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The algebraic eigenvalue problem is as follows: Given a matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$, find a nonzero vector $x \in \mathbb{R}^{n}$ and the scalar $\lambda$ such that
$$
A x=\lambda x .
$$
Note that this says that the vector $A x$ is parallel to $x$, with $\lambda$ being an amplification factor, or gain. Note also that the above implies that
$$
(A-\lambda I) x=0,
$$
showing (by Theorem 7.1) that $A-\lambda I$ is a singular matrix. Hence, $\operatorname{det}(A-\lambda I)=0$; it is easy to show that this determinant is a polynomial (of degree $n$ ) in $\lambda$, known as the characteristic polynomial of $A, p(\lambda)$, so that the eigenvalues are the roots of a polynomial. Although this is not a good way to compute the eigenvalues, it does give us some insight into their properties. Thus, we know that an $n \times n$ matrix has $n$ eigenvalues, that the eigenvalues can be repeated, and that a real matrix can have complex eigenvalues, but these must occur in conjugate pairs. We summarize these and a number of other basic eigenvalue properties in the following theorem, presented without proof.

Theorem 8.1 (Basic Eigenvalue Properties) Let $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ be given. Then we have the following:

1. There are exactly $n$ eigenvalues, counting multiplicities; complex eigenvalues will occur in conjugate pairs.
2. Eigenvectors corresponding to distinct eigenvalues are independent.
3. If an $n \times n$ matrix $A$ has $n$ independent eigenvectors, then there exists a nonsingular matrix $P$ such that $P^{-1} A P=D$ is diagonal and $A$ is called diagonalizable. Moreover, the columns of $P$ are the eigenvectors of $A$ and the elements $d_{i i}=\lambda_{i}$ are the eigenvalues of $A$.
4. If $A$ is symmetric $\left(A=A^{T}\right)$, then the eigenvalues are real and we can choose the eigenvectors to be real and orthogonal.
5. If $A$ is symmetric, then there is an orthogonal matrix ${ }^{1} Q$ such that $Q^{T} A Q=D$ is diagonal, where the elements $d_{i i}=\lambda_{i}$ are the eigenvalues of $A$.
6. If $A$ is triangular, then the eigenvalues are the diagonal elements, $\lambda_{i}=a_{i i}$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|REDUCTION TO HESSENBERG FORM

Since the computation of eigenvalues is equivalent to finding the roots of a polynomial, it follows that for $n \geq 5$ there will be no general algorithm that works in a finite number of steps. $^{3}$ Accordingly, we expect an eigenvalue solver to be an inherently iterative process, that is, one that recursively computes better and better approximations. For this reason, it is usually more efficient to pre-process the matrix by making as much of a reduction as possible in a finite number of steps. This leads us to the notion of the Hessenberg form of a matrix.

Definition 8.1 (Hessenberg Form) A matrix $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ is in Hessenberg form if $a_{i j}=0$ for all $i, j$ such that $i-j>1$.
Thus, the matrix
$$
A=\left[\begin{array}{llll}
1 & 2 & 3 & 4 \
5 & 6 & 7 & 8 \
0 & 9 & 8 & 7 \
0 & 0 & 6 & 5
\end{array}\right]
$$
is in Hessenberg form. Note that one way to characterize Hessenberg form is that it is “almost” triangular. This is important, since the eigenvalues of a triangular matrix are the diagonal elements. Note, also, that a symmetric Hessenberg matrix is tridiagonal.
The important result, then, is the following.
Theorem 8.3 Let $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ be given. Then there exists $A_{H} \in \mathbb{R}^{n \times n}$, Hessenberg, which can be computed from $A$ in a finite number of steps and that has the same eigenvalues as $A$.

Proof: The proof is constructive, but somewhat involved, and depends heavily on a preliminary result.
Claim: For any vector $x \in \mathbb{R}^{n}$, there exists an orthogonal matrix $Q$ such that $Q x=|x|_{2} e_{1}$, where $e_{1}$ is the first standard basis vector.

We will prove this claim after the main proof of the theorem. What we will do to prove the theorem is use the claim to construct a matrix $P$ such that $B=P A P^{-1}$ is in Hessenberg form. This means that $A$ and $B$ have the same eigenvalues (by virtue of similarity) and we will be done.

数值分析代写

数学代写|数值分析代写NUMERICAL ANALYSIS代考|EIGENVALUE REVIEW

代数特征值问题如下： 给定一个矩阵一种∈Rn×n, 找到一个非零向量X∈Rn和标量λ这样
一种X=λX.
请注意，这表示向量一种X平行于X， 和λ作为放大因子或增益。另请注意，以上暗示
(一种−λ一世)X=0,
显示b是吨H和这r和米7.1那一种−λ一世是奇异矩阵。因此，这⁡(一种−λ一世)=0; 很容易证明这个行列式是一个多项式这Fd和Gr和和$n$在λ，称为的特征多项式一种,p(λ), 使得特征值是多项式的根。虽然这不是计算特征值的好方法，但它确实让我们对它们的属性有了一些了解。因此，我们知道一个n×n矩阵有n特征值，特征值可以重复，实矩阵可以有复特征值，但这些必须以共轭对的形式出现。我们在以下定理中总结了这些和许多其他基本特征值属性，但没有证明。

定理 8.1乙一种s一世C和一世G和n在一种l在和磷r这p和r吨一世和s让一种∈Rn×n被给予。然后我们有以下内容：

1. 正好有n特征值，计算多重性；复特征值将出现在共轭对中。
2. 对应于不同特征值的特征向量是独立的。
3. 如果n×n矩阵一种拥有n独立特征向量，则存在一个非奇异矩阵磷这样磷−1一种磷=D是对角线并且一种称为可对角化。此外，列磷是的特征向量一种和元素d一世一世=λ一世是的特征值一种.
4. 如果一种是对称的(一种=一种吨)，则特征值是实数，我们可以选择特征向量是实数且正交的。
5. 如果一种是对称的，那么有一个正交矩阵1问这样问吨一种问=D是对角线，其中元素d一世一世=λ一世是的特征值一种.
6. 如果一种是三角形的，则特征值是对角线元素，λ一世=一种一世一世.

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由于特征值的计算等价于求多项式的根，因此对于n≥5没有通用算法可以在有限的步骤中工作。3因此，我们期望特征值求解器是一个固有的迭代过程，即递归计算越来越好的近似值的过程。出于这个原因，通过在有限数量的步骤中尽可能多地减少矩阵来预处理矩阵通常更有效。这将我们引向矩阵的 Hessenberg 形式的概念。

定义 8.1H和ss和nb和rGF这r米矩阵一种∈Rn×n是 Hessenberg 形式，如果一种一世j=0对全部一世,j这样一世−j>1.
因此，矩阵
一种=[1234 5678 0987 0065]
是 Hessenberg 形式。请注意，表征 Hessenberg 形式的一种方法是它“几乎”是三角形的。这很重要，因为三角矩阵的特征值是对角线元素。另请注意，对称 Hessenberg 矩阵是三对角矩阵。
那么，重要的结果如下。
定理 8.3 让一种∈Rn×n被给予。那么存在一种H∈Rn×n, Hessenberg, 可以从一种在有限数量的步骤中，并且具有相同的特征值一种.

证明：证明是建设性的，但有些复杂，并且在很大程度上取决于初步结果。
声明：对于任何向量X∈Rn, 存在一个正交矩阵问这样问X=|X|2和1， 在哪里和1是第一个标准基向量。

我们将在定理的主要证明之后证明这个主张。我们将要做的证明定理是使用声明来构造一个矩阵磷这样乙=磷一种磷−1是 Hessenberg 形式。这意味着一种和乙具有相同的特征值b是在一世r吨在和这Fs一世米一世l一种r一世吨是我们会完成的。

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