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随机分析stochastic analysis应用随机微积分的最著名的随机过程是维纳过程（为纪念诺伯特-维纳而命名），它被用来模拟路易-巴切莱特在1900年和阿尔伯特-爱因斯坦在1905年描述的布朗运动以及其他受随机力作用的粒子在空间的物理扩散过程。自20世纪70年代以来，维纳过程被广泛地应用于金融数学和经济学中，以模拟股票价格和债券利率的时间演变。
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数学代写|随机分析作业代写stochastic analysis代考|non-negative random variable
Let $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ be a probability space. Then we have the following.
Theorem 1.3.1 Let $\mathcal{G}$ be a sub- $\sigma$-algebra, and $X$ be a non-negative random variable. Then there exists a non-negative random variable $Y$ satisfying the following two conditions.
(1) $Y$ is G-measurable.
(2) $E[Y, B]=E[X, B]$ for any $B \in \mathcal{G}$.
Moreover, if $Y^{\prime}$ is another non-negative random variable satisfying Conditions
(1) and (2), then $Y^{\prime}=Y$ a.s.
Proof Let $X_{n}=X \wedge n, n=0,1,2, \ldots$ Since $E\left[X_{n}^{2}\right]<\infty$, by Proposition $1.2 .3$ there are $Y_{n} \in \mathcal{L}{\mathcal{G}}^{2}, n=1,2, \ldots$, such that $E\left[Y{n}, B\right]=E\left[X_{n}, B\right]$ for any $B \in \mathcal{G}$. Let $Y_{0}=0$. Then $Y_{0} \in \mathcal{L}{G}^{2}$ and $E\left[Y{0}, B\right]=E\left[X_{0}, B\right]=0$ for any $B \in \mathcal{G}$. Let $A_{n, m}=\left{Y_{n}-Y_{m}<0\right}$ for $n>m \geqq 0$. Then we see that $A_{n, m} \in \mathcal{G}$. Since $X_{n} \geqq X_{m}$, we see that
$$
E\left[Y_{n}-Y_{m}, A_{n, m}\right]=E\left[X_{n}-X_{m}, A_{n, m}\right] \geqq 0
$$
This shows that $P\left(Y_{n}-Y_{m}<0\right)=0, n>m \geqq 0$, and so $P\left(Y_{n} \geqq Y_{m}\right)=1$. Let $\Omega_{0}=\bigcap_{n=0}^{\infty}\left{Y_{n+1} \geqq Y_{n}\right}$ and let $Y=\lim {n \rightarrow \infty} 1{\Omega_{0}} Y_{n}$. Since $X_{n}, n=1,2, \ldots$, and $1_{\Omega_{0}} Y_{n}, n=1,2, \ldots$, are non-decreasing sequences of non-negative random variables, we see that for $B \in \mathcal{G}$
$$
E[Y, B]=\lim {n \rightarrow \infty} E\left[1{\Omega_{0}} Y_{n}, B\right]=\lim {n \rightarrow \infty} E\left[Y{n}, B\right]=\lim {n \rightarrow \infty} E\left[X{n}, B\right]=E[X, B]
$$
This implies our first assertion.
Suppose that $Y^{\prime}$ is a non-negative random variable satisfying Conditions (1) and (2). Let $A_{n}=\left{Y^{\prime} \geqq Y+\frac{1}{n}, Y \leqq n\right}, n \geqq 1$. Then we see that $A_{n} \in \mathcal{G}$ and $E\left[Y, A_{n}\right]<\infty$. Therefore we see that $$ E\left[Y, A_{n}\right]+\frac{1}{n} P\left(A_{n}\right) \leqq E\left[Y, A_{n}\right]+E\left[Y^{\prime}-Y, A_{n}\right]=E\left[Y^{\prime}, A_{n}\right]=E\left[X, A_{n}\right]=E\left[Y, A_{n}\right] . $$ This implies that $P\left(A_{n}\right)=0$. Note that $$ \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}=\left{Y^{\prime}>Y\right}
$$
So we see that $P\left(Y^{\prime}>Y\right)=0$. Since we can prove $P\left(Y>Y^{\prime}\right)=0$ similarly, we obtain $Y=Y^{\prime}$ a.s.
数学代写|随机分析作业代写stochastic analysis代考|progressively measurable processes
Corollary 1.3.1 Let G be a sub- $\sigma$-algebra, and $X$ be an integrable random variable. Then there exists an integrable random variable $Y$ satisfying the following.
(1) $Y$ is G-measurable.
(2) $E[Y, B]=E[X, B]$ for any $B \in G$.
Moreover, if $Y^{\prime}$ is another integrable random variable satisfying Conditions (1) and (2), then $Y^{\prime}=Y$ a.s.
Proof Let $X_{+}$and $X_{-}$be non-negative random variables given by $X_{+}=\max {X, 0}$ and $X_{-}=\max {-X, 0}$. Then we see that $E\left[X_{+}\right]<\infty$, and $E\left[X_{-}\right]<\infty$. Since
$$
E\left[E\left[X_{+} \mid \mathcal{B}\right]+E\left[X_{-} \mid \mathcal{B}\right]\right]=E\left[E\left[X_{+} \mid \mathcal{B}\right]+E\left[X_{-} \mid \mathcal{B}\right], \Omega\right]=E\left[X_{+}+X_{-}, \Omega\right]<\infty,
$$
we see that $E\left[X_{+} \mid \mathcal{B}\right]<\infty$ and $E\left[X_{-} \mid \mathcal{B}\right]<\infty$ a.s. Therefore letting $Y=E\left[X_{+} \mid \mathcal{B}\right]$ $-E\left[X_{-} \mid \mathcal{B}\right]$, we see that $Y$ is an integrable random variable satisfying Conditions (1) and (2).
Suppose that $Y^{\prime}$ is an integrable random variable satisfying Conditions (1) and (2). Then we see that $\left{Y>Y^{\prime}\right} \in \mathcal{G}$, and that
$$
\begin{aligned}
E\left[Y-Y^{\prime},\left{Y>Y^{\prime}\right}\right] &=E\left[Y,\left{Y>Y^{\prime}\right}\right]-E\left[Y^{\prime},\left{Y>Y^{\prime}\right}\right] \
&=E\left[X,\left{Y>Y^{\prime}\right}\right]-E\left[X,\left{Y>Y^{\prime}\right}\right]=0
\end{aligned}
$$
This implies that $P\left(Y>Y^{\prime}\right)=0$. Similarly, we see that $P\left(Y^{\prime}>Y\right)=0$. So we obtain $P\left(Y=Y^{\prime}\right)=1$.
We denote also by $E[X \mid \mathcal{G}]$ the integrable random variable $Y$ in Corollary 1.3.1. Note that $E[X \mid \mathcal{G}]$ is determined only almost surely in either case that $X$ is a non-negative random variable or $X$ is an integrable random variable.
We call $E[X \mid \mathcal{G}]$ the conditional expectation of $X$ given a sub- $\sigma$-algebra $\mathcal{G}$.
For any $A \in \mathcal{F}$, we denote $E\left[1_{A} \mid \mathcal{G}\right]$ by $P(A \mid \mathcal{G})$ and we call this the conditional probability of an event $A$ given a sub- $\sigma$-algebra $\mathcal{G}$.
随机分析代写
数学代写|随机分析作业代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|NON-NEGATIVE RANDOM VARIABLE
让(Ω,F,磷)是一个概率空间。然后我们有以下内容。
定理 1.3.1 让G成为一个子σ-代数，和X为非负随机变量。那么存在一个非负随机变量是满足以下两个条件。
1 是是 G 可测量的。
2 和[是,乙]=和[X,乙]对于任何乙∈G.
此外，如果是′是另一个满足条件的非负随机变量
1和2， 然后是′=是作为
Proof Let $X_{n}=X \wedge n, n=0,1,2, \ldots$ Since $E\left[X_{n}^{2}\right]<\infty$, by Proposition $1.2 .3$ there are $Y_{n} \in \mathcal{L}{\mathcal{G}}^{2}, n=1,2, \ldots$, such that $E\left[Y{n}, B\right]=E\left[X_{n}, B\right]$ for any $B \in \mathcal{G}$. Let $Y_{0}=0$. Then $Y_{0} \in \mathcal{L}{G}^{2}$ and $E\left[Y{0}, B\right]=E\left[X_{0}, B\right]=0$ for any $B \in \mathcal{G}$. Let $A_{n, m}=\left{Y_{n}-Y_{m}<0\right}$ for $n>m \geqq 0$. Then we see that $A_{n, m} \in \mathcal{G}$. Since $X_{n} \geqq X_{m}$, we see that
$$
E\left[Y_{n}-Y_{m}, A_{n, m}\right]=E\left[X_{n}-X_{m}, A_{n, m}\right] \geqq 0
$$
这表明磷$P\left(Y_{n}-Y_{m}<0\right)=0, n>m \geqq 0$, and so $P\left(Y_{n} \geqq Y_{m}\right)=1$. Let $\Omega_{0}=\bigcap_{n=0}^{\infty}\left{Y_{n+1} \geqq Y_{n}\right}$ and let $Y=\lim {n \rightarrow \infty} 1{\Omega_{0}} Y_{n}$. Since $X_{n}, n=1,2, \ldots$, and $1_{\Omega_{0}} Y_{n}, n=1,2, \ldots$, are non-decreasing sequences of non-negative random variables, we see that for $B \in \mathcal{G}$
这意味着我们的第一个断言。假设$Y^{\prime}$ 是一个满足条件（1）和（2）的非负随机变量。令$A_{n}=\left{Y^{\prime} \geqq Y+\frac{1}{n}, Y \leqq n\right}, n \geqq 1$。然后我们看到 $A_{n} \in \mathcal{G}$ 和 $E\left[Y, A_{n}\right]<\infty$。因此我们看到这意味着我们的第一个断言。We denote also by $E[X \mid \mathcal{G}]$ the integrable random variable $Y$ in Corollary 1.3.1. Note that $E[X \mid \mathcal{G}]$ is determined only almost surely in either case that $X$ is a non-negative random variable or $X$ is an integrable random variable.
We call $E[X \mid \mathcal{G}]$ the conditional expectation of $X$ given a sub- $\sigma$-algebra $\mathcal{G}$.
For any $A \in \mathcal{F}$, we denote $E\left[1_{A} \mid \mathcal{G}\right]$ by $P(A \mid \mathcal{G})$
所以我们看到磷(是′>是)=0. 既然我们可以证明磷(是>是′)=0同样，我们得到是=是′作为
数学代写|随机分析作业代写STOCHASTIC ANALYSIS代考|PROGRESSIVELY MEASURABLE PROCESSES
推论 1.3.1 令 G 为子σ-代数，和X是一个可积的随机变量。那么存在一个可积的随机变量是满足以下。
1 是是 G 可测量的。
2 和[是,乙]=和[X,乙]对于任何乙∈G.
此外，如果是′是另一个满足条件的可积随机变量1和2， 然后是′=是作为
证明让X+和X−是由下式给出的非负随机变量X+=最大限度X,0和X−=最大限度−X,0. 然后我们看到和[X+]<∞， 和和[X−]<∞. 自从
和[和[X+∣乙]+和[X−∣乙]]=和[和[X+∣乙]+和[X−∣乙],Ω]=和[X++X−,Ω]<∞,
我们看到和[X+∣乙]<∞和和[X−∣乙]<∞因此让是=和[X+∣乙] −和[X−∣乙], 我们看到是是满足条件的可积随机变量1和2.
假设是′是满足条件的可积随机变量1和2. 然后我们看到\left{Y>Y^{\prime}\right} \in \mathcal{G}\left{Y>Y^{\prime}\right} \in \mathcal{G}， 然后\begin{对齐} E\left[YY^{\prime},\left{Y>Y^{\prime}\right}\right] &=E\left[Y,\left{Y>Y^{\ prime}\right}\right]-E\left[Y^{\prime},\left{Y>Y^{\prime}\right}\right] \ &=E\left[X,\left{Y >Y^{\prime}\right}\right]-E\left[X,\left{Y>Y^{\prime}\right}\right]=0 \end{aligned}\begin{对齐} E\left[YY^{\prime},\left{Y>Y^{\prime}\right}\right] &=E\left[Y,\left{Y>Y^{\ prime}\right}\right]-E\left[Y^{\prime},\left{Y>Y^{\prime}\right}\right] \ &=E\left[X,\left{Y >Y^{\prime}\right}\right]-E\left[X,\left{Y>Y^{\prime}\right}\right]=0 \end{aligned}
这意味着磷(是>是′)=0. 同样，我们看到磷(是′>是)=0. 所以我们得到磷(是=是′)=1.
我们还表示和[X∣G]可积随机变量是在推论 1.3.1 中。注意和[X∣G]在任何一种情况下都几乎可以肯定地确定X是非负随机变量或X是一个可积的随机变量。
我们称之为和[X∣G]的条件期望X给定一个子σ-代数G.
对于任何一种∈F，我们表示和[1一种∣G]经过磷(一种∣G)我们称之为事件的条件概率一种给定一个子σ-代数G.
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