微积分（Calculus），数学概念，是高等数学中研究函数的微分(Differentiation)、积分(Integration)以及有关概念和应用的数学分支。它是数学的一个基础学科，内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法
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Example 6.4.1 Consider the function $f(x)=x^{2}, x \in[0, \pi]$. Then
$$
\begin{aligned}
&f_{o d}(x)=\left{\begin{aligned}
x^{2}, & \text { if } 0 \leq x<\pi, \
-x^{2}, & \text { if }-\pi<x<0,
\end{aligned}\right. \
&f_{e v}(x)=x^{2}, \quad x \in(-\pi, \pi) .
\end{aligned}
$$
Hence, the cosine series expansion of $f$ on $[0, \pi]$ is (cf. Example 6.3.4)
$$
x^{2} \sim \frac{\pi^{2}}{3}+4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cos n x}{n^{2}}, \quad x \in[0, \pi]
$$
Its sine series expansion is
$$
f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin n x, \quad x \in[0, \pi],
$$
where
$$
b_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^{2} \sin n x \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi}\left{\left[-x^{2} \frac{\cos n x}{n}\right]{0}^{\pi}+\int{0}^{\pi} 2 x \frac{\cos n x}{n} \mathrm{~d} x\right}
$$
Note that
$$
\begin{aligned}
{\left[-x^{2} \frac{\cos n x}{n}\right]{0}^{\pi} } &=-\pi^{2} \frac{\cos n \pi}{n}=\pi^{2} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \ \int{0}^{\pi} 2 x \frac{\cos n x}{n} \mathrm{~d} &=\frac{2}{n}\left[x \frac{\sin n x}{n}\right]{0}^{\pi}-\frac{2}{n} \int{0}^{\pi} \frac{\sin n x}{n} \mathrm{~d} x \
&=\frac{2}{n^{2}}\left[\frac{\cos n x}{n}\right]{0}^{\pi}=\frac{2}{n^{2}}\left[\frac{(-1)^{n}-1}{n}\right] \end{aligned} $$ 6.4 Sine and Cosine Series Expansions Thus, $$ b{n}=2 \pi \frac{(-1)^{n+1}}{n}+\frac{4}{\pi}\left[\frac{(-1)^{n}-1}{n^{3}}\right]
$$
示例 6.4.1 考虑函数F(X)=X2,X∈[0,圆周率]. 然后
$$
\begin{aligned}
&f_{od}(x)=\left{X2, 如果 0≤X<圆周率, −X2, 如果 −圆周率<X<0,\正确的。\
&f_{ev}(x)=x^{2}, \quad x \in(-\pi, \pi) 。
\end{对齐}
H和nC和,吨H和C○s一世n和s和r一世和s和Xp一种ns一世○n○F$F$○n$[0,圆周率]$一世s(CF.和X一种米p一世和6.3.4)
x^{2} \sim \frac{\pi^{2}}{3}+4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n} \cos nx}{ n^{2}}, \quad x \in[0, \pi]
一世吨ss一世n和s和r一世和s和Xp一种ns一世○n一世s
f(x) \sim \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin nx, \quad x \in[0, \pi],
在H和r和
b_{n}=\frac{2}{\pi} \int_{0}^{\pi} x^{2} \sin nx \mathrm{~d} x=\frac{2}{\pi}\左{\left[-x^{2} \frac{\cos nx}{n}\right] {0}^{\pi}+\int {0}^{\pi} 2 x \frac{\cos nx}{n} \mathrm{~d} x\right}
ñ○吨和吨H一种吨
\begin{对齐}
{\left[-x^{2} \frac{\cos nx}{n}\right] {0}^{\pi} } &=-\pi^{2} \frac{\ cos n \pi}{n}=\pi^{2} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \ \int {0}^{\pi} 2 x \frac{\cos nx}{n} \mathrm{~d} &=\frac{2}{n}\left[x \frac{\sin nx}{n}\right] {0}^{\pi}-\frac{ 2}{n} \int {0}^{\pi} \frac{\sin nx}{n} \mathrm{~d} x \
&=\frac{2}{n^{2}}\left[ \frac{\cos nx}{n}\right] {0}^{\pi}=\frac{2}{n^{2}}\left[\frac{(-1)^{n}-1 }{n}\right] \end{对齐}6.4小号一世n和一种ndC○s一世n和小号和r一世和s和Xp一种ns一世○ns吨H你s,b {n}=2 \pi \frac{(-1)^{n+1}}{n}+\frac{4}{\pi}\left[\frac{(-1)^{n}- 1}{n^{3}}\右]
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