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傅里叶分析Fourier Analysis傅里叶变换是傅里叶分析的基础，就像骨髓对人的骨头一样。它是所有振荡积分之父，也是将函数从空间域转移到频率域的强大变换。通过这样做，它颠倒了函数的本地化属性。然后，神奇的是，如果再应用一次，它会返回由反射组成的函数。更重要的是，它改变了我们对谐波分析的观点。它把卷积变成乘法，把平移变成调制，把膨胀膨胀变成收缩膨胀，而它在无穷远处的衰减编码了关于函数局部平滑的信息。
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数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Smoothness under Basic Operations
Suppose we have a function $f(x)$ that satisfies any of the properties discussed thus far in this chapter (boundedness, continuity, piecewise continuity, differentiability, etc.) over an interval $(\alpha, \beta)$, and let $\gamma$ be any nonzero real number.
It is easy to see that the scaled function $f(\gamma x)$ also satisfies the same properties as $f(x)$, but over the interval $(a, b)$ where
$$
(a, b)=\left{\begin{array}{ll}
\left(\frac{\alpha}{\gamma}, \frac{\beta}{\gamma}\right) & \text { if } \quad 0<\gamma \
\left(\frac{\beta}{\gamma}, \frac{\alpha}{\gamma}\right) & \text { if } \quad \gamma<0
\end{array} .\right.
$$
It should also be clear that the translation of $f$ by $\gamma, f(x-\gamma)$, satisfies the same properties as $f$, but over the interval $(\alpha-\gamma, \beta-\gamma)$.
Finally, suppose we have a collection of functions, $\left{f_1, f_2, \ldots\right}$, and that, on the interval $(\alpha, \beta)$, all of these functions satisfy any one of the conditions discussed thus far (e.g., all are bounded or all are smooth on the interval). Then it should be clear that any finite linear combination of these $f_k$ ‘s also satisfies that property over the interval $(\alpha, \beta)$.
On the other hand, if $g$ is defined to be an infinite linear combination of the $f_k$ ‘s,
$$
g(x)=c_1 f_1(x)+c_2 f_2(x)+c_3 f_3(x)+\cdots,
$$
then there is no general assurance that $g$ satisfies any of the properties satisfied by all the $f_k$ ‘s. Indeed, an infinite linear combination of the $f_k$ ‘s is actually an infinite series of functions which might not even converge to any sort of a function. This will be one of our concerns when we deal with such linear combinations.
数学代写|傅里叶分析代写FOURIER ANALYSIS代考|A Refresher on Limits
Presumably, you already have good intuitive notion of what is meant by the equivalent statements
$$
f(x) \rightarrow L \quad \text { as } \quad x \rightarrow x_0 \quad \text { and } \quad \lim {x \rightarrow x_0} f(x)=L \quad, $$ as well as such standard variations as $$ \lim {x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=L \quad, \quad \lim {x \rightarrow \infty} f(x)=L \quad \text { and } \quad \lim {x \rightarrow x_0} f(x)=\infty .
$$
For most of this text your intuitive notion of these concepts should serve quite well, provided you also recall such basic limit theorems from elementary calculus as As long as
$$
\lim {x \rightarrow x_0} f(x) \quad \text { and } \quad \lim {x \rightarrow x_0} g(x)
$$
both exist and are finite, then
$$
\lim {x \rightarrow x_0}(f(x) g(x))=\left(\lim {x \rightarrow x_0} f(x)\right)\left(\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)\right) .
$$
You should also realize that, suitably rephrased, these theorems hold for complex-valued functions of complex variables, as well as for functions of two or more variables.
On occasion, however, we may need to employ a certain “limit test” which the reader may have forgotten. This is a fundamental test for showing both that the limit of $f(x)$ exists as $x$ approaches a finite point $x_0$ and that
$$
\lim {x \rightarrow x_0} f(x)=0 . $$ This last statement is, of course, equivalent to $$ \lim {x \rightarrow x_0}|f(x)|=0 .
$$
傅里叶分析代写
数学代写|傅里叶分析代写Fourier Analysis代考|Smoothness under Basic Operations
假设我们有一个函数$f(x)$，它在区间$(\alpha, \beta)$上满足本章所讨论的任何性质(有界性、连续性、分段连续性、可微性等)，并设$\gamma$为任意非零实数。
很容易看出缩放后的函数$f(\gamma x)$也满足与$f(x)$相同的性质，但是在区间$(a, b)$中
$$
(a, b)=\left{\begin{array}{ll}
\left(\frac{\alpha}{\gamma}, \frac{\beta}{\gamma}\right) & \text { if } \quad 0<\gamma \
\left(\frac{\beta}{\gamma}, \frac{\alpha}{\gamma}\right) & \text { if } \quad \gamma<0
\end{array} .\right.
$$
还应该清楚的是，$f$被$\gamma, f(x-\gamma)$转换，满足与$f$相同的属性，但在区间$(\alpha-\gamma, \beta-\gamma)$上。
最后，假设我们有一个函数集合$\left{f_1, f_2, \ldots\right}$，并且在区间$(\alpha, \beta)$上，所有这些函数都满足到目前为止讨论的任何一个条件(例如，所有函数都是有界的，或者所有函数在区间上都是光滑的)。那么很明显，这些$f_k$的任何有限线性组合在$(\alpha, \beta)$区间内也满足这个性质。
另一方面，如果$g$被定义为$f_k$的无穷线性组合，
$$
g(x)=c_1 f_1(x)+c_2 f_2(x)+c_3 f_3(x)+\cdots,
$$
那么就不能保证$g$满足所有$f_k$所满足的任何性质。的确，$f_k$的无穷线性组合实际上是无穷级数的函数，它甚至可能不收敛于任何一种函数。这是我们处理线性组合时要考虑的问题之一。
数学代写|傅里叶分析代写FOURIER ANALYSIS代考|A Refresher on Limits
大概，您已经对等效语句的含义有了很好的直观概念
$$
f(x) \rightarrow L \quad \text { as } \quad x \rightarrow x_0 \quad \text { and } \quad \lim {x \rightarrow x_0} f(x)=L \quad, $$以及$$ \lim {x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=L \quad, \quad \lim {x \rightarrow \infty} f(x)=L \quad \text { and } \quad \lim {x \rightarrow x_0} f(x)=\infty .
$$等标准变体
对于这篇文章的大部分内容，你对这些概念的直观概念应该很好地服务，只要你还记得初等微积分中的基本极限定理
$$
\lim {x \rightarrow x_0} f(x) \quad \text { and } \quad \lim {x \rightarrow x_0} g(x)
$$
因此，两者都存在并且是有限的
$$
\lim {x \rightarrow x_0}(f(x) g(x))=\left(\lim {x \rightarrow x_0} f(x)\right)\left(\lim _{x \rightarrow x_0} g(x)\right) .
$$
你还应该意识到，换句话说，这些定理适用于复变量的复值函数，也适用于两个或更多变量的函数。
然而，有时我们可能需要使用某种读者可能已经忘记的“极限测试”。这是一个基本的检验，既证明$f(x)$的极限在$x$接近有限点$x_0$时存在，又证明
$$
\lim {x \rightarrow x_0} f(x)=0 . $$最后一个语句当然等价于 $$ \lim {x \rightarrow x_0}|f(x)|=0 .
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
