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数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Time discretisation

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统计代写

数学代写|统计计算作业代写Statistical Computing代考|Time discretisation

Compared with the situation of discrete-time processes, for example the Markov chains considered in Section 2.3, simulation in continuous-time introduces new challenges. Consider a stochastic process $\left(X_{t}\right){t \in I}$ where $I \subseteq \mathbb{R}$ is a time interval, for example $I=[0, \infty)$ or $I=[0, T]$ for some time horizon $T>0$. Even if the time interval $I$ is bounded, the trajectory $\left(X{t}\right){t \in I}$ consists of uncountably many values. Since computers only have finite storage capacity, it is impossible to store the whole trajectory of a continuous-time process on a computer. Even computing values for all $X{t}$ would take an infinite amount of time. For these reasons, we restrict ourselves to simulate $X$ only for times $t \in I_{n}$ where $I_{n}=\left{t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}\right} \subset I$ is finite. This procedure is called time discretisation.

In many cases we can simulate the process $X$ by iterating through the times $t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n} \in I_{n}$ : we first simulate $X_{t_{1}}$, next we use the value of $X_{t_{1}}$ to simulate $X_{t_{2}}$, then we use the values $X_{t_{1}}$ and $X_{t_{2}}$ to simulate $X_{t_{3}}$ and so on. The final step in this procedure is to use the values $X_{t_{1}}, \ldots, X_{t_{n-1}}$ to simulate $X_{t_{n}}$. One problem with this approach is that often the distribution of $X_{t_{k}}$ does not only depend on $X_{t_{i}}$ for $i=1,2, \ldots, k-1$, but also on (unknown to us) values $X_{t}$ where $t \notin I_{n}$. For this reason, most continuous-time processes cannot be simulated exactly on a computer and we have to resort to approximate solutions instead. The error introduced by these approximations is called discretisation error.

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与离散时间过程的情况相比,例如第 2.3 节中考虑的马尔可夫链,连续时间的模拟引入了新的挑战。考虑一个随机过程 $\left(X_{t}\right){t \in I}$ where $I \subseteq \mathbb{R}$ is a time interval, for example $I=[0, \infty)$ or $I=[0, T]$ for some time horizon $T>0$. Even if the time interval $I$ is bounded, the trajectory $\left(X{t}\right){t \in I}$ consists of uncountably many values. Since computers only have finite storage capacity, it is impossible to store the whole trajectory of a continuous-time process on a computer. Even computing values for all $X{t}$ would take an infinite amount of time. For these reasons, we restrict ourselves to simulate $X$ only for times $t \in I_{n}$ where $I_{n}=\left{t_{1}, t_{2}, \ldots, t_{n}\right} \subset I$ 是有限的。这个过程称为时间离散。

很多情况下我们可以模拟这个过程X通过时代的迭代吨1,吨2,…,吨n∈一世n: 我们先模拟X吨1,接下来我们使用X吨1模拟X吨2,然后我们使用值X吨1和X吨2模拟X吨3等等。此过程的最后一步是使用这些值X吨1,…,X吨n−1模拟X吨n. 这种方法的一个问题是,通常X吨到不仅取决于X吨一世为了一世=1,2,…,到−1,而且在你n到n○在n吨○你s价值观X吨在哪里吨∉一世n. 出于这个原因,大多数连续时间过程无法在计算机上精确模拟,我们不得不求助于近似解。这些近似引入的误差称为离散化误差。

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