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随机分析stochastic analysis应用随机微积分的最著名的随机过程是维纳过程（为纪念诺伯特-维纳而命名），它被用来模拟路易-巴切莱特在1900年和阿尔伯特-爱因斯坦在1905年描述的布朗运动以及其他受随机力作用的粒子在空间的物理扩散过程。自20世纪70年代以来，维纳过程被广泛地应用于金融数学和经济学中，以模拟股票价格和债券利率的时间演变。
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数学代写|随机分析作业代写stochastic analysis代考|non-decreasing stopping times
(1) We say that $\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}$ is a sequence of non-decreasing stopping times, if $\tau_{n}, n=1,2, \ldots$, are stopping times, $\tau_{k}(\omega) \leqq \tau_{k+1}(\omega), k=1,2, \ldots$, and $\tau_{n}(\omega) \rightarrow \infty, n \rightarrow \infty$, for all $\omega \in \Omega$.
(2) We say that a stochastic process $M:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ is a continuous local martingale, if $M$ is an adapted continuous process, and if there is a sequence of non-decreasing stopping times $\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}$ such that $M^{\tau_{n}}-M_{0} \in \mathcal{M}{b}^{c}$ for all $n \geqq 1$. (3) We say that a stochastic process $A:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ is an adapted nondecreasing continuous process, if $A$ is an adapted continuous process, and if $A(\cdot, \omega):[0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}$ is an non-decreasing function for all $\omega \in \Omega$. (4) We say that a stochastic process $A:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ is an adapted continuous process with finite variation, if there are adapted continuous non-decreasing processes $A{i}, i=0,1$, such that $A=A_{1}-A_{0}$.
In this book, we denote by $\mathcal{M}{\text {loc }}^{c}$ the set of continuous local martingales $M$ with $M{0}=0$, denote by $\mathcal{A}{+, c}$ the set of adapted non-decreasing processes $A$ with $A{0}=0$, and denote by $\mathcal{A}{c}$ the set of adapted continuous processes with finite variation with $A{0}=0$.
数学代写|随机分析作业代写stochastic analysis代考|adapted continuous process
If $M:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ is a continuous process and is a martingale with $M_{0}=0$, then $M$ is a continuous local martingale.
Proof Let $\tau_{n}=\inf \left{t \geqq 0 ;\left|M_{t}\right| \geqq n\right} \wedge n, n \geqq 1$. Then $\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}$ is a sequence of non-decreasing stopping times. By Proposition 3.3.12 we see that $M^{\tau_{n}} \in \mathcal{M}_{b}^{c}$, and so we have our assertion.
Proposition 3.6.2 (1) If $\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}$ and $\left{\sigma_{n}\right}_{n=1}^{\infty}$ are sequences of non-decreasing stopping times, then $\left{\tau_{n} \wedge \sigma_{n}\right}_{n=1}^{\infty}$ is also a sequence of non-decreasing stopping times.
(2) Let $\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}$ be a sequence of non-decreasing stopping times and let $X_{n}$ : $[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}, n=1,2, \ldots$, be adapted continuous process such that $X_{n}^{\tau_{n}}=$ $X_{n+1}^{\tau_{n}}, n=1,2, \ldots$, with probability 1. Then there exists an adapted continuous process $X:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ such that $X^{\tau_{n}}=X_{n}^{\tau_{n}}$ a.s., $n=1,2, \ldots$ Moreover, if $\tilde{X}:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ is an adapted continuous process such that $\tilde{X}^{\tau_{n}}=X_{n}^{\tau_{n}}$ a.s., $n=1,2, \ldots$, then $X=\tilde{X}$.
随机分析代写
数学代写|随机分析作业代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|NON-DECREASING STOPPING TIMES
1我们说\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}是非递减停止时间的序列，如果τn,n=1,2,…, 是停止时间,τ到(ω)≦τ到+1(ω),到=1,2,…， 和τn(ω)→∞,n→∞， 对全部ω∈Ω.
2我们说一个随机过程米:[0,∞)×Ω→R是一个连续局部鞅，如果米是一个适应的连续过程，如果存在一系列非递减的停止时间$M:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ is a continuous local martingale, if $M$ is an adapted continuous process, and if there is a sequence of non-decreasing stopping times $\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}$ such that $M^{\tau_{n}}-M_{0} \in \mathcal{M}{b}^{c}$ for all $n \geqq 1$. (3) We say that a stochastic process $A:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ is an adapted nondecreasing continuous process, if $A$ is an adapted continuous process, and if $A(\cdot, \omega):[0, \infty) \rightarrow \mathbf{R}$ is an non-decreasing function for all $\omega \in \Omega$. (4) We say that a stochastic process $A:[0, \infty) \times \Omega \rightarrow \mathbf{R}$ is an adapted continuous process with finite variation, if there are adapted continuous non-decreasing processes $A{i}, i=0,1$, such that $A=A_{1}-A_{0}$.
在本书中，我们用 $\mathcal{M}{\text {loc }}^{c}$ the set of continuous local martingales $M$ with $M{0}=0$, denote by $\mathcal{A}{+, c}$ the set of adapted non-decreasing processes $A$ with $A{0}=0$, and denote by $\mathcal{A}{c}$ the set of adapted continuous processes with finite variation with $A{0}=0$.
数学代写|随机分析作业代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|ADAPTED CONTINUOUS PROCESS
如果米:[0,∞)×Ω→R是一个连续过程，是一个鞅米0=0， 然后米是一个连续的局部鞅。
证明让$\tau_{n}=\inf \left{t \geqq 0 ;\left|M_{t}\right| \geqq n\right} \wedge n, n \geqq 1$. Then $\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}$ .是一系列非递减的停止时间。根据命题 3.3.12，我们看到米τn∈米bC，所以我们有我们的断言。
命题 3.6.21如果\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}和\left{\sigma_{n}\right}_{n=1}^{\infty}\left{\sigma_{n}\right}_{n=1}^{\infty}是非递减停止时间的序列，那么\left{\tau_{n} \wedge \sigma_{n}\right}_{n=1}^{\infty}\left{\tau_{n} \wedge \sigma_{n}\right}_{n=1}^{\infty}也是一个非递减停止时间的序列。
2让\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}\left{\tau_{n}\right}_{n=1}^{\infty}是一个非递减停止时间的序列并且让Xn:[0,∞)×Ω→R,n=1,2,…, 适应连续过程，使得Xnτn= Xn+1τn,n=1,2,…, 概率为 1. 那么存在一个适应的连续过程X:[0,∞)×Ω→R这样Xτn=Xnτn作为，n=1,2,…此外，如果X~:[0,∞)×Ω→R是一个适应的连续过程，使得X~τn=Xnτn作为，n=1,2,…， 然后X=X~.
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