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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Markov chains

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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Markov chains

统计代写

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Discrete state space

If the state space $S$ is finite, for example $S={1,2, \ldots, N}$, then the transition probabilities $P\left(X_{n} \in A_{n} \mid X_{n-1} \in A_{n-1}\right)$ in (2.2) can be described by giving the probabilities
$$
p_{x y}=P\left(X_{j}=y \mid X_{j-1}=x\right)
$$
of the transitions between all pairs of elements $x, y \in S$. The resulting matrix $P=$ $\left(p_{x y}\right)_{x, y \in S}$ is called the transition matrix of the Markov chain $X$.

When considering transition matrices, it is often convenient to label the rows and columns of the matrix $P$ using elements of $S$ instead of using the usual indices ${1,2, \ldots, n}$. Thus, if $S$ is the alphabet $S={\mathrm{A}, \mathrm{B}, \ldots, \mathrm{Z}}$ we write $p_{\mathrm{AZ}}$ instead of $p_{1,26}$ to denote the probability of transitions from A to $Z$. We write $\mathbb{R}^{S \times S}$ for the set of all matrices where the columns and rows are indexed by elements of $S$. Similarly, for vectors consisting of probability weights for the elements of $S$, for example the initial distribution of a Markov chain, it is convenient to label the components of the vector by elements of $S$. We write $\mathbb{R}^{S}$ for the set of all such vectors.

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Continuous state space

In this section we will briefly discuss Markov chains with continuous state space. Markov chains can be considered on very general state spaces, but here we restrict ourselves to the case $S=\mathbb{R}^{d}$. Most of the results from the previous section formally carry over to the case of continuous state space, with only changes in notation.

The concept of transition matrices in the case of continuous state space is replaced by transition kernels, as given in the following definition.
Definition 2.27 A transition kernel is a map $P(\cdot, \cdot)$ such that:
(a) $P(x, A) \geq 0$ for all $x \in \mathbb{R}^{d}$ and all $A \subseteq \mathbb{R}^{d}$; and
(b) $P(x, \cdot)$ is a probability distribution on $\mathbb{R}^{d}$ for all $x \in \mathbb{R}^{d}$.

This definition hides some of the technical complications associated with the study of Markov chains on a continuous state space. If full mathematical rigour is required, an additional condition, relating to ‘measurability’, must be included.
The idea in this definition is that $x$ takes the rôle of the current state of the Markov chain and, for given $x$, the map $A \mapsto P(x, A)$ is the distribution of the next value of the Markov chain. Thus, the transition kernel of a time-homogeneous Markov chain is defined by
$$
P(x, A)=P\left(X_{j} \in A \mid X_{j-1}=x\right)
$$
Often, the conditional distribution of $X_{j}$, given $X_{j-1}=x$, has a density. In this case, instead of giving a transition kernel, we can describe the transitions of a Markov chain by giving a transition density. In analogy to lemma $2.19$, a transition density is defined in the following.

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Markov chains

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|DISCRETE STATE SPACE

如果状态空间小号是有限的,例如小号=1,2,…,ñ, 那么转移概率磷(Xn∈一种n∣Xn−1∈一种n−1)在2.2可以通过给出概率来描述
pX和=磷(Xj=和∣Xj−1=X)
所有元素对之间的转换X,和∈小号. 结果矩阵磷= (pX和)X,和∈小号称为马尔可夫链的转移矩阵X.

在考虑转移矩阵时,通常方便标记矩阵的行和列磷使用元素小号而不是使用通常的索引1,2,…,n. 因此,如果小号是字母表小号=一种,乙,…,和我们写p一种和代替p1,26表示从 A 到和. 我们写R小号×小号对于列和行由元素索引的所有矩阵的集合小号. 类似地,对于由以下元素的概率权重组成的向量小号,例如马尔可夫链的初始分布,可以方便地通过元素标记向量的分量小号. 我们写R小号对于所有此类向量的集合。

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|CONTINUOUS STATE SPACE

在本节中,我们将简要讨论具有连续状态空间的马尔可夫链。可以在非常一般的状态空间上考虑马尔可夫链,但在这里我们仅限于这种情况小号=Rd. 上一节的大部分结果都正式延续到连续状态空间的情况,只是符号有所变化。

在连续状态空间的情况下,转移矩阵的概念被转移核所取代,如下面的定义所示。
定义 2.27 转换核是一个映射磷(⋅,⋅)这样:
一种 磷(X,一种)≥0对所有人X∈Rd和所有一种⊆Rd; 和
b 磷(X,⋅)是一个概率分布Rd对所有人X∈Rd.

这个定义隐藏了一些与在连续状态空间上研究马尔可夫链相关的技术复杂性。如果需要完全的数学严谨性,则必须包括与“可测量性”相关的附加条件。
这个定义中的想法是X扮演马尔可夫链当前状态的角色,并且,对于给定X, 地图一种↦磷(X,一种)是马尔可夫链下一个值的分布。因此,时间齐次马尔可夫链的转移核定义为
磷(X,一种)=磷(Xj∈一种∣Xj−1=X)
通常,条件分布Xj, 给定Xj−1=X, 有密度。在这种情况下,我们可以通过给出转移密度来描述马尔可夫链的转移,而不是给出转移核。类似于引理2.19,过渡密度定义如下。

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