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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Poisson process consists

A sample of a Poisson process consists not of a single number, but of a random number of random points in a given set. Poisson processes are used to model the occurrence of events in space and/or time, when the individual events are random and independent of each other. For example, a Poisson process on a time interval $\left[t_{1}, t_{2}\right]$ could be used to model the times where individual telephone calls arrive at a call centre.

The definition of the Poisson process builds on the Poisson distribution, as given in the following definition.

数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|Poisson distribution

A random variable $X$ follows a Poisson distribution with parameter $\lambda$, if $X \in \mathbb{N}{0}$ and $$ P(X=k)=\mathrm{e}^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k !} $$ for all $k \in \mathbb{N}{0}$. The Poisson distribution with parameter $\lambda$ is denoted by $\operatorname{Pois}(\lambda)$.

For reference, we state the following basic results about Poisson distributions.
Lemma 2.33 Let $X \sim \operatorname{Pois}(\lambda)$. Then the following statements hold:
(a) $\mathbb{E}(X)=\lambda$.
(b) $\operatorname{Var}(X)=\lambda$.
(c) If $Y \sim \operatorname{Pois}(\mu)$, independent of $X$, then $X+Y \sim \operatorname{Pois}(\lambda+\mu)$.
In the mathematical formalism, the points of a Poisson process are usually collected into a set, so that a sample of a Poisson process can be seen as a random set. This idea leads to the following definition of a Poisson process.

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数学代写|统计计算作业代写STATISTICAL COMPUTING代考|POISSON PROCESS CONSISTS

泊松过程的样本不是由单个数字组成,而是由给定集合中随机数的随机点组成。泊松过程用于对空间和/或时间中事件的发生进行建模,此时各个事件是随机的并且彼此独立。例如,时间间隔上的泊松过程[吨1,吨2]可用于模拟单个电话到达呼叫中心的时间。

泊松过程的定义建立在泊松分布之上,如以下定义所示。

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随机变量X遵循带参数的泊松分布λ, 如果

$X \in \mathbb{N}_{0}$ and
$$
P(X=k)=\mathrm{e}^{-\lambda} \frac{\lambda^{k}}{k !}
$$

作为参考,我们陈述以下关于泊松分布的基本结果。
引理 2.33 让X∼因为⁡(λ). 那么以下陈述成立:
一种 和(X)=λ.
b 在哪里⁡(X)=λ.
C如果和∼因为⁡(μ), 独立于X, 然后X+和∼因为⁡(λ+μ).
在数学形式主义中,泊松过程的点通常被收集到一个集合中,因此泊松过程的样本可以看作是一个随机集。这个想法导致了泊松过程的以下定义。

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