如果你也在 怎样代写曲线和曲面Curves And Surfaces MM512这个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。曲线和曲面Curves And Surfaces是指在一个平面上平滑地画出的线条，其中有一个弯曲或转弯。面是物体的一个平面或区域。曲线是一维的。一个表面是二维的。测量曲面上某一点的高斯曲率的一个方法是，在曲面上取一个半径为r的小圆，圆心在该点，计算圆的周长或面积。
曲线和曲面Curves And Surfaces在数学中，曲线（在较早的文本中也称为曲线）是一种类似于直线的物体，但它不一定是直线。直观地说，曲线可以被认为是一个移动的点所留下的痕迹。这是2000多年前出现在欧几里德《元素》中的定义。”[弯曲的]线[a]是[……]第一种量，它只有一个维度，即长度，没有任何宽度或深度，而且无非是点的流动或运行，[……]将从其假想的移动中留下一些长度上的痕迹，免除任何宽度。”
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数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|How to define a surface
As we did for curves, we begin by discussing the question of the correct definition of what a surface is. Our experience from the one-dimensional case suggests two possible approaches: we might define surfaces as subsets of the space with some properties, or we can define them as maps from an open subset of the plane to the space, satisfying suitable regularity properties.
Working with curves we preferred this second approach, since the existence of parameterizations by arc length allowed us to directly relate the geometric properties of the support of the curve with the differential properties of the curve itself.
As we shall see, in the case of surfaces the situation is significantly more complex. The approach that emphasizes maps will be useful to study local questions; but from a global viewpoint it will be more effective to privilege the other approach.
But let us not disclose too much too soon. Let us instead start by introducing the obvious generalization of the notion of a regular curve:
Definition 3.1.1. An immersed (or parametrized) surface in space is a map $\varphi: U \rightarrow \mathbb{R}^3$ of class $C^{\infty}$, where $U \subseteq \mathbb{R}^2$ is an open set, such that the differential d $\varphi_x: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ is injective (that is, has rank 2) in every point $x \in U$. The image $\varphi(U)$ of $\varphi$ is the support of the immersed surface.
Remark 3.1.2. For reasons that will become clear in Section $3.4$ (see Remark 3.4.20), when studying surfaces we shall only use $C^{\infty}$ maps, and we shall not discuss lower regularity issues.
Remark 3.1.3. The differential $\mathrm{d} \varphi_x$ of $\varphi=\left(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\right)$ in $x \in U$ is represented by the Jacobian matrix
$$
\operatorname{Jac} \varphi(x)=\left|\begin{array}{ll}
\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_2}(x) \
\frac{\partial \varphi_2}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_2}(x) \
\frac{\partial \varphi_3}{\partial x_1}(x) & \frac{\partial \varphi_3}{\partial x_2}(x)
\end{array}\right| \in M_{3,2}(\mathbb{R})
$$
As for curves, in this definition the emphasis is on the map rather than on its image. Moreover, we are not asking for the immersed surfaces to be a homeomorphism with their images or to be injective (see Example 3.1.6); both these properties are nevertheless locally true. To prove this, we need a lemma, somewhat technical but extremely useful.
数学代写|曲线和曲面代写Curves And Surfaces代考|Smooth functions
Local parametrizations are the tool that allows us to give concrete form to the idea that a surface locally resembles an open subset of the plane; let us see how to use them to determine when a function defined on a surface is smooth.
Definition 3.2.1. Let $S \subset \mathbb{R}^3$ be a surface, and $p \in S$. A function $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ is of class $C^{\infty}$ (or smooth) at $p$ if there exists a local parametrization $\varphi: U \rightarrow S$ at $p$ such that $f \circ \varphi: U \rightarrow \mathbb{R}$ is of class $C^{\infty}$ in a neighborhood of $\varphi^{-1}(p)$. We shall say that $f$ is of class $C^{\infty}$ (or smooth) if it is so at every point. The space of $C^{\infty}$ functions on $S$ will be denoted by $C^{\infty}(S)$.
Remark 3.2.2. A smooth function $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ is automatically continuous. Indeed, let $I \subseteq \mathbb{R}$ be an open interval, and $p \in f^{-1}(I)$. By assumption, there is a local parametrization $\varphi: U \rightarrow S$ at $p$ such that $f \circ \varphi$ is of class $C^{\infty}$ (and thus continuous) in a neighborhood of $\varphi^{-1}(p)$. Then $(f \circ \varphi)^{-1}(I)=\varphi^{-1}\left(f^{-1}(I)\right)$ is a neighborhood of $\varphi^{-1}(p)$. But $\varphi$ is a homeomorphism with its image; so $f^{-1}(I)$ has to be a neighborhood of $\varphi\left(\varphi^{-1}(p)\right)=p$. Since $p$ was arbitrary, it follows that $f^{-1}(I)$ is open in $S$, and so $f$ is continuous.
A possible problem with this definition is that it might depend on the particular local parametrization we have chosen: a priori, there might be another local parametrization $\psi$ at $p$ such that $f \circ \psi$ is not smooth in $\psi^{-1}(p)$. Luckily, the following theorem implies that this cannot happen.
曲线和曲面代写
数学代写曲线和曲面代写CURVES AND SURFACES代考|HOW TO DEFINE A SURFACE
正如我们对曲线所做的那样，我们首先讨论曲面的正确定义问题。我们从一维案例中获得的经验表明了两种可能的方法：我们可以将表面定义为具有某些属性的空 间子集，或者我们可以将它们定义为从平面的开放子集到空间的映射，满足适当的规律性属性。
使用曲线我们更喜欢第二种方法，因为弧长参数化的存在使我们能够直接将曲线支撑的几何特性与曲线本身的微分特性联系起来。
正如我们将看到的，在曲面的情况下，情况要复杂得多。强调地图的方法将有助于研究当地问题；但从全球角度来看，优先考虑另一种方法会更有效。
但是，让我们不要过早透露太多。让我们从引入正则曲线概念的明显概括开始：
定义 3.1.1。一个沉浸式orparametrized空间表面是一张地图 $\varphi: U \rightarrow \mathbb{R}^3$ 类的 $C^{\infty}$ ，在哪里 $U \subseteq \mathbb{R}^2$ 是一个开集，使得微分 $\mathrm{d} \varphi_x: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^3$ 是内射的 thatis, hasrank2在每一点 $x \in U$. 图片 $\varphi(U)$ 的 $\varphi$ 是浸没表面的支嗱。
备注 3.1.2。原因将在第 $3.4$ seeRemark3.4.20，在研究曲面时，我们将只使用 $C^{\infty}$ 地图，我们将不讨论较低的规律性问题。
备注 3.1.3。差速器 $\mathrm{d} \varphi_x$ 的 $\varphi=\left(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3\right)$ 在 $x \in U$ 由雅可比矩阵表示
$$
\operatorname{Jac} \varphi(x)=\left|\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}(x) \quad \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_2}(x) \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_1}(x) \quad \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_2}(x) \frac{\partial \varphi_3}{\partial x_1}(x) \quad \frac{\partial \varphi_3}{\partial x_2}(x)\right| \in M_{3,2}(\mathbb{R})
$$
至于曲线，在这个定义中强调的是地图而不是它的图像。此外，我们并不要求浸入式表面与其图像同胚或内射 $s e e E x a m p l e 3.1 .6$; 然而，这两个属性在局部都是正 确的。为了证明这一点，我们需要一个引理，它有点技术性但非常有用。
数学代写|曲线和曲面代写CURVES AND SURFACES代 考|SMOOTH FUNCTIONS
局部参数化是一种工具，它使我们能够为表面局部类似于平面的开放子集的想法提供具体形式；让我们看看如何使用它们来确定定义在曲面上的函数何时是光滑 的。
定义 3.2.1。让 $S \subset \mathbb{R}^3$ 是一个表面，并且 $p \in S$.一个函数 $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ 是一流的 $C^{\infty}$ or $s m o o t h$ 在 $p$ 如果存在局部参数化 $\varphi: U \rightarrow S$ 在 $p$ 这样 $f \circ \varphi: U \rightarrow \mathbb{R}$ 是一流的 $C^{\infty}$ 在附近 $\varphi^{-1}(p)$. 我们会说 $f$ 是一流的 $C^{\infty}$ orsmooth如果在每一点都是这样。的空间 $C^{\infty}$ 上的功能 $S$ 将表示为 $C^{\infty}(S)$.
备注 3.2.2。平滑函数 $f: S \rightarrow \mathbb{R}$ 是目动连续的。确实，让 $I \subseteq \mathbb{R}$ 是一个开区间，并且 $p \in f^{-1}(I)$. 通过假设，存在局部参数化 $\varphi: U \rightarrow S$ 在 $p$ 这样 $f \circ \varphi$ 是一流的 $C^{\infty}$ andthuscontinuous在附近 $\varphi^{-1}(p)$. 然后 $(f \circ \varphi)^{-1}(I)=\varphi^{-1}\left(f^{-1}(I)\right)$ 是一个社区 $\varphi^{-1}(p)$. 但 $\varphi$ 是与其象的同胚; 所以 $f^{-1}(I)$ 必须是附近的 $\varphi\left(\varphi^{-1}(p)\right)=p$. 自从 $p$ 是任意的，因此 $f^{-1}(I)$ 开在 $S$ ，所以 $f$ 是连续的。
这个定义的一个可能问题是它可能取决于我们选择的特定局部参数化：先验，可能存在另一个同部参数化 $\psi$ 在 $p$ 这样 $f \circ \psi$ 不顺畅 $\psi{ }^{-1}(p)$. 幸运的是，以下定理暗示 这不可能发生。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
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线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
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现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。