如果你也在 怎样代写复分析complex analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析complex analysis传统上称为复变函数理论，是数学分析的一个分支，研究复数函数。它对数学的许多分支都有帮助，包括代数几何、数论、分析组合学、应用数学；以及物理学。数论、分析组合学、应用数学；以及物理学，包括流体力学、热力学，特别是量子力学等分支。推而广之，复数分析在工程领域也有应用，如核、航天、机械和电气工程。
复分析complex analysis复数分析的核心工具之一是线积分。正如Cauchy积分定理所指出的那样，在封闭路径所包围的区域内到处都是全形函数，其围绕封闭路径的线积分总是为零。这样一个全形函数在圆盘内的数值可以通过圆盘边界上的路径积分来计算（如考奇积分公式所示）。复平面内的路径积分经常被用来确定复杂的实积分，这里适用于残差理论等（。一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。
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数学代写|复分析代写complex analysis代考|Bilinear transforms
Let the function $T$ be defined as
$$
z \longmapsto T z=\frac{a z+b}{c z+d}, \quad a, b, c, d \in \mathbb{C} .
$$
Then $T$ is a constant function, if and only if $a d-b c=0$. (For example, if $a c \neq 0$, then $a d-b c=0 \Leftrightarrow \frac{b}{a}=\frac{d}{c}$, hence $T z=\frac{a}{c} \frac{z+\frac{b}{a}}{z+\frac{d}{c}}=\frac{a}{c}$.)
Definition 2.6.1. The function $T$ is called bilinear transform, if $a d-b c \neq 0$ and
$$
\begin{aligned}
&T: \widehat{\mathbb{C}} \rightarrow \widehat{\mathbb{C}}, \
&T z= \begin{cases}\frac{a z+b}{c z+d}, & \text { if } z \in \mathbb{C} \backslash\left{-\frac{d}{c}\right} \
\infty, & \text { if } z=-\frac{d}{c} \
\frac{a}{c}, & \text { if } z=\infty,\end{cases}
\end{aligned}
$$
and
$$
T z=\left{\begin{array}{ll}
\frac{a}{d} z+\frac{b}{d}, & \text { if } z \in \mathbb{C} \
\infty, & \text { if } z=\infty,
\end{array} \quad \text { if } c=0\right.
$$
where $a, b, c, d \in \mathbb{C}$.
Theorem 2.6.1. A bilinear transform is an injective single-valued continuous function of $\widehat{\mathbb{C}}$ onto $\widehat{\mathbb{C}}$.
Proof. When $c=0, T z=\frac{a}{d} z+\frac{b}{d}$, where $\frac{a}{d} \neq 0$. Hence $\forall w \in \mathbb{C}, \exists ! z \in \mathbb{C}: T z=w$. Further, $T$ and $T^{-1}$ are continuous in $\mathbb{C}, \lim {z \rightarrow \infty} T z=\infty$ and $\lim {w \rightarrow \infty} T^{-1} w=\infty$, so it follows that $T$ and $T^{-1}$ are continuous at the $\infty$ point.
If $c \neq 0$ and $z_{0} \neq-\frac{d}{c}$, then $a z+b$ and $c z+d$ are continuous in a neighborhood of $z_{0}$ and $c z_{0}+d \neq 0$, hence $T$ is continuous at the $z_{0}$ point.
If $z \rightarrow-\frac{d}{c} \Rightarrow c z+d \rightarrow 0, a z+b \rightarrow a\left(-\frac{d}{c}\right)+b \neq 0 \Rightarrow T z \rightarrow \infty \Rightarrow T$ is continuous at the $-\frac{d}{c}$ point.
If $z \neq-\frac{d}{c}$, then
$$
w=\frac{a z+b}{c z+d} \Rightarrow z=\left.\frac{-d w+b}{c w-a} \Rightarrow T\right|_{\mathbb{C} \backslash\left{-\frac{d}{c}\right}} \quad \text { is injective. }
$$
The value of the function $T$ cannot be $\frac{a}{c}$, because
$$
\frac{a}{c}=\frac{a z+b}{c z+d} \Leftrightarrow a d=b c
$$
hence it is impossible.
Hence, the function $T$ is a bijection between $\mathbb{C} \backslash\left{-\frac{d}{c}\right}$ and $\mathbb{C} \backslash\left{\frac{a}{c}\right}, T\left(-\frac{d}{c}\right)=\infty$ and $T(\infty)=\frac{a}{c} . T z \rightarrow \infty$, if $z \rightarrow-\frac{d}{c}$ and $T^{-1} w \rightarrow \infty$, if $w \rightarrow \frac{a}{c}$, so it follows that $T$ is continuous at the $-\frac{d}{c}$ point, and $T^{-1}$ is continuous at the $\frac{a}{c}$ point.
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|The Möbius-type groups
For two given bilinear transforms,
$$
T_{1} z=\frac{a_{1} z+b_{1}}{c_{1} z+d_{1}} \quad \text { and } \quad T_{2} z=\frac{a_{2} z+b_{2}}{c_{2} z+d_{2}}
$$
$T_{1} \circ T_{2}$ and $T_{2} \circ T_{1}$ are also bilinear transforms. To an arbitrary $T_{j}$ bilinear transform, corresponds a matrix of the form
$$
\left(\begin{array}{ll}
a_{j} & b_{j} \
c_{j} & d_{j}
\end{array}\right),
$$
obtained with the aid of its coefficients.
Denoting $T_{3}=T_{1} \circ T_{2}$, the bilinear transform $T_{3}$ has the corresponding matrix given by
$$
\left(\begin{array}{ll}
a_{1} & b_{1} \
c_{1} & d_{1}
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{cc}
a_{2} & b_{2} \
c_{2} & d_{2}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
a_{1} a_{2}+b_{1} c_{2} & a_{1} b_{2}+b_{1} d_{2} \
a_{2} c_{1}+c_{2} d_{1} & b_{2} c_{1}+d_{1} d_{2}
\end{array}\right)
$$
It follows that the matrix of $T_{3}$ may be obtained from as the product of the corresponding matrices of $T_{1}$ and $T_{2}$.
Theorem 2.7.1. The bilinear transforms set is a group with respect to the functions composition. This group is called Möbius-type group.
Proof. $T_{j}$ is a bilinear transform $\Leftrightarrow \operatorname{det}\left(\begin{array}{c}a_{j} b_{j} \ c_{j} d_{j}\end{array}\right) \neq 0$. The determinant of the $T_{1} \circ T_{2}$ corresponding matrix is det $T_{1} \cdot \operatorname{det} T_{2}$, hence the matrix of $T_{j}$ belongs to the group $G L_{2}(\mathbb{C})$. From this remark, we deduce that the set of all bilinear transforms represent a group with respect to the composition, which is a subgroup $G L_{2}(\mathbb{C})$. We call that the bilinear transformation group as it is the holomorphic image of $G L_{2}(\mathbb{C})$.
Remark 2.7.1. An arbitrary bilinear transform remains unchanged if we multiply all its coefficients by the same complex number $k, k \neq 0$. That is,
$$
\frac{a z+b}{c z+d}=\frac{\frac{a}{k} z+\frac{b}{k}}{\frac{c}{k} z+\frac{d}{k}}, \quad \forall z \in \mathbb{C} \backslash\left{-\frac{d}{c}\right}
$$
The constant $k$ may be chosen such that $a d-b c=1$.
数学代写|复分析代写complex analysis代考|Multivalued functions
The logarithmic function
The real-valued logarithmic function is the inverse of the exponential function. There exists this inverse because the real-valued exponential function is a bijection between $\mathbb{R}$ and $\mathbb{R}_{+} \backslash{0}$.
We saw previously that the complex-valued exponential function $e^{z}$ is a periodical function, with the period equal to $2 \pi i$. Thus, the complex-valued exponential function could be injective at most in an open set included into a strip, parallel with the $O x$ axis, with the width equal to $2 \pi$.
For any arbitrary $z \in \mathbb{C}^{*}$, let us consider the equation $e^{w}=z$, with the unknown $w$. Letting $w=u+i v$, then
$$
z=e^{u+i v}=e^{u} e^{i v}=r e^{i \theta}, \quad \text { where } z=r e^{i \theta} .
$$
Hence $e^{u}=r$, i. e.,
$$
u=\ln r=\ln |z| \quad \text { and } \quad v=\theta+2 k \pi, k \in \mathbb{Z} \text {. }
$$
Inverse trigonometric functions
Let $z \in \mathbb{C}$ be a fixed number, and let us consider the next equation, with the unknown w:
- $\cos w=z$, where $\cos w=\frac{e^{i w}+e^{-i w}}{2}$.
Hence, from $\frac{e^{i w}+e^{-i w}}{2}=z$ we get $e^{2 i w}-2 z e^{i w}+1=0$, i. e., $e^{i w}=z \pm \sqrt{z^{2}-1}$. It follows that
$$
\dot{i} w=\log \left(z \pm \sqrt{z^{2}-1}\right)
$$
and
$$
\operatorname{Arccos} z:=w=-i \log \left(z \pm \sqrt{z^{2}-1}\right) \text {. }
$$
Similarly, we will consider the equation:
- $\sin w=z$, where $\sin w=\frac{e^{\mathrm{iw}}-e^{-i \mathrm{iw}}}{2 i}$.
Hence, from $\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{2 i}=z$, we get $e^{2 i w}-2 i z e^{i w}-1=0$, i. e., $e^{i w}=i z \pm \sqrt{1-z^{2}}$. It follows that
$$
i w=\log \left(i z \pm \sqrt{1-z^{2}}\right)
$$
and
$$
\operatorname{Arcsin} z:=w=-i \log \left(i z \pm \sqrt{1-z^{2}}\right)
$$
The power function
Letting $\alpha \in \mathbb{C}$, then we will define the function $z^{\alpha}$ by
$$
z^{\alpha}=e^{\alpha \log z}
$$
It follows that the function
$$
F: \mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{C}), \quad F(z)=z^{\alpha}
$$
is a multivalued function.
Considering the main branch log of the multivalued function Log, let us define the function $f$ by
$$
f(z)=e^{\alpha \log z}, \quad f(1)=1
$$
This function is called the main branch of the multivalued function $z^{\alpha}$, and moreover,
$$
f^{\prime}(z)=\frac{\alpha}{z} e^{\alpha \log z}=\frac{\alpha z^{\alpha}}{z}=\alpha z^{\alpha-1} .
$$
复分析代写
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|BILINEAR TRANSFORMS
让函数吨定义为
和⟼吨和=一种和+bC和+d,一种,b,C,d∈C.
然后吨是一个常数函数，当且仅当一种d−bC=0.F这r和X一种米p一世和,一世F$一种C≠0$,吨H和n$一种d−bC=0⇔b一种=dC$,H和nC和$吨和=一种C和+b一种和+dC=一种C$.
定义 2.6.1。功能吨称为双线性变换，如果一种d−bC≠0和
\begin{aligned} &T: \widehat{\mathbb{C}} \rightarrow \widehat{\mathbb{C}}, \ &T z= \begin{cases}\frac{a z+b}{c z+d }, & \text { if } z \in \mathbb{C} \backslash\left{-\frac{d}{c}\right} \ \infty, & \text { if } z=-\frac{d }{c} \ \frac{a}{c}, & \text { if } z=\infty,\end{cases} \end{aligned}\begin{aligned} &T: \widehat{\mathbb{C}} \rightarrow \widehat{\mathbb{C}}, \ &T z= \begin{cases}\frac{a z+b}{c z+d }, & \text { if } z \in \mathbb{C} \backslash\left{-\frac{d}{c}\right} \ \infty, & \text { if } z=-\frac{d }{c} \ \frac{a}{c}, & \text { if } z=\infty,\end{cases} \end{aligned}
和
$$
T z=\left{一种d和+bd, 如果 和∈C ∞, 如果 和=∞,\quad \text { 如果 } c=0\right。
$$
在哪里一种,b,C,d∈C.
定理 2.6.1。双线性变换是一个内射单值连续函数C^到C^.
证明。什么时候C=0,吨和=一种d和+bd， 在哪里一种d≠0. 因此∀在∈C,∃!和∈C:吨和=在. 更远，吨和吨−1是连续的C,林和→∞吨和=∞和林在→∞吨−1在=∞, 所以得出吨和吨−1是连续的∞观点。
如果C≠0和和0≠−dC， 然后一种和+b和C和+d在邻域中是连续的和0和C和0+d≠0， 因此吨是连续的和0观点。
如果和→−dC⇒C和+d→0,一种和+b→一种(−dC)+b≠0⇒吨和→∞⇒吨是连续的−dC观点。
如果和≠−dC， 然后
w=\frac{a z+b}{c z+d} \Rightarrow z=\left.\frac{-d w+b}{c wa} \Rightarrow T\right|_{\mathbb{C} \反斜杠\left{-\frac{d}{c}\right}} \quad \text { 是单射的。}w=\frac{a z+b}{c z+d} \Rightarrow z=\left.\frac{-d w+b}{c wa} \Rightarrow T\right|_{\mathbb{C} \反斜杠\left{-\frac{d}{c}\right}} \quad \text { 是单射的。}
函数的价值吨不可能是一种C， 因为
一种C=一种和+bC和+d⇔一种d=bC
因此这是不可能的。
因此，函数吨是之间的双射\mathbb{C} \反斜杠\left{-\frac{d}{c}\right}\mathbb{C} \反斜杠\left{-\frac{d}{c}\right}和\mathbb{C} \反斜杠\left{\frac{a}{c}\right}, T\left(-\frac{d}{c}\right)=\infty\mathbb{C} \反斜杠\left{\frac{a}{c}\right}, T\left(-\frac{d}{c}\right)=\infty和吨(∞)=一种C.吨和→∞， 如果和→−dC和吨−1在→∞， 如果在→一种C, 所以得出吨是连续的−dC点，和吨−1是连续的一种C观点。
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|THE MÖBIUS-TYPE GROUPS
对于两个给定的双线性变换，
吨1和=一种1和+b1C1和+d1 和 吨2和=一种2和+b2C2和+d2
吨1∘吨2和吨2∘吨1也是双线性变换。对任意吨j双线性变换，对应于形式的矩阵
(一种jbj Cjdj),
借助其系数获得。
表示吨3=吨1∘吨2, 双线性变换吨3对应的矩阵由下式给出
(一种1b1 C1d1)⋅(一种2b2 C2d2)=(一种1一种2+b1C2一种1b2+b1d2 一种2C1+C2d1b2C1+d1d2)
由此可知，矩阵吨3可以从作为相应矩阵的乘积获得吨1和吨2.
定理 2.7.1。双线性变换集是关于函数组合的一组。该群称为莫比乌斯群。
证明。吨j是双线性变换⇔这(一种jbj Cjdj)≠0. 的决定因素吨1∘吨2对应的矩阵是 det吨1⋅这吨2，因此矩阵吨j属于组G大号2(C). 从这句话中，我们推断出所有双线性变换的集合代表了一个关于组合的组，它是一个子组G大号2(C). 我们称其为双线性变换群，因为它是G大号2(C).
备注 2.7.1。如果我们将其所有系数乘以相同的复数，则任意双线性变换保持不变到,到≠0. 那是，
\frac{a z+b}{c z+d}=\frac{\frac{a}{k} z+\frac{b}{k}}{\frac{c}{k} z+\frac{d }{k}}, \quad \forall z \in \mathbb{C} \backslash\left{-\frac{d}{c}\right}\frac{a z+b}{c z+d}=\frac{\frac{a}{k} z+\frac{b}{k}}{\frac{c}{k} z+\frac{d }{k}}, \quad \forall z \in \mathbb{C} \backslash\left{-\frac{d}{c}\right}
常数到可以这样选择一种d−bC=1.
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|MULTIVALUED FUNCTIONS
对数函数
实值对数函数是指数函数的倒数。存在这个逆，因为实值指数函数是之间的双射R和R+∖0.
我们之前看到复值指数函数和和是一个周期函数，周期等于2圆周率一世. 因此，复值指数函数最多可以在包含在条带中的开放集合中是单射的，与这X轴，宽度等于2圆周率.
对于任何任意和∈C∗，让我们考虑方程和在=和, 与未知在. 让在=你+一世v， 然后
和=和你+一世v=和你和一世v=r和一世θ, 在哪里 和=r和一世θ.
因此和你=r， IE，
你=lnr=ln|和| 和 v=θ+2到圆周率,到∈从.
反三角函数
让和∈C是一个固定数，让我们考虑下一个方程，未知 w：
- 某物在=和， 在哪里某物在=和一世在+和−一世在2.
因此，从和一世在+和−一世在2=和我们得到和2一世在−2和和一世在+1=0， IE，和一世在=和±和2−1. 它遵循
一世˙在=日志(和±和2−1)
和
阿尔科斯和:=在=−一世日志(和±和2−1).
同样，我们将考虑以下等式：
- 没有在=和， 在哪里没有在=和一世在−和−一世一世在2一世.
因此，从和一世在−和−一世在2一世=和，我们得到和2一世在−2一世和和一世在−1=0， IE，和一世在=一世和±1−和2. 它遵循
一世在=日志(一世和±1−和2)
和
阿尔辛和:=在=−一世日志(一世和±1−和2)
幂函数
让一种∈C，然后我们将定义函数和一种经过
和一种=和一种日志和
由此可见，函数
F:C∗→磷(C),F(和)=和一种
是一个多值函数。
考虑到多值函数Log的主分支日志，让我们定义函数F经过
F(和)=和一种日志和,F(1)=1
这个函数称为多值函数的主分支和一种，而且，
F′(和)=一种和和一种日志和=一种和一种和=一种和一种−1.
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