微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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- 微分学
$3.2$ Mean Value Theorems
(Mean value theorem) Suppose $f$ is a continuous function on $[a, b]$. Then there exists $c \in[a, b]$ such that
$$
\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x=f(c) .
$$
Proof Since $f$ is continuous, we know that there exist $u, v \in[a, b]$ such that $f(u)=$ $m:=\min f(x)$ and $f(v)=M:=\max f(x)$. Hence, by Theorem 3.1.6,
$$
f(u) \leq \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \leq f(v)
$$
Hence, by intermediate value theorem, there exists $c \in[a, b]$ such that
$$
\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(c)
$$
Hence the result.
(Generalized mean value theorem) Suppose $f$ and $g$ are continuous on $[a, b]$ with $g(x) \geq 0$ for all $x \in[a, b]$. Then there exists $c \in[a, b]$ such that
$$
\int_{a}^{b} f(x) g(x) d x=f(c) \int_{a}^{b} g(x) d x
$$
Proof Let $m:=\inf {a \leq x \leq b} f(x)$ and $M=\sup {a \leq x \leq b} f(x)$. Then, since $g(x) \geq 0$ for every $x \in[a, b]$, we have
$$
m \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \leq \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x \leq M \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x
$$
If $g(x)=0$ for all $x \in[a, b]$, then the conclusion in the theorem holds trivially for any $c \in[a, b]$. So, assume that $g\left(x_{0}\right) \neq 0$ for some $x_{0} \in[a, b]$. Now, since $g(x) \geq 0$ for all $x \in[a, b]$, it follows (how?) that $g\left(x_{0}\right)>0$ and hence $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x>0$. Hence,
均值定理
（Mean value theorem）假设F是一个连续函数[一种,b]. 那么存在C∈[一种,b]这样
1b−一种∫一种bF(X)dX=F(C).
证明自F是连续的，我们知道存在你,v∈[一种,b]这样F(你)= 米:=分钟F(X)和F(v)=米:=最大限度F(X). 因此，根据定理 3.1.6，
F(你)≤1b−一种∫一种bF(X)dX≤F(v)
因此，根据中间值定理，存在C∈[一种,b]这样
1b−一种∫一种bF(X)dX=F(C)
因此结果。
（广义均值定理）假设F和G是连续的[一种,b]和G(X)≥0对所有人X∈[一种,b]. 那么存在C∈[一种,b]这样
∫一种bF(X)G(X)dX=F(C)∫一种bG(X)dX
证明 设 $m:=\inf {a \leq x \leq b} f(x)一种ndM=\sup {a \leq x \leq b} f(x).吨H和n,s一世nC和g (x) \ geq 0F○r和v和r和x \in[a, b],在和H一种v和米∫一种bG(X)dX≤∫一种bF(X)G(X)dX≤米∫一种bG(X)dX一世Fg(x)=0F○r一种一世一世x \in[a, b],吨H和n吨H和C○nC一世你s一世○n一世n吨H和吨H和○r和米H○一世ds吨r一世v一世一种一世一世和F○r一种n和c \in[a, b].小号○,一种ss你米和吨H一种吨g\left(x_{0}\right) \neq 0F○rs○米和x_{0} \in[a, b].ñ○在,s一世nC和g (x) \ geq 0F○r一种一世一世x \in[a, b],一世吨F○一世一世○在s(H○在?)吨H一种吨g\left(x_{0}\right)>0一种ndH和nC和\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x>0$。因此，
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