和一种n=2ℓ∫0ℓF(X)某物n圆周率XℓdX,
- F奇怪的暗示一种n=0和bn=2ℓ∫0ℓF(X)没有n圆周率XℓdX.
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