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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Shadow prices and their interpretation

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数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|Shadow prices and their interpretation

Recall that if $B$ denotes the optimal basis found by solving the primal problem
$$\begin{array}{ll} \text { minimize } & c^{\mathrm{T}} x \ \text { subject to } & A x=b \ & x \geq 0, \end{array}$$

given here in standard form, then the price vector $\bar{y}$ corresponding to $B$ is given by
$$\bar{y}^{\mathrm{T}}=c_B^{\mathrm{T}} B^{-1} .$$
This vector satisfies $\bar{y}^{\mathrm{T}} A \leq c^{\mathrm{T}}$, the dual feasibility condition, for every righthand side vector $b$.

Given $A \in R^{m \times n}$ and $c \in R^n$, let us now define the function of $b \in R^m$ given by
$$z(b)=\min \left{c^{\mathrm{T}} x: A x=b, x \geq 0\right}$$
with the extra convention that
$$z(b)= \begin{cases}+\infty & \text { if the primal is infeasible } \ -\infty & \text { if the primal is feasible and the dual is infeasible. }\end{cases}$$

数学代写|优化理论代写Optimization Theory代考|An economic interpretation of optimal dual variables

Let $B$ denote a basis for a nondegenerate optimal basic solution for a (primal) LP and let $\bar{x}$ be the corresponding BFS. Let $\bar{y}$ be the corresponding optimal solution of the dual problem (given by $\bar{y}^{\mathrm{T}}=c_B^{\mathrm{T}} B^{-1}$ ). Then $z$ is a differentiable function of $b$. Indeed
$$z=c^{\mathrm{T}} \bar{x}=\bar{y}^{\mathrm{T}} b=c_B^{\mathrm{T}} B^{-1} b$$
Since the solution is nondegenerate, the basis and the hence the simplex multipliers will not change for small changes in $b_i$. By taking the partial derivative of $z$ with respect to $b_i$, we obtain
$$\frac{\partial z}{\partial b_i}=\left(c_B^{\mathrm{T}} B^{-1}\right)_i=\bar{y}_i$$
The above implies that the multiplier, or dual variable, $\bar{y}_i$ is the amount by which the objective function changes per unit change in the value of the right-hand side $b_i$; that is, $\bar{y}_i$ is the “price” per unit change in the right-hand side $b_i$. If $\bar{y}_i>0$, then the optimal value of $z$ will increase with increasing $b_i$; whereas if $\bar{y}_i<0$, then the optimal value of $z$ will decrease with increasing $b_i$.

数学代写|优化理论代写OPTIMIZATION THEORY代考|SHADOW PRICES AND THEIR INTERPRETATION

$$\text { minimize } \quad c^{\mathrm{T}} x \text { subject to } \quad A x=b \quad x \geq 0,$$

$$\bar{y}^{\mathrm{T}}=c_B^{\mathrm{T}} B^{-1}$$

$z(b)=\backslash \min \backslash$ left $\left[c^{\wedge}{\backslash \operatorname{mathrm}{T}} x: A x=b, x \backslash\right.$ geq $0 \backslash$ right $}$

$z(b)={+\infty \quad$ if the primal is infeasible $-\infty \quad$ if the primal is feasible and the dual is infeasible.

数学代写|优化理论代写OPTIMIZATION THEORY代考|AN ECONOMIC INTERPRETATION OF OPTIMAL DUAL VARIABLES

z=c^{\mathrm{T}} \bar{x}=\bar{y}^{\mathrm{T}} b=c_B^{\mathrm{T}} B^{-1} b
$$由于解决方案是非退化的，基础和因此单纯形乘数不会因小的变化而改变 b_i. 通过取偏导数 z 关于 b_i ，我们获得$$
\frac{\partial z}{\partial b_i}=\left(c_B^{\mathrm{T}} B^{-1}\right)_i=\bar{y}_i


Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。