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数学代写|matlab代写|Interpolation and Curve Fitting

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数学代写|matlab代写|Interpolation and Curve Fitting

数学代写|matlab代写|Introduction

Discrete data sets, or tables of the form
\begin{tabular}{|l|l|l|l|l|}
\hline$x_{1}$ & $x_{2}$ & $x_{3}$ & $\cdots$ & $x_{n}$ \
\hline$y_{1}$ & $y_{2}$ & $y_{3}$ & $\cdots$ & $y_{n}$ \
\hline
\end{tabular}
are commonly involved in technical calculations. The source of the data may be experimental observations or numerical computations. There is a distinction between interpolation and curve fitting. In interpolation we construct a curve through the data points. In doing so, we make the implicit assumption that the data points are accurate and distinct. Curve fitting is applied to data that contain scatter (noise), usually due to measurement errors. Here we want to find a smooth curve that approximates the data in some sense. Thus the curve does not have to hit the data points. This difference between interpolation and curve fitting is illustrated in Fig. 3.1.

数学代写|matlab代写|Polynomial Interpolation

Lagrange’s Method
The simplest form of an interpolant is a polynomial. It is always possible to construct a unique polynomial $P_{n-1}(x)$ of degree $n-1$ that passes through $n$ distinct data points.

One means of obtaining this polynomial is the formula of Lagrange
$$
P_{n-1}(x)=\sum_{i=1}^{n} y_{i} \ell_{i}(x)
$$
where
$$
\begin{aligned}
\ell_{i}(x) &=\frac{x-x_{1}}{x_{i}-x_{1}} \cdot \frac{x-x_{2}}{x_{i}-x_{2}} \cdots \frac{x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}} \cdot \frac{x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}} \cdots \frac{x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}} \
&=\prod_{\substack{j=1 \
j \neq i}}^{n} \frac{x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}, \quad i=1,2, \ldots, n
\end{aligned}
$$
are called the cardinal functions.
For example, if $n=2$, the interpolant is the straight line $P_{1}(x)=y_{1} \ell_{1}(x)+y_{2} \ell_{2}(x)$, where
$$
\ell_{1}(x)=\frac{x-x_{2}}{x_{1}-x_{2}} \quad \ell_{2}(x)=\frac{x-x_{1}}{x_{2}-x_{1}}
$$
With $n=3$, interpolation is parabolic: $P_{2}(x)=y_{1} \ell_{1}(x)+y_{2} \ell_{2}(x)+y_{3} \ell_{3}(x)$, where now
$$
\begin{aligned}
&\ell_{1}(x)=\frac{\left(x-x_{2}\right)\left(x-x_{3}\right)}{\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)} \
&\ell_{2}(x)=\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{3}\right)}{\left(x_{2}-x_{1}\right)\left(x_{2}-x_{3}\right)} \
&\ell_{3}(x)=\frac{\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right)}{\left(x_{3}-x_{1}\right)\left(x_{3}-x_{2}\right)}
\end{aligned}
$$
The cardinal functions are polynomials of degree $n-1$ and have the property
$$
\ell_{i}\left(x_{j}\right)=\left{\begin{array}{ll}
0 & \text { if } i \neq j \
1 & \text { if } i=j
\end{array}\right}=\delta_{i j}
$$
where $\delta_{i j}$ is the Kronecker delta. This property is illustrated in Fig. $3.2$ for three-point interpolation $(n=3)$ with $x_{1}=0, x_{2}=2$ and $x_{3}=3$.

数学代写|MATLAB代写|LU Decomposition Methods

It is possible to show that any square matrix A can be expressed as a product of a lower triangular matrix L and an upper triangular matrix $\mathbf{U}$ :
$$
\mathbf{A}=\mathbf{L U}
$$
The process of computing $\mathbf{L}$ and $\mathbf{U}$ for a given A is known as $L U$ decomposition or $L U$ factorization. LU decomposition is not unique (the combinations of $\mathbf{L}$ and $\mathbf{U}$ for a prescribed A are endless), unless certain constraints are placed on L or U. These constraints distinguish one type of decomposition from another. Three commonly used decompositions are listed in Table 2.2.
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline Name & Constraints \
\hline \hline Doolittle’s decomposition & $L_{i i}=1, \quad i=1,2, \ldots, n$ \
\hline Crout’s decomposition & $U_{i i}=1, \quad i=1,2, \ldots, n$ \
\hline Choleski’s decomposition & $\mathbf{L}=\mathbf{U}^{T}$ \
\hline
\end{tabular}
Table $2.2$
After decomposing $\mathbf{A}$, it is easy to solve the equations $\mathbf{A x}=\mathbf{b}$, as pointed out in Art. 2.1. We first rewrite the equations as $\mathbf{L U x}=\mathbf{b}$. Upon using the notation $\mathbf{U x}=\mathbf{y}$, the equations become
$$
\text { Ly }=\mathbf{b}
$$

数学代写|matlab代写|Interpolation and Curve Fitting

matlab代写

数学代写|MATLAB代写|INTRODUCTION

离散数据集或表格
\begin{表格}{|l|l|l|l|l|} \hline$x_{1}$ & $x_{2}$ & $x_{3}$ & $\cdots$ & $x_{n }$ \ \hline$y_{1}$ & $y_{2}$ & $y_{3}$ & $\cdots$ & $y_{n}$ \ \hline \end{表格}\begin{表格}{|l|l|l|l|l|} \hline$x_{1}$ & $x_{2}$ & $x_{3}$ & $\cdots$ & $x_{n }$ \ \hline$y_{1}$ & $y_{2}$ & $y_{3}$ & $\cdots$ & $y_{n}$ \ \hline \end{表格}
通常涉及技术计算。数据的来源可能是实验观察或数值计算。插值和曲线拟合之间存在区别。在插值中,我们通过数据点构建一条曲线。在这样做的过程中,我们隐含地假设数据点是准确和不同的。曲线拟合适用于包含散点图的数据n这一世s和,通常是由于测量误差。在这里,我们希望找到一条在某种意义上近似于数据的平滑曲线。因此曲线不必触及数据点。插值和曲线拟合之间的差异如图 3.1 所示。

数学代写|MATLAB代写|POLYNOMIAL INTERPOLATION

拉格朗日方法
最简单的插值形式是多项式。总是可以构造一个唯一的多项式磷n−1(X)学位n−1穿过n不同的数据点。

获得该多项式的一种方法是拉格朗日公式
磷n−1(X)=∑一世=1n是一世ℓ一世(X)
在哪里
ℓ一世(X)=X−X1X一世−X1⋅X−X2X一世−X2⋯X−X一世−1X一世−X一世−1⋅X−X一世+1X一世−X一世+1⋯X−XnX一世−Xn =∏j=1 j≠一世nX−XjX一世−Xj,一世=1,2,…,n
称为基函数。
例如,如果n=2, 插值是直线磷1(X)=是1ℓ1(X)+是2ℓ2(X), 在哪里
ℓ1(X)=X−X2X1−X2ℓ2(X)=X−X1X2−X1
和n=3,插值是抛物线的:磷2(X)=是1ℓ1(X)+是2ℓ2(X)+是3ℓ3(X), 现在在哪里
ℓ1(X)=(X−X2)(X−X3)(X1−X2)(X1−X3) ℓ2(X)=(X−X1)(X−X3)(X2−X1)(X2−X3) ℓ3(X)=(X−X1)(X−X2)(X3−X1)(X3−X2)
基函数是次数多项式n−1并拥有财产
\ell_{i}\left(x_{j}\right)=\left{\begin{array}{ll} 0 & \text { if } i \neq j \ 1 & \text { if } i=j \结束{数组}\right}=\delta_{i j}\ell_{i}\left(x_{j}\right)=\left{\begin{array}{ll} 0 & \text { if } i \neq j \ 1 & \text { if } i=j \结束{数组}\right}=\delta_{i j}
在哪里d一世j是克罗内克三角洲。该属性如图所示。3.2用于三点插值(n=3)和X1=0,X2=2和X3=3.

数学代写|MATLAB代写|LU DECOMPOSITION METHODS

可以证明,任何方阵 A 都可以表示为下三角矩阵 L 和上三角矩阵的乘积在 :
一种=大号在
计算过程大号和在对于给定的 A 称为大号在分解或大号在因式分解。LU分解不是唯一的吨H和C这米b一世n一种吨一世这ns这F$大号$一种nd$在$F这r一种pr和sCr一世b和d一种一种r和和ndl和ss,除非对 L 或 U 施加了某些约束。这些约束将一种分解类型与另一种分解类型区分开来。表 2.2 列出了三种常用的分解方法。
\begin{tabular}{|l|l|} \hline Name & Constraints \ \hline \hline Doolittle 的分解 & $L_{i i}=1, \quad i=1,2, \ldots, n$ \ \hline Crout’s分解 & $U_{i i}=1, \quad i=1,2, \ldots, n$ \ \hline Choleski 分解 & $\mathbf{L}=\mathbf{U}^{T}$ \ \hline \结束{表格}\begin{tabular}{|l|l|} \hline Name & Constraints \ \hline \hline Doolittle 的分解 & $L_{i i}=1, \quad i=1,2, \ldots, n$ \ \hline Crout’s分解 & $U_{i i}=1, \quad i=1,2, \ldots, n$ \ \hline Choleski 分解 & $\mathbf{L}=\mathbf{U}^{T}$ \ \hline \结束{表格}
桌子2.2
分解后一种, 很容易解方程一种X=b,正如艺术中指出的那样。2.1。我们首先将方程改写为大号在X=b. 使用符号时在X=是,方程变为

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