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数学代考|凸分析作业代写Convex Analysis代考|Polyhedral Convex Sets and Functions
In our earlier section on theorems of the alternative (Section 2.2), we observed that finitely generated cones are closed. Remarkably, a finite linearalgebraic assumption leads to a topological conclusion. In this section we pursue the consequences of this type of assumption in convex analysis.
There are two natural ways to impose a finite linear structure on the sets and functions we consider. The first we have already seen: a “polyhedron” (or polyhedral set) is a finite intersection of closed halfspaces in $\mathbf{E}$, and we say a function $f: \mathbf{E} \rightarrow[-\infty,+\infty]$ is polyhedral if its epigraph is polyhedral. On the other hand, a polytope is the convex hull of a finite subset of $\mathbf{E}$, and we call a subset of $\mathbf{E}$ finitely generated if it is the sum of a polytope and a finitely generated cone (in the sense of formula (2.2.11)). Notice we do not yet know if a cone that is a finitely generated set in this sense is finitely generated in the sense of $(2.2 .11)$; we return to this point later in the section. The function $f$ is finitely generated if its epigraph is finitely generated. A central result of this section is that polyhedra and finitely generated sets in fact coincide.
We begin with some easy observations collected together in the following two results.
数学代考|凸分析作业代写Convex Analysis代考|Functions of Eigenvalues
Fenchel conjugacy gives a concise and beautiful avenue to many eigenvalue inequalities in classical matrix analysis. In this section we outline this approach.
The two cones $\mathbf{R}_{+}^{n}$ and $\mathbf{S}_{+}^{n}$ appear repeatedly in applications, as do their corresponding logarithmic barriers $l b$ and ld, which we defined in Section 3.3. We can relate the vector and matrix examples, using the notation of Section 1.2, through the identities
$$
\delta_{\mathbf{S}_{+}^{n}}=\delta_{\mathbf{R}_{+}^{n}} \circ \lambda \text { and } \mathrm{ld}=\mathrm{lb} \circ \lambda .
$$
We see in this section that these identities fall into a broader pattern.
Recall the function $[\cdot]: \mathbf{R}^{n} \rightarrow \mathbf{R}^{n}$ rearranges components into nonincreasing order. We say a function $f$ on $\mathbf{R}^{n}$ is symmetric if $f(x)=f([x])$ for all vectors $x$ in $\mathbf{R}^{n}$; in other words, permuting components does not change the function value. We call a symmetric function of the eigenvalues of a symmetric matrix a spectral function. The following formula is crucial.
数学代考|凸分析作业代写Convex Analysis代考|Duality for Linear and Semidefinite Programming
Linear programming (LP) is the study of optimization problems involving a linear objective function subject to linear constraints. This simple optimization model has proved enormously powerful in both theory and practice, so we devote this section to deriving linear programming duality theory from our convex-analytic perspective. We contrast this theory with the corresponding results for semidefinite programming (SDP), a class of matrix optimization problems analogous to linear programs but involving the positive semidefinite cone.
Linear programs are inherently polyhedral, so our main development follows directly from the polyhedrality section (Section 5.1). But to begin, we sketch an alternative development directly from the Farkas lemma (2.2.7). Given vectors $a^{1}, a^{2}, \ldots, a^{m}$, and $c$ in $\mathbf{R}^{n}$ and a vector $b$ in $\mathbf{R}^{m}$, consider the primal linear program
$$
\left.\begin{array}{rl}
& \inf \\
\text { subject to } \quad\left\langle a^{i}, x\right\rangle-b_{i} & \leq 0 \text { for } i=1,2, \ldots, m \\
x & \in \mathbf{R}^{n} .
\end{array}\right\}
$$
数学代考|凸分析作业代写Convex Analysis代考|Convex Process Duality
In this section we introduce the idea of a “closed convex process”. These are set-valued maps whose graphs are closed convex cones. As such, they provide a powerful unifying formulation for the study of linear maps, convex cones, and linear programming. The exercises show the elegance of this approach in a range of applications.
Throughout this section we fix a Euclidean space Y. For clarity, we denote the closed unit balls in $\mathbf{E}$ and $\mathbf{Y}$ by $B_{\mathbf{E}}$ and $B_{\mathbf{Y}}$, respectively. A multifunction (or set-valued map) $\Phi: \mathbf{E} \rightarrow \mathbf{Y}$ is a map from $\mathbf{E}$ to the set of subsets of Y. The domain of $\Phi$ is the set
$$
D(\Phi)=\{x \in \mathbf{E} \mid \Phi(x) \neq \emptyset\}
$$
We say $\Phi$ has nonempty images if its domain is $\mathbf{E}$. For any subset $C$ of E we write $\Phi(C)$ for the image $\cup_{x \in C} \Phi(x)$, and the range of $\Phi$ is the set $R(\Phi)=\Phi(\mathbf{E})$. We say $\Phi$ is surjective if its range is $\mathbf{Y}$. The graph of $\Phi$ is the set
$$
G(\Phi)=\{(x, y) \in \mathbf{E} \times \mathbf{Y} \mid y \in \Phi(x)\}
$$
and we define the inverse multifunction $\Phi^{-1}: \mathbf{Y} \rightarrow \mathbf{E}$ by the relationship $x \in \Phi^{-1}(y) \Leftrightarrow y \in \Phi(x)$ for $x$ in $\mathbf{E}$ and $y$ in $\mathbf{Y} .$
数学代考|凸分析作业代写CONVEX ANALYSIS代考|POLYHEDRAL CONVEX SETS AND FUNCTIONS
在我们前面关于替代定理的部分小号和C吨一世这n2.2，我们观察到有限生成的锥体是闭合的。值得注意的是，有限线性代数假设导致拓扑结论。在本节中，我们在凸分析中探讨此类假设的后果。
有两种自然的方法可以对我们考虑的集合和函数施加有限线性结构。我们已经看到的第一个：“多面体”这rp这一世是H和dr一种一世s和吨是闭半空间的有限交集和, 我们说一个函数F:和→[−∞,+∞]是多面体，如果它的题词是多面体的。另一方面，多面体是有限子集的凸包和, 我们称一个子集为和如果它是一个多面体和一个有限生成的圆锥的和，则它是有限生成的一世n吨H和s和ns和这FF这r米你一世一种(2.2.11）。请注意，我们还不知道在这个意义上是有限生成集的圆锥是否在(2.2.11); 我们稍后会在本节中回到这一点。功能F如果它的题词是有限生成的，则它是有限生成的。本节的一个中心结果是多面体和有限生成集实际上是重合的。
我们从以下两个结果中收集的一些简单观察开始。
数学代考|凸分析作业代写CONVEX ANALYSIS代考|FUNCTIONS OF EIGENVALUES
Fenchel 共轭为经典矩阵分析中的许多特征值不等式提供了一条简洁而优美的途径。在本节中，我们概述了这种方法。
两个圆锥R+n和小号+n在应用程序中重复出现，相应的对数障碍也是如此一世b和 ld，我们在 3.3 节中定义。我们可以使用第 1.2 节的符号，通过恒等式将向量和矩阵的例子联系起来
d小号+n=dR+n∘λ 和 一世d=一世b∘λ.
我们在本节中看到，这些身份属于更广泛的模式。
调用函数[⋅]:Rn→Rn将组件重新排列为非递增顺序。我们说一个函数F在Rn是对称的，如果F(X)=F([X])对于所有向量X在Rn; 换句话说，置换组件不会改变函数值。我们将对称矩阵的特征值的对称函数称为谱函数。以下公式至关重要。
数学代考|凸分析作业代写CONVEX ANALYSIS代考|DUALITY FOR LINEAR AND SEMIDEFINITE PROGRAMMING
线性规划大号磷是研究涉及受线性约束的线性目标函数的优化问题。这个简单的优化模型在理论和实践中都被证明是非常强大的，因此我们在本节中专门从凸分析的角度推导线性规划对偶理论。我们将此理论与半定规划的相应结果进行对比小号D磷，一类类似于线性规划但涉及正半定锥的矩阵优化问题。
线性规划本质上是多面体，所以我们的主要发展直接来自多面体部分小号和C吨一世这n5.1. 但首先，我们直接从 Farkas 引理勾勒出一个替代发展2.2.7. 给定向量一种1,一种2,…,一种米， 和C在Rn和一个向量b在R米，考虑原始线性程序
信息 受制于 ⟨一种一世,X⟩−b一世≤0 为了 一世=1,2,…,米X∈Rn.}
数学代考|凸分析作业代写CONVEX ANALYSIS代考|CONVEX PROCESS DUALITY
在本节中，我们介绍“闭凸过程”的概念。这些是集值映射，其图形是封闭的凸锥。因此，它们为线性映射、凸锥和线性规划的研究提供了强大的统一公式。这些练习展示了这种方法在一系列应用中的优雅之处。
在本节中，我们固定一个欧几里得空间 Y。为清楚起见，我们将封闭单位球表示为和和是经过乙和和乙是， 分别。多功能这rs和吨−v一种一世你和d米一种p 披:和→是是一张来自的地图和到 Y 的子集的集合。披是集合
D(披)={X∈和∣披(X)≠∅}
我们说披如果其域是，则具有非空图像和. 对于任何子集C我们写的 E披(C)对于图像∪X∈C披(X), 和范围披是集合R(披)=披(和). 我们说披是满射的，如果它的范围是是. 的图表披是集合
G(披)={(X,是)∈和×是∣是∈披(X)}
我们定义逆多功能披−1:是→和由关系X∈披−1(是)⇔是∈披(X)为了X在和和是在是.
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