如果你也在 怎样代写复分析complex analysis这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。复分析complex analysis传统上称为复变函数理论，是数学分析的一个分支，研究复数函数。它对数学的许多分支都有帮助，包括代数几何、数论、分析组合学、应用数学；以及物理学。数论、分析组合学、应用数学；以及物理学，包括流体力学、热力学，特别是量子力学等分支。推而广之，复数分析在工程领域也有应用，如核、航天、机械和电气工程。
复分析complex analysis复数分析的核心工具之一是线积分。正如Cauchy积分定理所指出的那样，在封闭路径所包围的区域内到处都是全形函数，其围绕封闭路径的线积分总是为零。这样一个全形函数在圆盘内的数值可以通过圆盘边界上的路径积分来计算（如考奇积分公式所示）。复平面内的路径积分经常被用来确定复杂的实积分，这里适用于残差理论等（。一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。
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数学代写|复分析代写complex analysis代考|rectifiable path
Let $y$ be a rectifiable path in $\mathbb{C}$, let denote $K={y}$ and let $G \subset \mathbb{C}, G \neq \emptyset$, be an open set. Supposing that the function $g: G \times K \rightarrow \mathbb{C}$ is continuous, then for any arbitrary point $z \in G$ there exists the integral $\int_{\gamma} g(z, \zeta) \mathrm{d} \zeta$.
Theorem 3.4.1.
- If $g: G \times K \rightarrow \mathbb{C}$ is a continuous function, then the function $h$ defined by
$$
h(z)=\int_{\gamma} g(z, \zeta) \mathrm{d} \zeta
$$
is continuous on $G$. - If there exists the derivative $g_{z}^{\prime}(z, \zeta)$, and it is continuous on $G \times K$, then the function $h$ defined to the point 1. is holomorphic on $G$, i.e., $h \in H(G)$, and
$$
h^{\prime}(z)=\int_{\gamma} g_{z}^{\prime}(z, \zeta) \mathrm{d} \zeta
$$
Proof. 1. Let fix the point $z_{0} \in G$. Since $G$ is an open set, there exists a number $r>0$ such that $U^{-}\left(z_{0} ; r\right) \subset G$, and consider an arbitrary number $\varepsilon>0$. Since $g$ is a uniformly continuous function on the compact $U^{-}\left(z_{0} ; r\right) \times K$, there exists
$$
\eta>0 \quad \text { such that }\left|z-z_{0}\right|<\eta \text {, implies }\left|g(z, \zeta)-g\left(z_{0}, \zeta\right)\right|<\frac{\varepsilon}{V(\gamma)},
$$
where $V(y)$ the length of the path $\gamma$.
Thus
$$
\left|h(z)-h\left(z_{0}\right)\right| \leq \int_{\gamma}\left|g(z, \zeta)-g\left(z_{0}, \zeta\right)\right||\mathrm{d} \zeta|<\frac{\varepsilon}{V(y)} \int_{\gamma}|\mathrm{d} \zeta|=\varepsilon
$$
hence the function $h$ is continuous at the point $z_{0}$.
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|locally finite in the set
Theorem $3.4 .3$ (Morera theorem). If a complex function has a primitive on the open set $G \subset \mathbb{C}$, then the function is holomorphic on this set.
Proof. Let $g$ be a primitive for the function $f: G \rightarrow \mathbb{C}$. Then $g \in H(G)$. Let $z_{0} \in G$ be a given point, and let $r>0$ be a number such that $U^{-}\left(z_{0} ; r\right) \subset G$. Applying the Cauchy formula for the function $g$, we obtain that there exists the derivative $g^{\prime \prime}\left(z_{0}\right)$. Since $g^{\prime}(z)=f(z), z \in G$, it follows that there exists $f^{\prime}\left(z_{0}\right)=g^{\prime \prime}\left(z_{0}\right)$. Thus, the function $f$ is holomorphic on $G$.
Corollary 3.4.2. The derivative of an holomorphic function is also holomorphic.
Consequently, any holomorphic function has derivatives of any arbitrary order, and these derivatives are also holomorphic.
Definition 3.4.1. Let $G \subset \mathbb{C}$. A family of lines is said to be locally finite in the set $G$, for every point of $G$ there exists a neighborhood of it that intersects only a finite number of these lines.
For example, the family of the lines $x=\frac{1}{n}, n \in \mathbb{N}^{*}$, is locally finite in the disc $U(1 ; 1)$, but it is not locally finite in the disc $U(0 ; 1)$.
复分析代写
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|RECTIFIABLE PATH
让是成为一条可纠正的路径C, 表示到=是然后让G⊂C,G≠∅, 是一个开集。假设函数G:G×到→C是连续的，那么对于任意点和∈G存在积分∫CG(和,G)dG.
定理 3.4.1。
- 如果G:G×到→C是一个连续函数，那么函数H被定义为
H(和)=∫CG(和,G)dG
是连续的G. - 如果存在导数G和′(和,G), 并且在G×到, 那么函数H定义到点 1. 是全纯的G， IE，H∈H(G)， 和
H′(和)=∫CG和′(和,G)dG
证明。1. 让我们解决问题和0∈G. 自从G是一个开集，存在一个数r>0这样ü−(和0;r)⊂G, 并考虑一个任意数e>0. 自从G是紧致上的一致连续函数ü−(和0;r)×到， 那里存在
这>0 这样 |和−和0|<这， 暗示 |G(和,G)−G(和0,G)|<e五(C),
在哪里五(是)路径的长度C.
因此
|H(和)−H(和0)|≤∫C|G(和,G)−G(和0,G)||dG|<e五(是)∫C|dG|=e
因此函数H在该点是连续的和0.
数学代写|复分析代写COMPLEX ANALYSIS代考|LOCALLY FINITE IN THE SET
定理3.4.3 米这r和r一种吨H和这r和米. 如果一个复函数在开集上有一个原语G⊂C, 那么函数在这个集合上是全纯的。
证明。让G是函数的原语F:G→C. 然后G∈H(G). 让和0∈G是一个给定的点，让r>0是一个数字，使得ü−(和0;r)⊂G. 对函数应用柯西公式G, 我们得到存在导数G′′(和0). 自从G′(和)=F(和),和∈G，由此可知存在F′(和0)=G′′(和0). 因此，函数F是全纯的G.
推论 3.4.2。全纯函数的导数也是全纯的。
因此，任何全纯函数都有任意阶的导数，并且这些导数也是全纯的。
定义 3.4.1。让G⊂C. 称线族在集合中是局部有限的G, 对于每个点G它的邻域只与有限数量的这些线相交。
例如，线的系列X=1n,n∈ñ∗, 在圆盘中是局部有限的ü(1;1), 但它在圆盘中不是局部有限的ü(0;1).
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