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数学分析Mathematical Analysis应该为最好的正则函数(即在复变量/分析中处理的解析函数)和最差的正则函数(即在实际分析中处理的可测函数)之间的函数提供一种理论。
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数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation
In this section, we prove a large collection of approximation theorems. The highlights include approximating $\boldsymbol{\Omega}^p$ functions by simple functions and continuous functions of compact support. We prove that trigonometric polynomials are dense in $\boldsymbol{\Omega}^2(-\pi, \pi)$, which is the last piece of information we need to settle the question of the convergence of Fourier series of functions in $\mathfrak{Q}^2(-\pi, \pi)$. The important operation of convoluting functions makes its first debut in this section. Finally, we study approximations by $C^{\infty}$ functions, prove the $C^{\infty}$ version of Urysohn’s lemma, and prove that $\mathcal{C}_c^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$ is dense in $\boldsymbol{\Omega}^p\left(\mathbb{R}^n\right)$.
Lemma 8.7.1 (the Tietze extension theorem). Let $K$ be a compact subset of $\mathbb{R}^n$ and let $f: K \rightarrow[0,1]$ be continuous. Then $f$ can be extended to a continuous function $g \in \mathcal{C}_c\left(\mathbb{R}^n\right)$ such that $0 \leq g \leq 1$. If $K$ is contained in an open set $U$, then $g$ can be constructed in such a way that $\operatorname{supp}(g) \subseteq U$.
Proof. Let $W$ be an open set such that $\bar{W}$ is compact and $K \subseteq W \subseteq \bar{W} \subseteq U$. Let $K_1=$ $f^{-1}([0,1 / 3])$, and $K_2=f^{-1}([2 / 3,1])$. Applying lemma 8.4.1 to the closed sets $E=$ $K_1 \cup\left(\mathbb{R}^n-W\right)$, and $F=K_2$, produces a continuous function $g_1: \mathbb{R}^n \rightarrow[0,1 / 3]$ such that $g_1(E)=0$, and $g_1(F)=1 / 3$. By construction, $\operatorname{supp}\left(g_1\right) \subseteq \bar{W}$, and $0 \leq$ $f-g_1 \leq 2 / 3$ on $K$. Applying the same construction to the function $f-g_1$, we can find a function $g_2: \mathbb{R}^n \rightarrow\left[0, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right]$ such that $\operatorname{supp}\left(g_2\right) \subseteq \bar{W}$, and $0 \leq f-g_1-g_2 \leq$ $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ on the set $K$. Continuing this construction yields a sequence of continuous functions $g_i$ on $\mathbb{R}^n$ such that $\sup p\left(g_i\right) \subseteq \bar{W}, 0 \leq g_i \leq \frac{2^{i-1}}{3^i}$, and $0 \leq f-g_1-g_2 \ldots-$ $g_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ on $K$. The sequence $G_i=g_1+\ldots+g_i$ is supported in $\bar{W}$ and is Cauchy in the uniform norm on the compact set $\bar{W}$. Therefore $G_i$ converges uniformly to a continuous function $g$. Since $0 \leq f-G_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ on $K, g=$ fon K. Because each $G_i$ is supported in $\bar{W} \subseteq U$, so is $g$.
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Product Measures
Throughout this section, $(X, \mathfrak{M}, \mu)$ and $(Y, \mathfrak{N}, \nu)$ denote a pair of measure spaces. The objective of this section is to find a reasonable definition of the product measure on $X \times Y$. Fubini’s theorem is one of the section’s main results. We also settle questions about the products of Lebesgue measures in this section.
The basic definitions are motivated by the ideas found in standard calculus textbooks. Let us look at the simplest case, which is the product of two copies of the real line with Lebesgue measure, $\lambda$. The problem of computing the area of a plane region contains all the motivations for the ideas behind the definitions in this section. Figure 8.6 depicts a (bounded) plane region $E$ in $\mathbb{R}^2$. To compute the area of $E$, we take a vertical cross section $S_x$ in $E$, and the area of $E$ is obtained by integrating the length (the Lebesgue measure) of the cross section. The same can be achieved by taking a horizontal cross section $S^y$ in $E$. Thus the area (twodimensional measure) of $E$, denoted $\rho(E)$, is given by
$$
\rho(E)=\int_{\mathbb{R}} \lambda\left(S_x\right) d x=\int_{\mathbb{R}} \lambda\left(S^y\right) d y .
$$
We also wish the two-dimensional measure $\rho$ to preserve the property that the area of a rectangle is the product of its dimensions. More generally, if $A$ and $B$ are measurable subsets of $\mathbb{R}$, then it should be the case that
$$
\rho(A \times B)=\lambda(A) \lambda(B) .
$$
Now see theorem 8.8.9, where the definition of the product measure appears.
Before we can achieve any of the above goals, we need to define a reasonable $\sigma$ algebra in $X \times Y$ where our expectations can materialize. Geometry dictates that the product of two intervals (or, more generally, measurable subsets) $A$ and $B$ in $\mathbb{R}$ ought to be measurable in the product space. This immediately suggests that we look at the smallest $\sigma$-algebra that contains all rectangles, and this provides the motivation of the definitions below of the product of measurable spaces.
数学分析代写
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Approximation
在本节中，我们将证明大量的近似定理。重点包括通过简单函数逼近$\boldsymbol{\Omega}^p$函数和紧支持的连续函数。我们证明了$\boldsymbol{\Omega}^2(-\pi, \pi)$中的三角多项式是密集的，这是我们解决$\mathfrak{Q}^2(-\pi, \pi)$中傅里叶级数的收敛问题所需要的最后一条信息。卷积函数的重要操作在本节中首次出现。最后，我们研究了$C^{\infty}$函数的近似，证明了$C^{\infty}$版本的Urysohn引理，并证明了$\mathcal{C}_c^{\infty}\left(\mathbb{R}^n\right)$在$\boldsymbol{\Omega}^p\left(\mathbb{R}^n\right)$中是稠密的。
引理8.7.1 (Tietze扩展定理)。设$K$是$\mathbb{R}^n$的紧子集，且$f: K \rightarrow[0,1]$是连续的。然后$f$可以扩展为连续函数$g \in \mathcal{C}_c\left(\mathbb{R}^n\right)$，使得$0 \leq g \leq 1$。如果$K$包含在开放集$U$中，那么$g$可以这样构造:$\operatorname{supp}(g) \subseteq U$。
证明。让 $W$ 是一个开放的集合，这样 $\bar{W}$ 是紧凑的 $K \subseteq W \subseteq \bar{W} \subseteq U$． 让 $K_1=$ $f^{-1}([0,1 / 3])$，和 $K_2=f^{-1}([2 / 3,1])$． 将引理8.4.1应用于闭集 $E=$ $K_1 \cup\left(\mathbb{R}^n-W\right)$，和 $F=K_2$，得到一个连续函数 $g_1: \mathbb{R}^n \rightarrow[0,1 / 3]$ 这样 $g_1(E)=0$，和 $g_1(F)=1 / 3$． 从结构上看， $\operatorname{supp}\left(g_1\right) \subseteq \bar{W}$，和 $0 \leq$ $f-g_1 \leq 2 / 3$ 在 $K$． 对函数应用相同的结构 $f-g_1$，我们可以找到一个函数 $g_2: \mathbb{R}^n \rightarrow\left[0, \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3}\right]$ 这样 $\operatorname{supp}\left(g_2\right) \subseteq \bar{W}$，和 $0 \leq f-g_1-g_2 \leq$ $\left(\frac{2}{3}\right)^2$ 在片场 $K$． 继续这种构造可以得到一系列连续函数 $g_i$ 在 $\mathbb{R}^n$ 这样 $\sup p\left(g_i\right) \subseteq \bar{W}, 0 \leq g_i \leq \frac{2^{i-1}}{3^i}$，和 $0 \leq f-g_1-g_2 \ldots-$ $g_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ 在 $K$． 顺序 $G_i=g_1+\ldots+g_i$ 的支持 $\bar{W}$ 并且是紧集上一致范数中的柯西 $\bar{W}$． 因此 $G_i$ 一致收敛于连续函数 $g$． 自从 $0 \leq f-G_i \leq\left(\frac{2}{3}\right)^i$ 在 $K, g=$ 因为每个 $G_i$ 的支持 $\bar{W} \subseteq U$，我也是。 $g$．
数学代写|数学分析代写MATHEMATICAL ANALYSIS代考|Product Measures
在本节中，$(X, \mathfrak{M}, \mu)$和$(Y, \mathfrak{N}, \nu)$表示一对度量空间。本节的目的是在$X \times Y$上找到产品度量的合理定义。富比尼定理是本节的主要成果之一。在本节中，我们还解决了关于勒贝格测度的乘积的问题。
基本定义是由标准微积分教科书中的思想所激发的。让我们看一下最简单的情况，这是两条实线的乘积与勒贝格测度，$\lambda$。计算平面区域面积的问题包含了本节定义背后思想的所有动机。图8.6描述了$\mathbb{R}^2$中的(有界的)平面区域$E$。为了计算$E$的面积，我们在$E$中取一个垂直截面$S_x$，通过对截面的长度(勒贝格测量)积分得到$E$的面积。同样可以通过在$E$中取水平横截面$S^y$来实现。因此，$E$的面积(二维测度)，记为$\rho(E)$，由式给出
$$
\rho(E)=\int_{\mathbb{R}} \lambda\left(S_x\right) d x=\int_{\mathbb{R}} \lambda\left(S^y\right) d y .
$$
我们还希望二维测度$\rho$保持矩形的面积是其维度乘积的性质。更一般地说，如果$A$和$B$是$\mathbb{R}$的可测量子集，那么情况应该是
$$
\rho(A \times B)=\lambda(A) \lambda(B) .
$$
现在请看定理8.8.9，这里出现了乘积度量的定义。
在实现上述任何目标之前，我们需要在$X \times Y$中定义一个合理的$\sigma$代数，我们的期望可以在其中实现。几何学规定，$\mathbb{R}$中的两个区间(或者更一般地说，是可测量的子集)$A$和$B$的乘积在乘积空间中应该是可测量的。这立即表明，我们看一下包含所有矩形的最小$\sigma$ -代数，这提供了下面可测量空间积定义的动机。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
