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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Multivariate normal distributions

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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Multivariate normal distributions

统计代写

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|important multivariate

One of the most important multivariate distributions is the multivariate normal distribution. In this section, we will derive the basic properties of the multivariate normal distribution and will discuss how to generate samples from this distribution.

Definition 2.1 Let $\mu \in \mathbb{R}^{d}$ be a vector and $\Sigma \in \mathbb{R}^{d \times d}$ be a symmetric, positive definite matrix. Then a random vector $X \in \mathbb{R}^{d}$ is normally distributed with mean $\mu$ and covariance matrix $\Sigma$, if the distribution of $X$ has density $f: \mathbb{R}^{d} \rightarrow \mathbb{R}$ given by
$$
f(x)=\frac{1}{(2 \pi)^{d / 2}|\operatorname{det} \Sigma|^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^{\top} \Sigma^{-1}(x-\mu)\right)
$$
for all $x \in \mathbb{R}^{d}$.

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Using this interpretation

In this definition we consider the vector $x-\mu \in \mathbb{R}^{d}$ to be a $d \times 1$ matrix, and the expression $(x-\mu)^{\top}$ denotes the transpose of this vector, that is the vector $x-\mu$ interpreted as an $1 \times d$ matrix. Using this interpretation we have
$$
(x-\mu)^{\top} \Sigma^{-1}(x-\mu)=\sum_{i, j=1}^{d}\left(x_{i}-\mu_{i}\right)\left(\Sigma^{-1}\right){i j}\left(x{j}-\mu_{j}\right)
$$
The multivariate normal distribution from definition $2.1$ is a generalisation of the one-dimensional normal distribution: If $\Sigma$ is a diagonal matrix, say
$$
\Sigma=\left(\begin{array}{cccc}
\sigma_{1}^{2} & 0 & \ldots & 0 \
0 & \sigma_{2}^{2} & \ldots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \ldots & \sigma_{d}^{2}
\end{array}\right)
$$
then $|\operatorname{det} \Sigma|=\prod_{i=1}^{d} \sigma_{i}^{2}$ and
$$
\Sigma^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
1 / \sigma_{1}^{2} & 0 & \cdots & 0 \
0 & 1 / \sigma_{2}^{2} & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & 1 / \sigma_{d}^{2}
\end{array}\right)
$$
and thus the density $f$ from (2.1) can be written as
$$
\begin{aligned}
f(x) &=\frac{1}{(2 \pi)^{d / 2}\left|\prod_{i=1}^{d} \sigma_{i}^{2}\right|^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{d}\left(x_{i}-\mu_{i}\right) \frac{1}{\sigma_{i}^{2}}\left(x_{i}-\mu_{i}\right)\right) \
&=\prod_{i=1}^{d} \frac{1}{\left(2 \pi \sigma_{i}^{2}\right)^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{\left(x_{i}-\mu_{i}\right)^{2}}{2 \sigma_{i}^{2}}\right) \
&=\prod_{i=1}^{d} f_{i}\left(x_{i}\right)
\end{aligned}
$$
where the function $f_{i}$, given by
$$
f_{i}(x)=\frac{1}{\left(2 \pi \sigma_{i}^{2}\right)^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{\left(x-\mu_{i}\right)^{2}}{2 \sigma_{i}^{2}}\right)
$$
for all $x \in \mathbb{R}$, is the density of the one-dimensional normal distribution with mean $\mu_{i}$ and variance $\sigma_{i}^{2}$. This shows that $X$ is normally distributed on $\mathbb{R}^{d}$ with diagonal covariance matrix, if and only if the components $X_{i}$ for $i=1,2, \ldots, d$ are independent and normally distributed on $\mathbb{R}$.

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Multivariate normal distributions

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|IMPORTANT MULTIVARIATE

最重要的多元分布之一是多元正态分布。在本节中,我们将推导多元正态分布的基本属性,并将讨论如何从该分布生成样本。

定义 2.1 让μ∈Rd是一个向量并且Σ∈Rd×d是一个对称的正定矩阵。然后是一个随机向量X∈Rd正态分布,均值μ和协方差矩阵Σ, 如果分布X有密度F:Rd→R由
F(X)=1(2圆周率)d/2|这⁡Σ|1/2经验⁡(−12(X−μ)⊤Σ−1(X−μ))
对所有人X∈Rd.

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|USING THIS INTERPRETATION

在这个定义中,我们考虑向量X−μ∈Rd成为一个d×1矩阵和表达式(X−μ)⊤表示这个向量的转置,即向量X−μ解释为1×d矩阵。使用这种解释,我们有

$$
(x-\mu)^{\top} \Sigma^{-1}(x-\mu)=\sum_{i, j=1}^{d}\left(x_{i}-\mu_{i}\right)\left(\Sigma^{-1}\right){i j}\left(x{j}-\mu_{j}\right) .
$$
The multivariate normal distribution from definition $2.1$ is a generalisation of the one-dimensional normal distribution: If $\Sigma$ is a diagonal matrix, say
$$
\Sigma=\left(\begin{array}{cccc}
\sigma_{1}^{2} & 0 & \ldots & 0 \
0 & \sigma_{2}^{2} & \ldots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \ldots & \sigma_{d}^{2}
\end{array}\right)
$$
then $|\operatorname{det} \Sigma|=\prod_{i=1}^{d} \sigma_{i}^{2}$ and
$$
\Sigma^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
1 / \sigma_{1}^{2} & 0 & \cdots & 0 \
0 & 1 / \sigma_{2}^{2} & \cdots & 0 \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
0 & 0 & \cdots & 1 / \sigma_{d}^{2}
\end{array}\right)
$$
and thus the density $f$ from (2.1) can be written as
$$
\begin{aligned}
f(x) &=\frac{1}{(2 \pi)^{d / 2}\left|\prod_{i=1}^{d} \sigma_{i}^{2}\right|^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{d}\left(x_{i}-\mu_{i}\right) \frac{1}{\sigma_{i}^{2}}\left(x_{i}-\mu_{i}\right)\right) \
&=\prod_{i=1}^{d} \frac{1}{\left(2 \pi \sigma_{i}^{2}\right)^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{\left(x_{i}-\mu_{i}\right)^{2}}{2 \sigma_{i}^{2}}\right) \
&=\prod_{i=1}^{d} f_{i}\left(x_{i}\right)
\end{aligned}
$$
where the function $f_{i}$, given by
$$
f_{i}(x)=\frac{1}{\left(2 \pi \sigma_{i}^{2}\right)^{1 / 2}} \exp \left(-\frac{\left(x-\mu_{i}\right)^{2}}{2 \sigma_{i}^{2}}\right)
$$

所有人的$$X∈R, 是一维正态分布的密度,均值μ一世和方差σ一世2. 这表明X正态分布于Rd与对角协方差矩阵,当且仅当组件X一世为了一世=1,2,…,d是独立的并且正态分布在R.

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