如果你也在 怎样代写丢番图逼近Diophantine approximation MATH707个学科遇到相关的难题，请随时右上角联系我们的24/7代写客服。丢番图逼近Diophantine approximation在数论中，Diophantine近似的研究涉及到有理数对实数的近似。它是以亚历山大的狄奥潘图斯命名的。
丢番图逼近Diophantine approximation第一个问题是要知道一个实数能被有理数近似到什么程度。对于这个问题，如果一个有理数a/b被另一个分母较小的有理数取代，a/b和α之间的差的绝对值可能不会减少，那么这个有理数就是一个实数α的 “良好 “近似值。这个问题在18世纪通过延续分数的方法得到了解决。知道了给定数的 “最佳 “近似值，该领域的主要问题是找到上述差值的尖锐上界和下界，以分母的函数形式表示。似乎这些界限取决于被逼近的实数的性质：一个有理数被另一个有理数逼近的下限大于代数的下限，而代数的下限本身又大于所有实数的下限。因此，一个可能比代数数的下限更好地被逼近的实数肯定是一个超越数。这一知识使Liouville在1844年产生了第一个明确的超越数。后来，π和e是超越数的证明也是通过类似的方法得到的。
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数学代写|丢番图逼近代写Diophantine approximation代考|One dimensional approximation and badly approximable numbers
Classical Diophantine approximation is concerned with the study how well real numbers can be approximated by rationals. A basic result in this direction is the following theorem of Dirichlet from 1842.
Theorem 1.1.1. If $\alpha$ is a real number and $N$ is a positive integer then we can find a rational number a/ $n$ with $1 \leq n \leq N$ and
$$
\left|\alpha-\frac{a}{n}\right| \leq \frac{1}{n(N+1)} .
$$
It is not difficult to show that Dirichlet’s theorem, in this form, is best possible (see Exercise 1.1.2). It follows from the theorem that, for any irrational real number $\alpha$, there are infinitely many fractions $a / n \in \mathbb{Q}$ with
$$
\left|\alpha-\frac{a}{n}\right| \leq \frac{1}{n^2} .
$$
For rational $\alpha$ this statement is actually false (see Exercise 1.1.2). However, if we are willing to restrict attention to irrational $\alpha$, then it turns out that we can do better. This is demonstrated by the following theorem, which was proved by Hurwitz in 1891 .
Theorem 1.1.4. For any $\alpha \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ there are infinitely many a/n $\in \mathbb{Q}$ with
$$
\left|\alpha-\frac{a}{n}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{5} n^2} .
$$
Now it can be shown, for example by taking $\alpha=(1+\sqrt{5}) / 2$, that the constant $1 / \sqrt{5}$ which appears in Hurwitz’s Theorem cannot be replaced by any smaller number. In fact, there is a countably infinite set of real numbers $\alpha$ for which Hurwitz’s theorem is best possible in this sense. However, if we are willing to exclude all of these numbers from our consideration then, for any real number $\alpha$ which remains, it can be shown that there are infinitely many $a / n \in \mathbb{Q}$ for which
$$
\left|\alpha-\frac{a}{n}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{8} n^2} .
$$
数学代写|丢番图逼近代写Diophantine approximation代考|Continued fractions and Ostrowski expansions
Continued fractions are a central tool in the study of one-dimensional approximation. They have a long history, with numerous applications both within mathematics and also to real world problems. Our presentation of the material in this chapter, therefore, does not reflect historical sequence but instead aims to prioritize organization of concepts.
Every irrational real number $\alpha$ has an infinite continued fraction expansion of the form
$$
\alpha=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\cdots}}},
$$
where $a_0 \in \mathbb{Z}$ and $a_1, a_2, \ldots$ is a sequence of positive integers. For convenience of notation we denote the continued fraction expansion of $\alpha$ by $\left[a_0 ; a_1, a_2, a_3, \ldots\right]$. The integers $a_k$ are called the partial quotients in this expansion and, since $\alpha$ is irrational, they are uniquely determined.
If $\alpha$ is rational then it has two finite expansions of the above form, which can be written as $\left[a_0 ; a_1, \ldots, a_m\right]$ and $\left[a_0 ; a_1, \ldots, a_m-1,1\right]$, for an appropriate choice of $k \geq 0, a_0 \in \mathbb{Z}$, and $a_1, \ldots, a_m \in \mathbb{N}$. We may refer to either of these as the continued fraction expansion of $\alpha$ and, unless it is important to make a distinction between these expansions, we will not specify which of the two we are choosing. When we are working with rational $\alpha$, with continued fraction expansion as above, we will also set $a_k=0$ for $k>m$.
For $\alpha \in \mathbb{R}$ and $k \geq 0$ the rational numbers
$$
\frac{p_k}{q_k}=\left[a_0 ; a_1, \ldots, a_k\right],
$$
with $p_k$ and $q_k$ are coprime and $q_k>0$, are called the principal convergents to $\alpha$. If we also set $p_{-1}=1$ and $q_{-1}=0$, then it is not difficult to show that for $k \geq 0$ the numerators and denominators of the principal convergents satisfy the recursive relations
$$
p_{k+1}=a_{k+1} p_k+p_{k-1} \quad \text { and } \quad q_{k+1}=a_{k+1} q_k+q_{k-1}
$$
丢番图逼近代写
数学代写|丟番图逼近代写DIOPHANTINE APPROXIMATION代 考|ONE DIMENSIONAL APPROXIMATION AND BADLY APPROXIMABLE NUMBERS
经典麦番图近似与研究实数在多大程度上可以被有理数逼近有关。这个方向的一个基本结果是 1842 年 Dirichlet 的以下定理。
定理 1.1.1。如果 $\alpha$ 是一个实数并且 $N$ 是一个正整数那么我们可以找到一个有理数 $a / n$ 和 $1 \leq n \leq N$ 和
$$
\left|\alpha-\frac{a}{n}\right| \leq \frac{1}{n(N+1)}
$$
不难证明这种形式的 Dirichlet 定理是最可能的 seeExercise1.1.2. 从定理可以得出，对于任何无理实数 $\alpha$, 有无穷多个分数 $a / n \in \mathbb{Q}$ 和
$$
\left|\alpha-\frac{a}{n}\right| \leq \frac{1}{n^2} .
$$
为了理性 $\alpha$ 这个说法实际上是错误的 seeExercise1.1.2.然而，如果我们愿意将注意力限制在非理性 $\alpha$ ，然后事实证明我们可以做得更好。下面的定理证明了这一 点，该定理由 Hurwitz 在 1891 年证明。
定理 1.1.4。对于任何 $\alpha \in \mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ 有无穷多个 $a / n \in \mathbb{Q}$ 和
$$
\left|\alpha-\frac{a}{n}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{5} n^2} .
$$
现在可以显示，例如通过取 $\alpha=(1+\sqrt{5}) / 2$, 即常数 $1 / \sqrt{5}$ 出现在赫尔维茨定理中的不能被任何更小的数代替。事实上，存在可数无限的实数集 $\alpha$ 从这个意义上 说，赫尔维茨定理是最好的。然而，如果我们愿意从我们的考虑中排除所有这些数字，那么对于任何实数 $\alpha$ 剩下的，可以证明有无穷多个 $a / n \in \mathbb{Q}$ 为了哪个
$$
\left|\alpha-\frac{a}{n}\right| \leq \frac{1}{\sqrt{8} n^2} .
$$
数学代写|丟番图逼近代写DIOPHANTINE APPROXIMATION代 考|CONTINUED FRACTIONS AND OSTROWSKI EXPANSIONS
连分数是研究一维近似的核心工具。它们有着悠久的历史，在数学和现实世界问题中都有大量应用。因此，我们在本章中对材料的介绍并不映历史顺序，而是旨 在优先考虑概念的组织。
每个无理实数 $\alpha$ 具有形式的无限连分式展开
$$
\alpha=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{u_3+\cdots}}}
$$
在哪里 $a_0 \in \mathbb{Z}$ 和 $a_1, a_2, \ldots$ 是一个正整数序列。为了符号的方便，我们表示的连续分数展开 $\alpha$ 经过 $\left[a_0 ; a_1, a_2, a_3, \ldots\right]$. 整数 $a_k$ 在这个展开式中被称为偏商，因为 $\alpha$ 是非理性的，它们是唯一确定的。
如果 $\alpha$ 是有理数，那么它有上述形式的两个有限展开式，可以写成 $\left[a_0 ; a_1, \ldots, a_m\right]$ 和 $\left[a_0 ; a_1, \ldots, a_m-1,1\right]$, 为适当的选择 $k \geq 0, a_0 \in \mathbb{Z}$ ，和 $a_1, \ldots, a_m \in \mathbb{N}$. 我 们可以将其中任何一个称为连续分数展开 $\alpha$ 并且，除非区分这些扩展很重要，否则我们不会具体说明我们选择了哪一个。当我们与理性一起工作时 $\alpha$ ，如上连分数 展开，我们也将设置 $a_k=0$ 为了 $k>m$.
为了 $\alpha \in \mathbb{R}$ 和 $k \geq 0$ 有理数
$$
\frac{p_k}{q_k}=\left[a_0 ; a_1, \ldots, a_k\right],
$$
和 $p_k$ 和 $q_k$ 是互质的并且 $q_k>0$, 被称为主要收敛于 $\alpha$. 如果我们也设置 $p_{-1}=1$ 和 $q_{-1}=0$, 那么不难证明对于 $k \geq 0$ 主收敛的分子和分母满足递归关系
$$
p_{k+1}=a_{k+1} p_k+p_{k-1} \quad \text { and } \quad q_{k+1}=a_{k+1} q_k+q_{k-1}
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。