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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Partial Factorization Algorithm
We assume the reader to be familiar with the extended Euclid algorithm which computes the monic gcd of two monic polynomials in $\mathbf{K}[X]$ when $\mathbf{K}$ is a discrete field (see for example Problem 2).
1.1 Lemma If $\mathbf{K}$ is a discrete field, we have a partial factorization algorithm for the finite families of monic polynomials in $\mathbf{K}[X]$ : a partial factorization for a finite family $\left(g_1, \ldots, g_r\right)$ is given by a finite pairwise comaximal family $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ of monic polynomials and by the expression of each $g_i$ in the form
$$
g_i=\prod_{k=1}^s f_k^{m_{k, i}}\left(m_{k, i} \in \mathbb{N}\right) .
$$
The family $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ is called a partial factorization basis for the family $\left(g_1, \ldots, g_r\right)$.
D If the $g_i$ ‘s are pairwise comaximal, there is nothing left to prove. Otherwise, assume for example that $\operatorname{gcd}\left(g_1, g_2\right)=h_0, g_1=h_0 h_1$ and $g_2=h_0 h_2$ with $\operatorname{deg}\left(h_0\right) \geqslant 1$. We replace the family $\left(g_1, \ldots, g_r\right)$ with the family $\left(h_0, h_1, h_2, g_3, \ldots, g_r\right)$. We note that the sum of the degrees has decreased. We also note that we can delete from the list the polynomials equal to 1 , or any repeats of a polynomial. We finish by induction on the sum of the degrees. The details are left to the reader.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Universal Property of Polynomial Rings
A polynomial ring $\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ satisfies the universal property which defines it as the commutative ring freely generated by $\mathbf{A}$ and $n$ new elements. This is the property described by means of the evaluation homomorphism in the following terms.
1.2 Proposition Given two commutative rings $\mathbf{A}$ and $\mathbf{B}$, a homomorphism $\rho$ : $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{B}$ and $n$ elements $b_1, \ldots, b_n \in \mathbf{B}$ there exists a unique homomorphism $\varphi$ : $\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]=\mathbf{A}[X] \rightarrow \mathbf{B}$ which extends $\rho$ and which takes the $X_i$ ‘s to the $b_i$ ‘s.
This homomorphism $\varphi$ is called the evaluation homomorphism (of every $X_i$ to $b_i$ ). If $P \in \mathbf{A}[X]$ has as its image $P^\rho$ in $\mathbf{B}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$, we obtain the equality $\varphi(P)=$ $P^\rho\left(b_1, \ldots, b_n\right)$. The evaluation homomorphism is also called a specialization, and we say that $\varphi(P)$ is obtained by specializing each $X_i$ to $b_i$. When $\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$, the elements $b_1, \ldots, b_n \in \mathbf{B}$ are said to be algebraically independent over $\mathbf{A}$ if the corresponding evaluation homomorphism is injective.
By Proposition 1.2 every computation made in $\mathbf{A}[X]$ is transferred into $\mathbf{B}$ by means of the evaluation homomorphism.
Clearly, $\mathrm{S}n$ acts as a group of automorphisms of $\mathbf{A}[X]$ by permutation of the indeterminates: $(\sigma, Q) \mapsto Q\left(X{\sigma 1}, \ldots, X_{\sigma n}\right)$.
The following corollary results immediately from Proposition 1.2.
1.3 Corollary Given $n$ elements $b_1, \ldots, b_n$ in a commutative ring $\mathbf{B}$, there exists a unique homomorphism $\varphi: \mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right] \rightarrow \mathbf{B}$ which takes every $X_i$ to $b_i$.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Partial Factorization Algorithm
我们假设读者熟悉扩展欧几里得算法，该算法计算中两个单多项式的单调gcd $\mathbf{K}[X]$ 什么时候 $\mathbf{K}$ 是一个离散字段(参见示例问题2)。
1.1引理 $\mathbf{K}$ 是一个离散域，我们对一元多项式的有限族有一个部分分解算法吗 $\mathbf{K}[X]$ 有限族的部分分解 $\left(g_1, \ldots, g_r\right)$ 是由一个有限对极大族给出的 $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ 一元多项式的表达式 $g_i$ 在表格中
$$
g_i=\prod_{k=1}^s f_k^{m_{k, i}}\left(m_{k, i} \in \mathbb{N}\right) .
$$
家庭 $\left(f_1, \ldots, f_s\right)$ 叫做部分分解基的族 $\left(g_1, \ldots, g_r\right)$．
D如果$g_i$是两两最大的，就没有什么需要证明的了。否则，例如，假设$\operatorname{gcd}\left(g_1, g_2\right)=h_0, g_1=h_0 h_1$和$g_2=h_0 h_2$与$\operatorname{deg}\left(h_0\right) \geqslant 1$。我们将家庭$\left(g_1, \ldots, g_r\right)$替换为家庭$\left(h_0, h_1, h_2, g_3, \ldots, g_r\right)$。我们注意到度的总和减小了。我们还注意到，我们可以从列表中删除等于1的多项式，或者一个多项式的任何重复。我们通过对度和的归纳来完成。细节留给读者。
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Universal Property of Polynomial Rings
多项式环 $\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ 满足将其定义为由自由生成的交换环的全称性质 $\mathbf{A}$ 和 $n$ 新元素。这是用以下术语中的求值同态来描述的性质。
1.2命题给定两个可交换环 $\mathbf{A}$ 和 $\mathbf{B}$，同态 $\rho$ ： $\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{B}$ 和 $n$ 元素 $b_1, \ldots, b_n \in \mathbf{B}$ 存在唯一同态 $\varphi$ ： $\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]=\mathbf{A}[X] \rightarrow \mathbf{B}$ 它延伸了 $\rho$ 这就需要 $X_i$ 是对的。 $b_i$ ’s。
这种同态$\varphi$称为求值同态(从$X_i$到$b_i$)。如果$P \in \mathbf{A}[X]$在$\mathbf{B}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$中有像$P^\rho$，我们得到等式$\varphi(P)=$$P^\rho\left(b_1, \ldots, b_n\right)$。求值同态也称为专门化，我们说$\varphi(P)$是通过将每个$X_i$专门化到$b_i$而获得的。当$\mathbf{A} \subseteq \mathbf{B}$时，如果对应的求值同态是内射的，则称元素$b_1, \ldots, b_n \in \mathbf{B}$在$\mathbf{A}$上是代数独立的。
根据命题1.2，在$\mathbf{A}[X]$中进行的每一次计算都通过求值同态转移到$\mathbf{B}$中。
显然，$\mathrm{S}n$通过对不确定的$(\sigma, Q) \mapsto Q\left(X{\sigma 1}, \ldots, X_{\sigma n}\right)$进行排列，充当了$\mathbf{A}[X]$的一组自同构。
下面的推论直接由命题1.2得出。
在交换环$\mathbf{B}$中给定$n$个元素$b_1, \ldots, b_n$，存在一个唯一的同态$\varphi: \mathbb{Z}\left[X_1, \ldots, X_n\right] \rightarrow \mathbf{B}$，它把每个$X_i$都带到$b_i$。
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