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优化理论Optimization Theory每个优化问题都包含三个组成部分：目标函数、决策变量和约束。 当人们谈论制定优化问题时，它意味着将“现实世界”问题转化为包含这三个组成部分的数学方程和变量。目标函数，通常表示为 f 或 z，反映要最大化或最小化的单个量。交通领域的例子包括“最小化拥堵”、“最大化安全”、“最大化可达性”、“最小化成本”、“最大化路面质量”、“最小化排放”、“最大化收入”等等。
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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|PIECEWISE-SMOOTH EXTREMALS
In the preceding sections we have derived necessary conditions that must be satisfied by extremal curves. The admissible curves were assumed to be continuous and to have continuous first derivatives; that is, the admissible curves were smooth. This is a very restrictive requirement for many practical problems. For example, if a control signal is the output of a relay, we know that this signal will contain discontinuities and that when such a control discontinuity occurs, one or more of the components of $\dot{\mathbf{x}}(t)$ will be discontinuous. Thus, we wish to enlarge the class of admissible curves to include functions that have only piecewise-continuous first derivatives; that is, $\dot{\mathbf{x}}$ will be continuous except at a finite number of times in the interval $\left(t_0, t_f\right)$. At a time when $\dot{x}$ is discontinuous, $\mathbf{x}$ is said to have a corner. Let us begin by considering functionals involving only a single function.
The problem is to find a necessary condition that must be satisfied by extrema of the functional
$$
J(x)=\int_{t_0}^{t s} g(x(t), \dot{x}(t), t) d t
$$
It is assumed that $g$ has continuous first and second partial derivatives with respect to all of its arguments, and that $t_0, t_f, x\left(t_0\right)$, and $x\left(t_f\right)$ are specified. $\dot{x}$ is a piecewise-continuous function (or we say that $x$ is a piecewise-smooth curve). Assume that $\dot{x}$ has a discontinuity at some point $t_1 \in\left(t_0, t_f\right) ; t_1$ is not fixed, nor is it usually known in advance.
Let us first express the functional $J$ as
$$
\begin{aligned}
J(x) & =\int_{t_0}^{t_1} g(x(t), \dot{x}(t), t) d t+\int_{t_1}^{t_s} g(x(t), \dot{x}(t), t) d t \
& \triangleq J_1(x)+J_2(x)
\end{aligned}
$$
functions that have only piecewise-continuous first derivatives; that is, $\dot{\mathbf{x}}$ will be continuous except at a finite number of times in the interval $\left(t_0, t_f\right)$. At a time when $\dot{x}$ is discontinuous, $\mathbf{x}$ is said to have a corner. Let us begin by considering functionals involving only a single function.
The problem is to find a necessary condition that must be satisfied by extrema of the functional
$$
J(x)=\int_{t_0}^{t s} g(x(t), \dot{x}(t), t) d t
$$
It is assumed that $g$ has continuous first and second partial derivatives with respect to all of its arguments, and that $t_0, t_f, x\left(t_0\right)$, and $x\left(t_f\right)$ are specified. $\dot{x}$ is a piecewise-continuous function (or we say that $x$ is a piecewise-smooth curve). Assume that $\dot{x}$ has a discontinuity at some point $t_1 \in\left(t_0, t_f\right) ; t_1$ is not fixed, nor is it usually known in advance.
Let us first express the functional $J$ as
$$
\begin{aligned}
J(x) & =\int_{t_0}^{t_1} g(x(t), \dot{x}(t), t) d t+\int_{t_1}^{t_s} g(x(t), \dot{x}(t), t) d t \
& \triangleq J_1(x)+J_2(x)
\end{aligned}
$$
数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|CONSTRAINED EXTREMA
So far, we have discussed functionals involving $\mathbf{x}$ and $\dot{\mathbf{x}}$, and we have derived necessary conditions for extremals assuming that the components of $\mathbf{x}$ are independent. In control problems the situation is more complicated, because the state trajectory is determined by the control $\mathbf{u}$; thus, we wish to consider functionals of $n+m$ functions, $\mathbf{x}$ and $\mathbf{u}$, but only $m$ of the functions are independent-the controls. Let us now extend the necessary conditions we have derived to include problems with constraints.
To begin, we shall review the analogous problem from the calculus, and introduce some new variables-the Lagrange multipliers-that will be required for our subsequent discussion.
Constrained Minimization of Functions
Example 4.5-1. Find the point on the line $y_1+y_2=5$ that is nearest the origin.
To solve this problem we need only apply elementary plane geometry to Fig. 4-19 to obtain the result that the minimum distance is $5 / \sqrt{2}$, and the extreme point is $y_1^=2.5, y_2^=2.5$.
Most problems cannot be solved by inspection, so let us consider alternative methods of solving this simple example.
The Elimination Method. If $\mathbf{y}^$ is an extreme point of a function, it is necessary that the differential of the function, evaluated at $\mathbf{y}^$, be zero. $\dagger$ In our example, the function
$$
f\left(y_1, y_2\right)=y_1^2+y_2^2 \quad \text { (the square of the distance) }
$$
is to be minimized subject to the constraint
$$
y_1+y_2=5
$$
The differential is
$$
d f\left(y_1, y_2\right)=\left[\frac{\partial f}{\partial y_1}\left(y_1, y_2\right)\right] \Delta y_1+\left[\frac{\partial f}{\partial y_2}\left(y_1, y_2\right)\right] \Delta y_2,
$$
and if $\left(y_1^, y_2^\right)$ is an extreme point,
$$
d f\left(y_1^, y_2^\right)=\left[\frac{\partial f}{\partial y_1}\left(y_1^, y_2^\right)\right] \Delta y_1+\left[\frac{\partial f}{\partial y_2}\left(y_1^, y_2^\right)\right] \Delta y_2=0
$$
优化理论代写
数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|PIECEWISE-SMOOTH EXTREMALS
在前面几节中，我们已经推导出极值曲线必须满足的必要条件。假定容许曲线连续且一阶导数连续;也就是说，允许的曲线是光滑的。对于许多实际问题来说，这是一个非常严格的要求。例如，如果控制信号是继电器的输出，我们知道该信号将包含不连续，并且当这种控制不连续发生时，$\dot{\mathbf{x}}(t)$的一个或多个分量将不连续。因此，我们希望扩大可容许曲线的范围，使其包括只有分段连续一阶导数的函数;也就是说，$\dot{\mathbf{x}}$将是连续的，除了在$\left(t_0, t_f\right)$区间内的有限次。当$\dot{x}$不连续时，$\mathbf{x}$被认为有一个角。让我们首先考虑只涉及单个函数的函数。
问题是找到一个必要条件，该条件必须由泛函的极值满足
$$
J(x)=\int_{t_0}^{t s} g(x(t), \dot{x}(t), t) d t
$$
假设$g$对它的所有参数都有连续的一阶和二阶偏导数，并且$t_0, t_f, x\left(t_0\right)$和$x\left(t_f\right)$是指定的。$\dot{x}$是一个分段连续函数(或者我们说$x$是一条分段平滑曲线)。假设$\dot{x}$在某一点上具有不连续$t_1 \in\left(t_0, t_f\right) ; t_1$不是固定的，通常也不是事先知道的。
让我们首先将函数$J$表示为
$$
\begin{aligned}
J(x) & =\int_{t_0}^{t_1} g(x(t), \dot{x}(t), t) d t+\int_{t_1}^{t_s} g(x(t), \dot{x}(t), t) d t \
& \triangleq J_1(x)+J_2(x)
\end{aligned}
$$
只有分段连续一阶导数的函数;也就是说，$\dot{\mathbf{x}}$将是连续的，除了在$\left(t_0, t_f\right)$区间内的有限次。当$\dot{x}$不连续时，$\mathbf{x}$被认为有一个角。让我们首先考虑只涉及单个函数的函数。
问题是找到一个必要条件，该条件必须由泛函的极值满足
$$
J(x)=\int_{t_0}^{t s} g(x(t), \dot{x}(t), t) d t
$$
假设$g$对它的所有参数都有连续的一阶和二阶偏导数，并且$t_0, t_f, x\left(t_0\right)$和$x\left(t_f\right)$是指定的。$\dot{x}$是一个分段连续函数(或者我们说$x$是一条分段平滑曲线)。假设$\dot{x}$在某一点上具有不连续$t_1 \in\left(t_0, t_f\right) ; t_1$不是固定的，通常也不是事先知道的。
让我们首先将函数$J$表示为
$$
\begin{aligned}
J(x) & =\int_{t_0}^{t_1} g(x(t), \dot{x}(t), t) d t+\int_{t_1}^{t_s} g(x(t), \dot{x}(t), t) d t \
& \triangleq J_1(x)+J_2(x)
\end{aligned}
$$
数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|CONSTRAINED EXTREMA
到目前为止，我们已经讨论了涉及$\mathbf{x}$和$\dot{\mathbf{x}}$的泛函，并且我们已经导出了假设$\mathbf{x}$的分量是独立的极值的必要条件。在控制问题中，情况更为复杂，因为状态轨迹是由控制决定的$\mathbf{u}$;因此，我们希望考虑$n+m$函数、$\mathbf{x}$和$\mathbf{u}$的函数，但只有$m$函数是独立的——即控件。现在让我们扩展我们推导出的必要条件，以包括有约束的问题。
首先，我们将回顾微积分中的类似问题，并引入一些新的变量——拉格朗日乘数——这将是我们后续讨论所需要的。
函数的约束最小化
例4.5-1。求直线$y_1+y_2=5$上离原点最近的点。
为了解决这个问题，我们只需要对图4-19应用初等平面几何，就可以得到最小距离为$5 / \sqrt{2}$，极值点为$y_1^=2.5, y_2^=2.5$的结果。
大多数问题不能通过检查来解决，所以让我们考虑解决这个简单例子的替代方法。
消除法。如果$\mathbf{y}^$是函数的极值点，则该函数在$\mathbf{y}^$处的微分必须为零。$\dagger$在本例中，函数
$$
f\left(y_1, y_2\right)=y_1^2+y_2^2 \quad \text { (the square of the distance) }
$$
最小化是否受约束
$$
y_1+y_2=5
$$
微分是
$$
d f\left(y_1, y_2\right)=\left[\frac{\partial f}{\partial y_1}\left(y_1, y_2\right)\right] \Delta y_1+\left[\frac{\partial f}{\partial y_2}\left(y_1, y_2\right)\right] \Delta y_2,
$$
如果$\left(y_1^, y_2^\right)$是一个极端点，
$$
d f\left(y_1^, y_2^\right)=\left[\frac{\partial f}{\partial y_1}\left(y_1^, y_2^\right)\right] \Delta y_1+\left[\frac{\partial f}{\partial y_2}\left(y_1^, y_2^\right)\right] \Delta y_2=0
$$
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
