如果你也在 怎样代写复分析complex analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析complex analysis传统上称为复变函数理论，是数学分析的一个分支，研究复数函数。它对数学的许多分支都有帮助，包括代数几何、数论、分析组合学、应用数学；以及物理学。数论、分析组合学、应用数学；以及物理学，包括流体力学、热力学，特别是量子力学等分支。推而广之，复数分析在工程领域也有应用，如核、航天、机械和电气工程。
复分析complex analysis复数分析的核心工具之一是线积分。正如Cauchy积分定理所指出的那样，在封闭路径所包围的区域内到处都是全形函数，其围绕封闭路径的线积分总是为零。这样一个全形函数在圆盘内的数值可以通过圆盘边界上的路径积分来计算（如考奇积分公式所示）。复平面内的路径积分经常被用来确定复杂的实积分，这里适用于残差理论等（。一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。
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数学代写|复分析代写complex analysis代考|The logarithmic function
The real-valued logarithmic function is the inverse of the exponential function. There exists this inverse because the real-valued exponential function is a bijection between $\mathbb{R}$ and $\mathbb{R}_{+} \backslash{0}$.
We saw previously that the complex-valued exponential function $e^{z}$ is a periodical function, with the period equal to $2 \pi i$. Thus, the complex-valued exponential function could be injective at most in an open set included into a strip, parallel with the $O x$ axis, with the width equal to $2 \pi$.
For any arbitrary $z \in \mathbb{C}^{*}$, let us consider the equation $e^{w}=z$, with the unknown $w$. Letting $w=u+i v$, then
$$
z=e^{u+i v}=e^{u} e^{i v}=r e^{i \theta}, \quad \text { where } z=r e^{i \theta}
$$
Hence $e^{u}=r$,i. e.,
$$
u=\ln r=\ln |z| \quad \text { and } \quad v=\theta+2 k \pi, k \in \mathbb{Z}
$$
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|Inverse trigonometric functions
Let $z \in \mathbb{C}$ be a fixed number, and let us consider the next equation, with the unknown w:
- $\cos w=z$, where $\cos w=\frac{e^{\text {iw } w}+e^{-\text {-iw }}}{2}$.
Hence, from $\frac{e^{i w}+e^{-i w}}{2}=z$ we get $e^{2 i w}-2 z e^{i w}+1=0$, i. e., $e^{i w}=z \pm \sqrt{z^{2}-1}$. It follows that
$$
i w=\log \left(z \pm \sqrt{z^{2}-1}\right)
$$
and
$$
\operatorname{Arccos} z:=w=-i \log \left(z \pm \sqrt{z^{2}-1}\right)
$$
Similarly, we will consider the equation:
- $\sin w=z$, where $\sin w=\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{2 i}$.
Hence, from $\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{2 i}=z$, we get $e^{2 i w}-2 i z e^{i w}-1=0$, i. e., $e^{i w}=i z \pm \sqrt{1-z^{2}}$. It follows that
$$
i w=\log \left(i z \pm \sqrt{1-z^{2}}\right)
$$
and
$$
\operatorname{Arcsin} z:=w=-i \log \left(i z \pm \sqrt{1-z^{2}}\right)
$$
Like in the previous two cases, let us consider the equation: - $\tan w=z$, where $\tan w=\frac{\sin w}{\cos w}=\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{i\left(e^{i w}+e^{-i w}\right)}$.
Hence, from $\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{e^{i w}+e^{-i w}}=i z$ we get $e^{2 i w}-1=i z\left(e^{2 i w}+1\right)=0 \Leftrightarrow(1-i z) e^{2 i w}=1+i z$, i. e., $e^{2 i w}=\frac{1+i z}{1-i z}$. It follows that
$$
\operatorname{Liw}=\log \frac{1+i z}{1-i z}
$$
and
$$
\operatorname{Arctan} z:=w=-\frac{i}{2} \log \frac{1+i z}{1-i z}
$$
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|The power function
Letting $\alpha \in \mathbb{C}$, then we will define the function $z^{\alpha}$ by
$$
z^{\alpha}=e^{\alpha \log z}
$$
It follows that the function
$$
F: \mathbb{C}^{*} \rightarrow \mathcal{P}(\mathbb{C}), \quad F(z)=z^{\alpha}
$$
is a multivalued function.
Considering the main branch log of the multivalued function Log , let us define the function $f$ by
$$
f(z)=e^{\alpha \log z}, \quad f(1)=1
$$
This function is called the main branch of the multivalued function $z^{\alpha}$, and moreover,
$$
f^{\prime}(z)=\frac{\alpha}{z} e^{\alpha \log z}=\frac{\alpha z^{\alpha}}{z}=\alpha z^{\alpha-1}
$$
For the special case $\alpha=n \in \mathbb{N}$, we deduce that
$$
z^{n}=e^{n \log z}=e^{n(\ln r+i(\theta+2 k \pi))}=e^{n \ln r} e^{n i \theta} e^{2 k n \pi i}=r^{n} e^{n i \theta}=\left(r e^{i \theta}\right)^{n}=z^{n} .
$$
Thus, the new definition of the power functions reduces for the special case $\alpha=n \in \mathbb{N}$ to the well-known definition of the power functions with natural exponents.
Similarly, for $\alpha=\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}$, we have
$$
\begin{aligned}
z^{\frac{1}{n}} &=e^{\frac{1}{n} \log z}=e^{\frac{1}{n}(\ln r+i(\theta+2 k \pi))}=e^{\frac{1}{n} \ln r} e^{i \frac{\theta+2 k \pi}{n}}=\sqrt[n]{r} e^{i \frac{\theta+2 k \pi}{n}} \
&=\sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\theta+2 k \pi}{n}+i \sin \frac{\theta+2 k \pi}{n}\right), \quad k \in{0,1, \ldots, n-1}
\end{aligned}
$$
and we obtain the well-known definitions of the $n$th order root functions.
复分析代写
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|THE LOGARITHMIC FUNCTION
实值对数函数是指数函数的倒数。存在这个逆，因为实值指数函数是之间的双射R和R+∖0.
我们之前看到复值指数函数和和是一个周期函数，周期等于2圆周率一世. 因此，复值指数函数最多可以在包含在条带中的开集内单射，与这X轴，宽度等于2圆周率.
对于任何任意和∈C∗，让我们考虑方程和在=和, 与未知在. 让在=你+一世v， 然后
和=和你+一世v=和你和一世v=r和一世θ, 在哪里 和=r和一世θ
因此和你=r， IE，
你=lnr=ln|和| 和 v=θ+2到圆周率,到∈从
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|INVERSE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS
让和∈C是一个固定数，让我们考虑下一个方程，未知 w：
- 某物在=和， 在哪里某物在=和并且在 在+和−-iw 2.
因此，从和一世在+和−一世在2=和我们得到和2一世在−2和和一世在+1=0， IE，和一世在=和±和2−1. 它遵循
一世在=日志(和±和2−1)
和
阿尔科斯和:=在=−一世日志(和±和2−1)
同样，我们将考虑以下等式：
- 没有在=和， 在哪里没有在=和一世在−和−一世在2一世.
因此，从和一世在−和−一世在2一世=和，我们得到和2一世在−2一世和和一世在−1=0， IE，和一世在=一世和±1−和2. 它遵循
一世在=日志(一世和±1−和2)
和
阿尔辛和:=在=−一世日志(一世和±1−和2)
与前两种情况一样，让我们考虑以下等式：
- $\tan w=z$, where $\tan w=\frac{\sin w}{\cos w}=\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{i\left(e^{i w w}+e^{-i w}\right)}$.
Hence, from $\frac{e^{i w}-e^{-i w}}{e^{i w}+e^{-i w}}=i z$ we get $e^{2 i w}-1=i z\left(e^{2 i w}+1\right)=0 \Leftrightarrow(1-i z) e^{2 i w}=1+i z$, i. e., $e^{2 i w}=\frac{1+i z}{1-i z}$. It follows that
$$
2 i w=\log \frac{1+i z}{1-i z}
$$
and
$$
\operatorname{Arctan} z:=w=-\frac{i}{2} \log \frac{1+i z}{1-i z}
$$
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|THE POWER FUNCTION
让一种∈C，然后我们将定义函数和一种经过
和一种=和一种日志和
由此可见，函数
F:C∗→磷(C),F(和)=和一种
是一个多值函数。
考虑到多值函数 Log 的主分支日志，让我们定义函数F经过
F(和)=和一种日志和,F(1)=1
该函数称为多值函数的主分支和一种，而且，
F′(和)=一种和和一种日志和=一种和一种和=一种和一种−1
对于特殊情况一种=n∈ñ, 我们推断
和n=和n日志和=和n(lnr+一世(θ+2到圆周率))=和nlnr和n一世θ和2到n圆周率一世=rn和n一世θ=(r和一世θ)n=和n.
因此，对于特殊情况，幂函数的新定义减少了一种=n∈ñ到具有自然指数的幂函数的著名定义。
同样，对于一种=1n,n∈ñ， 我们有
和1n=和1n日志和=和1n(lnr+一世(θ+2到圆周率))=和1nlnr和一世θ+2到圆周率n=rn和一世θ+2到圆周率n =rn(某物θ+2到圆周率n+一世没有θ+2到圆周率n),到∈0,1,…,n−1
我们得到了众所周知的定义n阶根函数。
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