数学代写|图论代写Graph Theory代写|MATH-3020

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数学代写|图论代写Graph Theory代写|Homogeneous and universal graphs

Unlike finite graphs, infinite graphs offer the possibility to represent an entire graph property $\mathcal{P}$ by just one specimen, a single graph that contains all the graphs in $\mathcal{P}$ up to some fixed cardinality. Such graphs are called ‘universal’ for this property.

More precisely, if $\leqslant$ is a graph relation (such as the minor, topological minor, subgraph, or induced subgraph relation up to isomorphism), we call a countable graph $G^$ universal in $\mathcal{P}$ (for $\leqslant$ ) if $G^ \in \mathcal{P}$ and $G \leqslant G^*$ for every countable graph $G \in \mathcal{P}$.

Is there a graph that is universal in the class of all countable graphs? Suppose a graph $R$ has the following property:
Whenever $U$ and $W$ are disjoint finite sets of vertices in $R$, there exists a vertex $v \in R-U-W$ that is adjacent in $R$ to all the vertices in $U$ but to none in $W$.
Then $R$ is universal even for the strongest of all graph relations, the induced subgraph relation. Indeed, in order to embed a given countable graph $G$ in $R$ we just map its vertices $v_1, v_2, \ldots$ to $R$ inductively, making sure that $v_n$ gets mapped to a vertex $v \in R$ adjacent to the images of all the neighbours of $v_n$ in $G\left[v_1, \ldots, v_n\right]$ but not adjacent to the image of any non-neighbour of $v_n$ in $G\left[v_1, \ldots, v_n\right]$. Clearly, this map is an isomorphism between $G$ and the subgraph of $R$ induced by its image.
Theorem 8.3.1. (Erdős and Rényi 1963)
There exists a unique countable graph $R$ with property (). Proof. To prove existence, we construct a graph $R$ with property () inductively. Let $R_0:=K^1$. For all $n \in \mathbb{N}$, let $R_{n+1}$ be obtained from $R_n$ by adding for every set $U \subseteq V\left(R_n\right)$ a new vertex $v$ joined to all the vertices in $U$ but to none outside $U$. (In particular, the new vertices form an independent set in $R_{n+1}$.) Clearly $R:=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} R_n$ has property (). To prove uniqueness, let $R=(V, E)$ and $R^{\prime}=\left(V^{\prime}, E^{\prime}\right)$ be two graphs with property $()$, each given with a fixed vertex enumeration. We construct a bijection $\varphi: V \rightarrow V^{\prime}$ in an infinite sequence of steps, defining $\varphi(v)$ for one new vertex $v \in V$ at each step.

数学代写|图论代写Graph Theory代写|Connectivity and matching

In this section we look at infinite versions of Menger’s theorem and of the matching theorems from Chapter 2. This area of infinite graph theory is one of its best developed fields, with several deep results. One of these, however, stands out among the rest: a version of Menger’s theorem that had been conjectured by Erdős and was proved only recently by Aharoni and Berger. The techniques developed for its proof inspired, over the years, much of the theory in this area.

We shall prove this theorem for countable graphs, which will take up most of this section. Although the countable case is much easier, it is still quite hard and will give a good impression of the general proof. We then wind up with an overview of infinite matching theorems and a conjecture conceived in the same spirit.

Recall that Menger’s theorem, in its simplest form, says that if $A$ and $B$ are sets of vertices in a finite graph $G$, not necessarily disjoint, and if $k=k(G, A, B)$ is the minimum number of vertices separating $A$ from $B$ in $G$, then $G$ contains $k$ disjoint $A-B$ paths. (Clearly, it cannot contain more.) The same holds, and is easily deduced from the finite case, when $G$ is infinite but $k$ is still finite:

Proposition 8.4.1. Let $G$ be any graph, $k \in \mathbb{N}$, and let $A, B$ be two sets of vertices in $G$ that can be separated by $k$ but no fewer than $k$ vertices. Then $G$ contains $k$ disjoint $A-B$ paths.

Proof. By assumption, every set of disjoint $A-B$ paths has cardinality at most $k$. Choose one, $\mathcal{P}$ say, of maximum cardinality. Suppose $|\mathcal{P}|<k$. Then no set $X$ consisting of one vertex from each path in $\mathcal{P}$ separates $A$ from $B$. For each $X$, let $P_X$ be an $A-B$ path avoiding $X$. Let $H$ be the union of $\bigcup \mathcal{P}$ with all these paths $P_X$. This is a finite graph in which no set of $|\mathcal{P}|$ vertices separates $A$ from $B$. So $H \subseteq G$ contains more than $|\mathcal{P}|$ paths from $A$ to $B$ by Menger’s theorem (3.3.1), which contradicts the choice of $\mathcal{P}$.

When $k$ is infinite, however, the result suddenly becomes trivial. Indeed, let $\mathcal{P}$ be any maximal set of disjoint $A-B$ paths in $G$. Then the union of all these paths separates $A$ from $B$, so $\mathcal{P}$ must be infinite. But then the cardinality of this union is no bigger than $|\mathcal{P}|$. Thus, $\mathcal{P}$ contains $|\mathcal{P}|=|\bigcup \mathcal{P}| \geqslant k$ disjoint $A-B$ paths, as desired.

-dai-xie-

图论代写

数学代写|图论代写Graph Theory代写|Homogeneous and universal graphs

与有限图不同,无限图提供了只用一个样本表示整个图属性$\mathcal{P}$的可能性,这个样本包含$\mathcal{P}$中所有的图,直到某个固定的基数。由于这个性质,这样的图被称为“全称”。

更准确地说,如果$\leqslant$是一个图关系(如小关系、拓扑小关系、子图或诱导子图关系,直至同构),我们称一个可数图$G^$为$\mathcal{P}$中的全称(对于$\leqslant$),如果$G^ \in \mathcal{P}$和$G \leqslant G^*$为所有可数图$G \in \mathcal{P}$。

在所有可数图的类别中是否有一个图是全称的?假设一个图$R$具有以下属性:
当$U$和$W$是$R$中不相交的有限顶点集时,存在一个顶点$v \in R-U-W$,它在$R$中与$U$中的所有顶点相邻,但在$W$中不相邻。
那么$R$是普遍的,即使对于最强的图关系,诱导子图关系。事实上,为了将一个给定的可数图$G$嵌入到$R$中,我们只需将其顶点$v_1, v_2, \ldots$映射到$R$,确保$v_n$映射到$v \in R$的顶点,该顶点与$G\left[v_1, \ldots, v_n\right]$中$v_n$的所有邻居的图像相邻,而不与$G\left[v_1, \ldots, v_n\right]$中$v_n$的任何非邻居的图像相邻。很明显,这个映射是$G$和$R$的子图之间的同构关系。
定理8.3.1。(Erdős和r2013.1963)
存在一个具有属性()的唯一可数图$R$。证明。为了证明存在性,我们归纳地构造了一个具有属性()的图$R$。让$R_0:=K^1$。对于所有的$n \in \mathbb{N}$,让$R_{n+1}$从$R_n$中获得,方法是为每个集合$U \subseteq V\left(R_n\right)$添加一个新顶点$v$,该顶点与$U$中的所有顶点相连,但不与$U$之外的任何顶点相连。(特别是,新顶点在$R_{n+1}$中形成一个独立的集合。)显然$R:=\bigcup_{n \in \mathbb{N}} R_n$有属性()。为了证明唯一性,设$R=(V, E)$和$R^{\prime}=\left(V^{\prime}, E^{\prime}\right)$是两个具有$()$属性的图,每个图都有一个固定的顶点枚举。我们在无限步序列中构造一个双射$\varphi: V \rightarrow V^{\prime}$,在每一步为一个新顶点$v \in V$定义$\varphi(v)$。

数学代写|图论代写Graph Theory代写|Connectivity and matching

在本节中,我们将研究门格尔定理的无限版本以及第二章中的匹配定理。无限图论的这个领域是它发展得最好的领域之一,有几个深刻的成果。然而,其中一个理论却在众多理论中脱颖而出:由Erdős推测出来的门格尔定理的一个版本,直到最近才被阿哈罗尼和伯杰证明。多年来,为证明它而开发的技术启发了这一领域的许多理论。

我们将在可数图上证明这个定理,这将占据本节的大部分时间。虽然可数的情况要简单得多,但它仍然相当困难,并且会给一般证明留下良好的印象。然后,我们以无限匹配定理的概述和以同样的精神构思的猜想结束。

回想一下门格尔定理,其最简单的形式是,如果$A$和$B$是有限图$G$中的顶点集,不一定是不相交的,如果$k=k(G, A, B)$是$G$中分离$A$和$B$的最小顶点数,那么$G$包含$k$不相交的$A-B$路径。(显然,它不能包含更多内容。)在有限的情况下,当$G$是无限的,但$k$仍然是有限的时候,同样的道理也很容易推导出来:

提案8.4.1。设$G$为任意图形$k \in \mathbb{N}$,设$A, B$为$G$中的两组顶点,这两组顶点可以用$k$分隔,但不少于$k$个顶点。那么$G$包含$k$不相交的$A-B$路径。

证明。通过假设,每一组不相交的$A-B$路径最多具有$k$的基数。选择一个,比如$\mathcal{P}$,最大基数。假设$|\mathcal{P}|<k$。那么,没有集合$X$由$\mathcal{P}$中每个路径的一个顶点组成,将$A$和$B$分开。对于每个$X$,让$P_X$是一个$A-B$路径,避免了$X$。设$H$为$\bigcup \mathcal{P}$与所有路径$P_X$的并集。这是一个有限图,其中没有一组$|\mathcal{P}|$顶点将$A$和$B$分开。因此,根据门格尔定理(3.3.1),$H \subseteq G$包含了从$A$到$B$的多个$|\mathcal{P}|$路径,这与$\mathcal{P}$的选择相矛盾。

然而,当$k$是无限的时候,结果突然变得微不足道。确实,设$\mathcal{P}$为$G$中不相交的$A-B$路径的任意极大集。所有这些路径的并集将$A$和$B$分开,所以$\mathcal{P}$一定是无限的。但是这个并集的基数不大于$|\mathcal{P}|$。因此,根据需要,$\mathcal{P}$包含$|\mathcal{P}|=|\bigcup \mathcal{P}| \geqslant k$不相交的$A-B$路径。

数学代写|图论代写Graph Theory代写

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支,研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富,各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支,涉及线性方程,如:线性图,如:以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼(John von Neumann)提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理,这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后,1944年,他与奥斯卡-莫根斯特恩(Oskar Morgenstern)共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书,该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论,使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分,最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”,是对连续变化的数学研究,就像几何学是对形状的研究,而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支,微分和积分;微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率,而积分涉及数量的累积,以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系,它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。

计量经济学代写

什么是计量经济学?
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用,使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设,并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验,然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣,还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣,计量经济学可以细分为两大类:理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

Matlab代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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