如果你也在 怎样代写复分析complex analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析complex analysis传统上称为复变函数理论，是数学分析的一个分支，研究复数函数。它对数学的许多分支都有帮助，包括代数几何、数论、分析组合学、应用数学；以及物理学。数论、分析组合学、应用数学；以及物理学，包括流体力学、热力学，特别是量子力学等分支。推而广之，复数分析在工程领域也有应用，如核、航天、机械和电气工程。
复分析complex analysis复数分析的核心工具之一是线积分。正如Cauchy积分定理所指出的那样，在封闭路径所包围的区域内到处都是全形函数，其围绕封闭路径的线积分总是为零。这样一个全形函数在圆盘内的数值可以通过圆盘边界上的路径积分来计算（如考奇积分公式所示）。复平面内的路径积分经常被用来确定复杂的实积分，这里适用于残差理论等（。一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。
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数学代写|复分析代写complex analysis代考|simply connected domain
Theorem 3.5.1 (Existence theorem of the analytical branches of multivalued functions). Let $D \subset \mathbb{C}$ a simply connected domain in $\mathbb{C}$, and let $g \in H(D)$ a such a function, such that $g(z) \neq 0, \forall z \in D$.
Let $z_{1} \in D$ and let $w_{1}, w_{2}, \alpha \in \mathbb{C}$ be complex numbers, such that $w_{1} \in \log g\left(z_{1}\right)$, $w_{2} \in\left(g\left(z_{1}\right)\right)^{\alpha} .$
Then there exists only the functions $f_{1}, f_{2} \in H(D)$, such that:
- $f_{1}$ is the analytical branch of the multivalued function $\log g$, with $f_{1}\left(z_{1}\right)=w_{1}$,
- $f_{2}$ is the analytical branch of the multivalued function $g^{\alpha}$, with $f_{2}\left(z_{1}\right)=w_{2}$.
Proof. 1. Let us define $h(z)=\frac{g^{\prime}(z)}{g(z)}$. Then $h \in H(D)$, since $g(z) \neq 0, \forall z \in D$. Because $D$ is a simply connected domain, every arbitrary closed path of $D$ is homotopic with 0 in $D$, hence on every closed path of $D$ the integral of $h$ is zero. It follows that the function $h$ has a primitive in $D$, and let denote it by $l$. Then
$$
\left(\frac{e^{l(z)}}{g(z)}\right)^{\prime}=\frac{\left(l^{\prime}(z) g(z)-g^{\prime}(z)\right) e^{l(z)}}{g^{2}(z)}=\frac{\left(g^{\prime}(z)-g^{\prime}(z)\right) e^{l(z)}}{g^{2}(z)}=0,
$$
hence the expression from the first bracket is constant, i. e.,
$$
e^{l(z)}=\operatorname{cg}(z), \quad c \in \mathbb{C} .
$$
Since $e^{l(z)}$ cannot be equal to 0 , it follows that $c \neq 0$.
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|choose the constant
Let choose the constant $k \in \mathbb{C}$, such that the function $f_{1}(z)=l(z)+k$ satisfies the condition $f_{1}\left(z_{1}\right)=w_{1}$, i. e., $k=w_{1}-l\left(z_{1}\right)$. Then the function $f_{1} \in H(D)$ is the analytical branch of Log $g$ which we want to find, since
$$
e^{f_{1}(z)}=e^{l(z)} e^{k}=e^{l(z)} e^{w_{1}} e^{-l\left(z_{1}\right)}=\frac{\operatorname{cg}(z)}{\operatorname{cg}\left(z_{1}\right)} e^{w_{1}}=g(z),
$$
because $w_{1} \in \log g\left(z_{1}\right)$, hence $e^{w_{1}}=g\left(z_{1}\right)$.
Obviously, we have
$$
f_{1}(z) \in \log g(z), \forall z \in D \quad \text { and } \quad f_{1}^{\prime}(z)=l^{\prime}(z)=\frac{g^{\prime}(z)}{g(z)},
$$
since according to its definition, the function $l$ is a primitive function for $h=\frac{g^{\prime}}{g}$.
If $\tilde{f}{1} \in H(D)$ is another branch of Log $g(z)$ that satisfies the condition $\widetilde{f}{1}\left(z_{1}\right)=w_{1}$, then
$$
g(z)=e^{\tilde{f}{1}(z)}=e^{f{1}(z)} \text {, hence } e^{\tilde{f}{1}(z)-f{1}(z)}=1 \text {. }
$$
If we differentiate the both sides of this relation, we get
$$
\left(\tilde{f}{1}^{\prime}(z)-f{1}^{\prime}(z)\right) e^{\tilde{f}{1}(z)-f{1}(z)} \equiv 0,
$$
so $\tilde{f}{1}^{\prime}(z) \equiv f{1}^{\prime}(z)$. Since $\tilde{f}{1}\left(z{1}\right)=f_{1}\left(z_{1}\right)$, we deduce that $\widetilde{f}{1}=f{1}$.
- Let be the number $w_{2} \in \mathbb{C}$, such that $w_{2} \in\left(g\left(z_{1}\right)\right)^{\alpha}=e^{\alpha \log g\left(z_{1}\right)}$ and let be $w_{1} \in$ Log $g\left(z_{1}\right)$ a such a number that $w_{2}=e^{\alpha w_{1}}$. Using the first point of the proof, there exists the function $f_{1} \in H(D)$, such that $w_{1}=f_{1}\left(z_{1}\right)$ and $f_{1}(z) \in \log g(z), \forall z \in D$.
复分析代写
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|SIMPLY CONNECTED DOMAIN
定理 3.5.1和X一世s吨和nC和吨H和这r和米这F吨H和一种n一种一世是吨一世C一种一世br一种nCH和s这F米你一世吨一世v一种一世你和dF你nC吨一世这ns. 让D⊂C一个简单连通域C， 然后让G∈H(D)一个这样的函数，这样G(和)≠0,∀和∈D.
让和1∈D然后让在1,在2,一种∈C是复数，这样在1∈日志G(和1),在2∈(G(和1))一种.
那么只存在函数F1,F2∈H(D)，这样：
- F1是多值函数的解析分支日志G， 和F1(和1)=在1,
- F2是多值函数的解析分支G一种， 和F2(和1)=在2.
证明。1. 让我们定义H(和)=G′(和)G(和). 然后H∈H(D)， 自从G(和)≠0,∀和∈D. 因为D是一个单连通域，任意闭合路径D与 0 同伦D，因此在每个闭合路径上D的积分H为零。由此可见，函数H有一个原始的D, 并让其表示为一世. 然后
(和一世(和)G(和))′=(一世′(和)G(和)−G′(和))和一世(和)G2(和)=(G′(和)−G′(和))和一世(和)G2(和)=0,
因此第一个括号中的表达式是常数，即
和一世(和)=CG(和),C∈C.
自从和一世(和)不能等于 0 ，因此C≠0.
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|CHOOSE THE CONSTANT
让我们选择常数到∈C, 使得函数F1(和)=一世(和)+到满足条件F1(和1)=在1， IE，到=在1−一世(和1). 然后函数F1∈H(D)是Log的解析分支G我们想要找到的，因为
和F1(和)=和一世(和)和到=和一世(和)和在1和−一世(和1)=CG(和)CG(和1)和在1=G(和),
因为在1∈日志G(和1)， 因此和在1=G(和1).
显然，我们有
F1(和)∈日志G(和),∀和∈D 和 F1′(和)=一世′(和)=G′(和)G(和),
因为根据它的定义，函数一世是一个原始函数H=G′G.
如果
$$
\left(\tilde{f}{1}^{\prime}(z)-f{1}^{\prime}(z)\right) e^{\tilde{f}{1}(z)-f{1}(z)} \equiv 0,
$$
so $\tilde{f}{1}^{\prime}(z) \equiv f{1}^{\prime}(z)$. Since $\tilde{f}{1}\left(z{1}\right)=f_{1}\left(z_{1}\right)$, we deduce that $\widetilde{f}{1}=f{1}$.
- 让数字在2∈C, 这样在2∈(G(和1))一种=和一种日志G(和1)让我们成为在1∈日志G(和1)一个这样的数字在2=和一种在1. 使用证明的第一点，存在函数F1∈H(D), 这样在1=F1(和1)和F1(和)∈日志G(和),∀和∈D.
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