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# 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Boundedness for Maximal Singular Integrals Implies Weak Type (1,1) Boundedness

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## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Boundedness for Maximal Singular Integrals Implies Weak Type (1,1) Boundedness

Let us conclude the proof of the theorem assuming for the moment the validity of (4.3.27). As in the proof of Theorem 4.3.3, we can show that
$$\left|\left{x \in \mathbf{R}^n:\left|T^{(* )}(g)(x)\right|>\frac{\alpha}{2}\right}\right|+\left|\bigcup_j Q_j^\right| \leq\left(2^{n+2} B^2 \gamma+\frac{(5 \sqrt{n})^n}{\gamma}\right) \frac{|f|_{L^1}}{\alpha} .$$
Combining this estimate with (4.3.27) and choosing
$$\gamma=\left(2^{n+5}\left(A_1+A_2+B\right)\right)^{-1}$$
we obtain the required estimate
$$\left|\left{x \in \mathbf{R}^n:\left|T^{(* *)}(f)(x)\right|>\alpha\right}\right| \leq C_n\left(A_1+A_2+B\right) \frac{|f|_{L^1}}{\alpha}$$
with $C_n=2^{-3}+(5 \sqrt{n})^n 2^{n+5}+2^{n+8}$.
It remains to prove (4.3.27). This estimate will be a consequence of the fact that for $x \in\left(\bigcup_j Q_j^\right)^c$ we have the key inequality $$T^{( *)}(b)(x) \leq 4 E_1(x)+2^{n+2} \alpha \gamma E_2(x)+2^{n+3} \alpha \gamma A_1,$$
where
\begin{aligned} & E_1(x)=\sum_j \int_{Q_j}\left|K(x-y)-K\left(x-y_j\right)\right|\left|b_j(y)\right| d y, \ & E_2(x)=\sum_j \int_{Q_j}\left|K(x-y)-K\left(x-y_j\right)\right| d y, \end{aligned}
and $y_j$ is the center of $Q_j$.

## 数学代写|傅里叶分析代写FOURIER ANALYSIS代考|Sufficient Conditions for $L^p$ Boundedness

We have used the Calderón-Zygmund decomposition to prove weak type $(1,1)$ boundedness for singular integral and maximal singular integral operators, assuming that these operators are already $L^2$ bounded. It is therefore natural to ask for sufficient conditions that imply $L^2$ boundedness for such operators. Precisely, what are sufficient conditions on functions $K$ on $\mathbf{R}^n \backslash{0}$ so that the corresponding singular and maximal singular integral operators associated with $K$ are $L^2$ bounded? We saw in Section 4.2 that if $K$ has the special form $K(x)=\Omega(x /|x|) /|x|^n$ for some $\Omega \in L^1\left(\mathbf{S}^{n-1}\right)$ with mean value zero, then condition (4.2.16) is necessary and sufficient for the $L^2$ boundedness of $T$, while the $L^2$ boundedness of $T^{(*)}$ requires the stronger smoothness condition (4.2.23).
For the general $K$ considered in this section (for which the corresponding operator does not necessarily commute with dilations), we only give some sufficient conditions for $L^2$ boundedness of $T$ and $T^{(* *)}$.
Throughout this section $K$ denotes a locally integrable function on $\mathbf{R}^n \backslash{0}$ that satisfies the “size”‘ condition
$$\sup {R>0} \int{R \leq|x| \leq 2 R}|K(x)| d x=A_1<\infty,$$ the “smoothness” condition $$\sup {y \neq 0} \int{|x| \geq 2|y|}|K(x-y)-K(x)| d x=A_2<\infty,$$ and the “cancellation” condition $$\sup {0{R_1<|x|0. As mentioned earlier, condition (4.4.2) is often referred to as Hörmander’s condition. In this section we show that these three conditions give rise to convolution operators that are bounded on L^p. ## 傅里叶分析代写 ## 数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Boundedness for Maximal Singular Integrals Implies Weak Type (1,1) Boundedness 让我们暂时假设(4.3.27)的有效性来结束定理的证明。在定理4.3.3的证明中，我们可以证明这一点$$
\left|\left{x \in \mathbf{R}^n:\left|T^{(* )}(g)(x)\right|>\frac{\alpha}{2}\right}\right|+\left|\bigcup_j Q_j^\right| \leq\left(2^{n+2} B^2 \gamma+\frac{(5 \sqrt{n})^n}{\gamma}\right) \frac{|f|{L^1}}{\alpha} . $$将此估计与(4.3.27)结合并选择$$ \gamma=\left(2^{n+5}\left(A_1+A_2+B\right)\right)^{-1} $$我们得到了所需的估计$$ \left|\left{x \in \mathbf{R}^n:\left|T^{(* *)}(f)(x)\right|>\alpha\right}\right| \leq C_n\left(A_1+A_2+B\right) \frac{|f|{L^1}}{\alpha}
$$通过C_n=2^{-3}+(5 \sqrt{n})^n 2^{n+5}+2^{n+8}。 有待证明(4.3.27)。这个估计将是这样一个事实的结果:对于x \in\left(\bigcup_j Q_j^\right)^c，我们有关键的不平等$$ T^{( *)}(b)(x) \leq 4 E_1(x)+2^{n+2} \alpha \gamma E_2(x)+2^{n+3} \alpha \gamma A_1,
$$在哪里$$
\begin{aligned}
& E_1(x)=\sum_j \int_{Q_j}\left|K(x-y)-K\left(x-y_j\right)\right|\left|b_j(y)\right| d y, \
& E_2(x)=\sum_j \int_{Q_j}\left|K(x-y)-K\left(x-y_j\right)\right| d y,
\end{aligned}
$$y_j是Q_j的中心。 ## 数学代写|傅里叶分析代写FOURIER ANALYSIS代考|Sufficient Conditions for L^p Boundedness 我们利用Calderón-Zygmund分解证明了奇异积分算子和极大奇异积分算子的弱型(1,1)有界性，假设这些算子已经是L^2有界。因此，很自然地要求对这些算子给出L^2有界性的充分条件。确切地说，函数K在\mathbf{R}^n \反斜杠{0}上的充分条件是什么，使得与K相关的奇异和最大奇异积分算子是L^2有界的?在4.2节中我们看到，如果K对于L^1\左(\mathbf{S}^{n-1}右) 具有特殊形式K(x)=\Omega(x /|x|) /|x|^n，则条件(4.2.16)是T的L^2有界性的充分必要条件，而T^{(*)}的L^2有界性需要更强的平滑性条件(4.2.23)。 对于本节考虑的一般K(其对应算子不一定与扩张交换)，我们仅给出T和T^{(* *)}的L^2有界性的一些充分条件。 在本节中，K表示\mathbf{R}^n \反斜线{0}上的一个局部可积函数，它满足“大小”条件$$
\sup {R>0} \int{R \leq|x| \leq 2r}|K(x)| d x=A_1<\infty， $$满足“平滑”条件$$ \sup {y \neq 0} \int{|x| \geq 2|y|}|K(x)-K(x)| d x=A_2<\infty， $$和“消去”条件$$ \sup {0{R_1<|x|0$。如前所述，条件(4.4.2)通常被称为Hörmander的条件。在本节中，我们将证明这三个条件产生了在$L^p\$上有界的卷积算子。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。