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实分析Real Analysis中的各种观点可以从实线中归纳到更广泛或更抽象的背景中。这些概括将实分析与其他学科和子学科联系起来。例如，将连续函数和紧凑性等思想从实分析中概括到公制空间和拓扑空间，将实分析与一般拓扑学领域联系起来，而将有限维欧几里得空间概括到无限维类似物，导致了巴纳赫空间和希尔伯特空间的概念，以及更广泛的函数分析。乔治-康托对实数的集合和序列、它们之间的映射以及实数分析的基础问题的研究催生了天真的集合理论。对函数序列收敛问题的研究，最终产生了作为数学分析的一个分支学科的傅里叶分析。
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数学代写|实分析代写Real Analysis代考|The Convergence of Fourier Series
None of the convergence tests that we have examined so far can help us with the question of convergence of the Fourier series that we met in the first chapter:
$$
\cos (\pi x / 2)-\frac{1}{3} \cos (3 \pi x / 2)+\frac{1}{5} \cos (5 \pi x / 2)-\frac{1}{7} \cos (7 \pi x / 2)+\cdots
$$
It does not converge absolutely; at $x=0$ it becomes the alternating series
$$
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
$$
On the other hand, for most values of $x$ it does not alternate. Table 4.3. shows summands and partial sums when $x=0.3$ (the significance of the last column will be explained after Abel’s lemma). The sign of the summands displays an interesting pattern:
$$
\begin{aligned}
& +–+–+–+ \
& -++-++-++- \
& +–+–+–+ \
& -++\cdots,
\end{aligned}
$$
but this is not an alternating series.
Joseph Fourier had shown that this particular series converges for all values of $x$, but it was Niels Henrik Abel (1802-1829) who, in 1826, published results on the analysis of such series, enabling the construction of a simple and useful test for the convergence of Fourier series. Abel was a Norwegian, born in Findő. In 1825, the Norwegian government paid for him to travel through Europe to meet and study with the great mathematicians of the time. He arrived in Paris in the summer of 1826 . He had already done great mathematics: his primary accomplishment was the proof that the roots of a general fifth degree (quintic) polynomial cannot be expressed in terms of algebraic operations on the coefficients for arbitrary quadratic, cubic, and biquadratic polynomials, the roots can be expressed in terms of the coefficients.
数学代写|实分析代写Real Analysis代考|Abel’s Lemma
Theorem 4.16 (Abel’s Lemma). We consider a series of the form
$$
a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3+\cdots
$$
where the $b$ ‘s are positive and decreasing: $b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq \cdots \geq 0$. Let $S_n$ be the nth partial sum of the a’s:
$$
S_n=\sum_{k=1}^n a_k
$$
If these partial sums stay bounded – that is to say, if there is some number $M$ for which $\left|S_n\right| \leq M$ for all values of $n$-then
$$
\left|\sum_{k=1}^n a_k b_k\right| \leq M b_1 .
$$
We note that this theorem is applicable to Fourier series such as the series given in (4.17). We take
$$
\begin{gathered}
b_1=1, \quad b_2=\frac{1}{3}, \quad b_3=\frac{1}{5}, \quad b_4=\frac{1}{7}, \quad \ldots \
a_1=\cos (\pi x / 2), \quad a_2=-\cos (3 \pi x / 2), \quad a_3=\cos (5 \pi x / 2), \quad a_4=-\cos (7 \pi x / 2), \ldots
\end{gathered}
$$
While it will still take some work to prove that the partial sums of these $a$ ‘s stay bounded, a little experimentation shows that whenever $x$ is rational the partial sums are periodic (see the last column of Table 4.3. and Figure 4.3).
We notice that the sum of the $a$ ‘s does not have to converge. When $x=0$, we have $a_1=1, a_2=-1, a_3=1, a_4=-1, \ldots$,
$$
S_n=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}=\left{\begin{array}{l}
1, \text { if } n \text { is odd, } \
0, \text { if } n \text { is even. }
\end{array}\right.
$$
This series does not converge, but the partial sums are bounded by $M=1$.
Proof: We use the fact that $a_k=S_k-S_{k-1}$ and do a little rearranging of the partial sum of the $a_k b_k$ :
$$
\begin{aligned}
\sum_{k=1}^n a_k b_k & =S_1 b_1+\left(S_2-S_1\right) b_2+\cdots+\left(S_n-S_{n-1}\right) b_n \
& =\left(S_1 b_1+S_2 b_2+\cdots+S_n b_n\right)-\left(S_1 b_2+S_2 b_3+\cdots+S_{n-1} b_n\right) \
& =S_1\left(b_1-b_2\right)+S_2\left(b_2-b_3\right)+\cdots+S_{n-1}\left(b_{n-1}-b_n\right)+S_n b_n \
& =\sum_{k=1}^{n-1} S_k\left(b_k-b_{k+1}\right)+S_n b_n .
\end{aligned}
$$
实分析代写
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|THE CONVERGENCE OF FOURIER SERIES
到目前为止，我们已经研究过的收敛性测试都不能帮助我们解决我们在第一章中遇到的傅立叶级数的收敛性问题:
$$
\cos (\pi x / 2)-\frac{1}{3} \cos (3 \pi x / 2)+\frac{1}{5} \cos (5 \pi x / 2)-\frac{1}{7} \cos (7 \pi x / 2)+\cdots
$$
它不会绝对收敛；在 $x=0$ 它变成了交替系列
$$
1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots
$$
另一方面，对于大多数值 $x$ 它不会交替。表4.3。显示被加数和部分和时 $x=0.3$
thesignificanceo fthelastcolumnwillbeexplaineda fter Abel’ slemma. 被加数的符号显示出一个有趣的模式:
$$
+-+-+-+\quad-++-++-+-+-+-+-+\quad-++\cdots,
$$
但这不是交替系列。
约瑟夫·傅立叶 (Joseph Fourier) 已经表明，这个特定的系列收敛于所有值 $x$, 但它是 Niels Henrik Abel1802-1829谁在 1826 年发表了对此类级数的 分析结果，从而能够构建简单而有用的傅立叶级数收敛性检验。亚伯是挪威人，出生在弅多。1825年，挪威政府资助他游历欧洲，与当时伟大的 数学家会面和学习。他于 1826 年眰天抵达巴黎。他已经完成了伟大的数学: 他的主要成就是证明了一般第五学位的根源quintic多项式不能用对 任意二次、三次和双二次多项式的系数的代数运算来表示，根可以用系数来表示。
数学代写|实分析代写REAL ANALYSIS代考|ABEL’S LEMMA
定理 4.16Abel’sLemma. 我们考虑一系列的形式
$$
a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3+\cdots
$$
在哪里 $b$ 为正且递减: $b_1 \geq b_2 \geq b_3 \geq \cdots \geq 0$. 让 $S_n$ 是 $\mathrm{a}$ 的第 $\mathrm{n}$ 个部分和:
$$
S_n=\sum_{k=1}^n a_k
$$
如果这些部分和保持有界一-也就是说，如果有一些数字 $M$ 为了哪个 $\left|S_n\right| \leq M$ 对于所有值 $n$-然后
$$
\left|\sum_{k=1}^n a_k b_k\right| \leq M b_1
$$
我们注意到该定理适用于傅立叶级数，例如中给出的级数 4.17 . 我们采取
$$
b_1=1, \quad b_2=\frac{1}{3}, \quad b_3=\frac{1}{5}, \quad b_4=\frac{1}{7}, \quad \ldots a_1=\cos (\pi x / 2), \quad a_2=-\cos (3 \pi x / 2), \quad a_3=\cos (5 \pi x / 2), \quad a_4=-\cos (7 \pi x / 2), \ldots
$$
虽然仍然需要做一些工作来证明这些的部分和 $a$ 保持界限，一点点实验表明，无论何时 $x$ 是有理数部分和是周期性的 seethelastcolumnofTable4.3.andFigure4.3.
我们注意到 $a$ 不必收敛。什么时候 $x=0$ ，我们有 $a_1=1, a_2=-1, a_3=1, a_4=-1, \ldots$, $\$ \$$
$$
\text { S_n=|sum_{k=1}^ } n-1^{\wedge}{k-1}=\mid \text { 左 }{
$$
1 , if $n$ is odd, 0 , if $n$ is even.
〈正确的。
Thisseriesdoesnotconverge, butthepartialsumsareboundedby $\$ M=1 \$$. Proof: Weusethefactthat $\$ a_k=S_k-S_{k-1} \$$ anddoalittlerear
$$
\sum_{k=1}^n a_k b_k=S_1 b_1+\left(S_2-S_1\right) b_2+\cdots+\left(S_n-S_{n-1}\right) b_n \quad=\left(S_1 b_1+S_2 b_2+\cdots+S_n b_n\right)-\left(S_1 b_2+S_2 b_3+\cdots+S_{n-1} b_n\right)=S_1\left(b_1-t\right.
$$
$\$ \$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
