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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域，图论是对图的研究，涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科，在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来，图论已经成为各种学科的重要数学工具，从运筹学和化学到遗传学和语言学，从电气工程和地理到社会学和建筑。同时，它本身也作为一门有价值的数学学科出现。
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数学代写|图论代写Graph Theory代写|2-Connected Graphs
As we have already seen, 1-connected graphs are simply those graphs that we more commonly call connected and $k$-connected graphs can be described in terms of $k$ number of paths between two vertices. So why then do we single out 2-connected graphs? This is in part because they hold a special area in the study of connectivity – they are known to be connected and as we will see cannot contain any cut-vertices. The class of 2-connected graphs provide both some easy results and some more technical and complex areas of study. We begin with a review of our graphs $G_2$ and $G_3$ from page 169 , reproduced below.
Recall that we showed $\kappa\left(G_2\right)=2=\kappa^{\prime}\left(G_2\right)$ but that $\kappa\left(G_3\right)=1$ and $\kappa^{\prime}\left(G_3\right)=2$. So what is the structural difference between $G_2$ and $G_3$ that provides the difference in the connectivity measures? Obviously, we can describe it in terms of internally disjoint paths, but there must be some more basic property that separates them. In particular, notice how vertex $c$ seems to be the connecting point between the two halves of $G_3$; that it, $c$ is a cut-vertex.
Theorem 4.17 A graph $G$ with at least 3 vertices is 2-connected if and only if $G$ is connected and does not have any cut-vertices.
Proof: Assume $G$ is 2-connected. Then any cut-set of $G$ must be of size at least 2. Therefore $G$ must be connected and cannot have a cut-vertex, as in either of these situations we would have a cut-set of size less than 2 .
Conversely, suppose $G$ is not 2-connected. Then either $G$ is disconnected or by Menger’s Theorem there exist two non-adjacent vertices $x$ and $y$ for which there is exactly one path between them. Removing any vertex along this path will disconnect $x$ and $y$, and so that vertex serves as a cut-vertex of $G$.
数学代写|图论代写Graph Theory代写|Tree Enumeration
In Section 1.6 we discussed how a degree sequence can help determine the structure of a graph, though it may not be unique. As it turns out, there is a similar result for trees, but one in which the tree can be uniquely determined from the sequence given. Instead of focusing on degrees, this sequence, called a Prüfer sequence, uses the location of leaves within a tree. These sequences were introduced in 1918 by the German mathematician Ernst Paul Heinz Prüfer as a means for proving Cayley’s Theorem (see Theorem 3.14)[70].
Definition 3.13 Given a tree $T$ on $n>2$ vertices (labeled $1,2, \ldots, n$ ), the Prüfer sequence of $T$ is a sequence $\left(s_1, s_2, \ldots, s_{n-2}\right)$ of length $n-2$ defined as follows:
- Let $l_1$ be the leaf of $T$ with the smallest label.
- Define $T_1$ to be $T-l_1$.
- For each $i \geq 1$, define $T_{i+1}=T_i-l_{i+1}$, where $l_{i+1}$ is the leaf with the smallest label of $T_i$.
- Define $s_i$ to be the neighbor of $l_i$.
图论代写
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代写|2-CONNECTED GRAPHS
正如我们已经看到的， 1 -连通图就是我们通常称为连通和 $k$-连通图可以描述为 $k$ 两个顶点之间的路径数。那么，为什么我们要挑出 2-连通图呢? 这 在一定程度上是因为它们在连通性研究中占据了一个特殊的领域一一众所周知它们是连通的，而且正如我们将看到的那样，它们不能包含任何切割 顶点。2-连通图类既提供了一些简单的结果，也提供了一些更技术和更复杂的研究领域。我们首先回顾一下我们的图表 $G_2$ 和 $G_3$ 摘自第 169 页，转 载如下。
回想一下我们展示的 $\kappa\left(G_2\right)=2=\kappa^{\prime}\left(G_2\right)$ 但是那个 $\kappa\left(G_3\right)=1$ 和 $\kappa^{\prime}\left(G_3\right)=2$. 那么两者之间的结构区别是什么 $G_2$ 和 $G_3$ 这提供了连接措施的差 异? 显然，我们可以用内部不相交的路径来描述它，但必须有一些更基本的属性将它们分开。特别要注意顶点如何 $c$ 似乎是两半之间的连接点 $G_3$; 它， $c$ 是一个切割顶点。
定理 4.17 图 $G$ 至少有 3 个顶点是 2-连通的当且仅当 $G$ 是连通的并且没有任何割点。
证明: 假设 $G$ 是 2-连通的。那么任意割集 $G$ 大小必须至少为 2。因此 $G$ 必须连接并且不能有切割顶点，因为在这两种情况中的任何一种情况下，我 们都会有一个尺寸小于 2 的切割集。
相反，假设 $G$ 不是 2-连通的。那么要么 $G$ 断开连接或根据门格尔定理存在两个不相邻的顶点 $x$ 和 $y$ 它们之间只有一条路径。沿看这条路径移除任何 顶点都会断开连接 $x$ 和 $y$ ，因此该顶点用作 $G$.
数学代写|图论代写GRAPH THEORY代写|TREE ENUMERATION
在第 1.6节中，我们讨论了度序列如何帮助确定图的结构，尽管它可能不是唯一的。事实证明，对于树也有类似的结果，但是可以根据给定的序列 唯一地确定树。这个称为 Prüfer 序列的序列并不关注度数，而是使用树叶在树中的位置。这些数列于 1918 年由德国数学家 Ernst Paul Heinz Prüfer 引入，作为证明凯莱定理的方法seeTheorem3.14
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定义 3.13 给定一棵树 $T$ 在 $n>2$ 顶点labeled $\$ 1,2, \ldots, n \$$, 的 Prüfer 序列 $T$ 是一个序列 $\left(s_1, s_2, \ldots, s_{n-2}\right)$ 长度 $n-2$ 定义如下:
- 让 $l_1$ 成为的叶子 $T$ 带有最小的标签。
- 定义 $T_1$ 成为 $T-l_1$.
- 对于每个 $i \geq 1$, 定义 $T_{i+1}=T_i-l_{i+1}$, 在哪里 $l_{i+1}$ 是标签最小的叶子 $T_i$.
- 定义 $s_i$ 成为的邻居 $l_i$.
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
