统计代写|多元统计分析作业代写Multivariate Statistical Analysis代考|Theory of the Multinormal

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统计代写|多元统计分析作业代写Multivariate Statistical Analysis代考|Theory of the Multinormal

统计代写|多元统计分析作业代写Multivariate Statistical Analysis代考|Elementary Properties of the Multinormal

Let us first summarize some properties which were already derived in the previous chapter.
The pdf of $X \sim N_{p}(\mu, \Sigma)$ is
$$
f(x)=|2 \pi \Sigma|^{-1 / 2} \exp \left{-\frac{1}{2}(x-\mu)^{\top} \Sigma^{-1}(x-\mu)\right} .
$$
The expectation is $E(X)=\mu$, the covariance can be calculated as $\operatorname{Var}(X)=$ $E(X-\mu)(X-\mu)^{\top}=\Sigma$.

Linear transformations turn normal random variables into normal random variables. If $X \sim N_{p}(\mu, \Sigma)$ and $\mathcal{A}(p \times p), c \in \mathbb{R}^{p}$, then $Y=\mathcal{A} X+c$ is $p$-variate Normal, i.e.,
$$
Y \sim N_{p}\left(\mathcal{A} \mu+c, \mathcal{A} \Sigma \mathcal{A}^{\top}\right) .
$$
If $X \sim N_{p}(\mu, \Sigma)$, then the Mahalanobis transformation is
$$
Y=\Sigma^{-1 / 2}(X-\mu) \sim N_{p}\left(0, \mathcal{I}{p}\right) $$ and it holds that $$ Y^{\top} Y=(X-\mu)^{\top} \Sigma^{-1}(X-\mu) \sim \chi{p}^{2} .
$$
Often it is interesting to partition $X$ into sub-vectors $X_{1}$ and $X_{2}$. The following theorem tells us how to correct $X_{2}$ to obtain a vector which is independent of $X_{1}$.

THEOREM 5.1 Let $X=\left(\begin{array}{l}X_{1} \ X_{2}\end{array}\right) \sim N_{p}(\mu, \Sigma), X_{1} \in \mathbb{R}^{r}, X_{2} \in \mathbb{R}^{p-r}$. Define $X_{2.1}=X_{2}-$ $\Sigma_{21} \Sigma_{11}^{-1} X_{1}$ from the partitioned covariance matrix
$$
\Sigma=\left(\begin{array}{cc}
\Sigma_{11} & \Sigma_{12} \
\Sigma_{21} & \Sigma_{22}
\end{array}\right) .
$$

统计代写|多元统计分析作业代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Wishart Distribution

The Wishart distribution (named after its discoverer) plays a prominent role in the analysis of estimated covariance matrices. If the mean of $X \sim N_{p}(\mu, \Sigma)$ is known to be $\mu=0$, then for a data matrix $\mathcal{X}(n \times p)$ the estimated covariance matrix is proportional to $\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}$. This is the point where the Wishart distribution comes in, because $\mathcal{M}(p \times p)=\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}=\sum_{i=1}^{n} x_{i} x_{i}^{\top}$ has a Wishart distribution $W_{p}(\Sigma, n)$.
EXAMPLE 5.4 Set $p=1$, then for $X \sim N_{1}\left(0, \sigma^{2}\right)$ the data matrix of the observations
$$
\mathcal{X}=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right)^{\top} \quad \text { with } \quad \mathcal{M}=\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}=\sum_{i=1}^{n} x_{i} x_{i}
$$
leads to the Wishart distribution $W_{1}\left(\sigma^{2}, n\right)=\sigma^{2} \chi_{n}^{2}$. The one-dimensional Wishart distribution is thus in fact a $\chi^{2}$ distribution.

When we talk about the distribution of a matrix, we mean of course the joint distribution of all its elements. More exactly: since $\mathcal{M}=\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}$ is symmetric we only need to consider the elements of the lower triangular matrix
$$
\mathcal{M}=\left(\begin{array}{cccc}
m_{11} & & & \
m_{21} & m_{22} & & \
\vdots & \vdots & \ddots & \
m_{p 1} & m_{p 2} & \ldots & m_{p p}
\end{array}\right) .
$$
Hence the Wishart distribution is defined by the distribution of the vector
$$
\left(m_{11}, \ldots, m_{p 1}, m_{22}, \ldots, m_{p 2}, \ldots, m_{p p}\right)^{\top} .
$$
Linear transformations of the data matrix $\mathcal{X}$ also lead to Wishart matrices.

统计代写|多元统计分析作业代写MULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS代考|Hotelling’s T2-Distribution

Suppose that $Y \in \mathbb{R}^{p}$ is a standard normal random vector, i.e., $Y \sim N_{p}(0, \mathcal{I})$, independent of the random matrix $\mathcal{M} \sim W_{p}(\mathcal{I}, n)$. What is the distribution of $Y^{\top} \mathcal{M}^{-1} Y$ ? The answer is provided by the Hotelling $T^{2}$-distribution: $n Y^{\top} \mathcal{M}^{-1} Y$ is Hotelling $T^{2}(p, n)$ distributed.

The Hotelling $T^{2}$-distribution is a generalization of the Student $t$-distribution. The general multinormal distribution $N(\mu, \Sigma)$ is considered in Theorem 5.8. The Hotelling $T^{2}$ distribution will play a central role in hypothesis testing in Chapter 7 .
THEOREM 5.8 If $X \sim N_{p}(\mu, \Sigma)$ is independent of $\mathcal{M} \sim W_{p}(\Sigma, n)$, then
$$
n(X-\mu)^{\top} \mathcal{M}^{-1}(X-\mu) \sim T^{2}(p, n) .
$$
COROLLARY $5.3$ If $\bar{x}$ is the mean of a sample drawn from a normal population $N_{p}(\mu, \Sigma)$ and $\mathcal{S}$ is the sample covariance matrix, then
$$
(n-1)(\bar{x}-\mu)^{\top} \mathcal{S}^{-1}(\bar{x}-\mu)=n(\bar{x}-\mu)^{\top} \mathcal{S}{u}^{-1}(\bar{x}-\mu) \sim T^{2}(p, n-1) . $$ Recall that $\mathcal{S}{u}=\frac{n}{n-1} \mathcal{S}$ is an unbiased estimator of the covariance matrix. A connection between the Hotelling $T^{2}$-and the $F$-distribution is given by the next theorem.

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多元统计分析代写

统计代写|多元统计分析作业代写MULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS代考|ELEMENTARY PROPERTIES OF THE MULTINORMAL

让我们首先总结一些在前一章已经推导出来的性质。
的pdfX∼ñp(μ,Σ)是
f(x)=|2 \pi \Sigma|^{-1 / 2} \exp \left{-\frac{1}{2}(x-\mu)^{\top} \Sigma^{-1 }(x-\mu)\right} 。f(x)=|2 \pi \Sigma|^{-1 / 2} \exp \left{-\frac{1}{2}(x-\mu)^{\top} \Sigma^{-1 }(x-\mu)\right} 。
期望是和(X)=μ,协方差可以计算为曾是⁡(X)= 和(X−μ)(X−μ)⊤=Σ.

线性变换将正态随机变量转换为正态随机变量。如果X∼ñp(μ,Σ)和一种(p×p),C∈Rp, 然后是=一种X+C是p- 变正态,即,
是∼ñp(一种μ+C,一种Σ一种⊤).
如果X∼ñp(μ,Σ),则马氏变换为
$$
Y=\Sigma^{-1 / 2}X−μ\sim N_{p}\left(0, \mathcal{I} {p}\right)一种nd一世吨H这lds吨H一种吨Y^{\top} Y=X−μ^{\top} \Sigma^{-1}X−μ\sim \chi {p}^{2} 。
$$
通常分区很有趣X成子向量X1和X2. 下面的定理告诉我们如何纠正X2获得一个独立于的向量X1.

定理 5.1 让X=(X1 X2)∼ñp(μ,Σ),X1∈Rr,X2∈Rp−r. 定义X2.1=X2− Σ21Σ11−1X1从分区协方差矩阵
Σ=(Σ11Σ12 Σ21Σ22).

统计代写|多元统计分析作业代写MULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS代考|THE WISHART DISTRIBUTION

Wishart 分布n一种米和d一种F吨和r一世吨sd一世sC这在和r和r在估计协方差矩阵的分析中起着重要作用。如果平均值X∼ñp(μ,Σ)已知是μ=0,那么对于一个数据矩阵X(n×p)估计的协方差矩阵与X⊤X. 这就是 Wishart 分布的用武之地,因为米(p×p)=X⊤X=∑一世=1nX一世X一世⊤有一个 Wishart 分布在p(Σ,n).
例 5.4 设置p=1,那么对于X∼ñ1(0,σ2)观察的数据矩阵
X=(X1,…,Xn)⊤ 和 米=X⊤X=∑一世=1nX一世X一世
导致 Wishart 分布在1(σ2,n)=σ2χn2. 因此,一维 Wishart 分布实际上是χ2分配。

当我们谈论矩阵的分布时,我们当然指的是其所有元素的联合分布。更准确地说:因为米=X⊤X是对称的,我们只需要考虑下三角矩阵的元素
米=(米11 米21米22 ⋮⋮⋱ 米p1米p2…米pp).
因此,Wishart 分布由向量的分布定义
(米11,…,米p1,米22,…,米p2,…,米pp)⊤.
数据矩阵的线性变换X也导致 Wishart 矩阵。

统计代写|多元统计分析作业代写MULTIVARIATE STATISTICAL ANALYSIS代考|HOTELLING’S T2-DISTRIBUTION

假设是∈Rp是标准正态随机向量,即是∼ñp(0,一世),独立于随机矩阵米∼在p(一世,n). 什么是分布是⊤米−1是? 答案由Hotelling提供吨2-分配:n是⊤米−1是是霍特林吨2(p,n)分散式。

霍特林吨2-分布是学生的概括吨-分配。一般多正态分布ñ(μ,Σ)在定理 5.8 中考虑。霍特林吨2分布将在第 7 章的假设检验中发挥核心作用。
定理 5.8 如果X∼ñp(μ,Σ)独立于米∼在p(Σ,n), 然后
n(X−μ)⊤米−1(X−μ)∼吨2(p,n).
推论5.3如果X¯是从正常人群中抽取的样本的平均值ñp(μ,Σ)和小号是样本协方差矩阵,则
$$
n(X-\mu)^{\top} \mathcal{M}^{-1}(X-\mu) \sim T^{2}(p, n) .
$$
COROLLARY $5.3$ If $\bar{x}$ is the mean of a sample drawn from a normal population $N_{p}(\mu, \Sigma)$ and $\mathcal{S}$ is the sample covariance matrix, then
$$
(n-1)(\bar{x}-\mu)^{\top} \mathcal{S}^{-1}(\bar{x}-\mu)=n(\bar{x}-\mu)^{\top} \mathcal{S}{u}^{-1}(\bar{x}-\mu) \sim T^{2}(p, n-1) . $$ Recall that $\mathcal{S}{u}=\frac{n}{n-1} \分布由下一个定理给出。

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