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数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Isomorphisms

It turns out that the permutation groups can serve as models for all groups. For this reason, we examine permutation groups in great detail in the next chapter. In order to describe their relation to groups in general, we need the concept of an isomorphism. Before formally introducing this concept, however, we consider some examples.

Example 1 Consider a cyclic group of order 4. If $G$ is a cyclic group of order 4, it must contain an identity element $e$ and a generator $a \neq e$ in $G$. The proof of Theorem 3.21 shows that
$$
G=\left{e, a, a^2, a^3\right}
$$
where $a^4=e$. A multiplication table for $G$ would have the form shown in Figure 3.14.

In a very definite way, then, the structure of $G$ is determined. The details as to what the element $a$ might be and what the operation in $G$ might be may vary, but the basic structure of $G$ fits the pattern in the table.

Example 2 Let us consider a group related to geometry. We begin with an equilateral triangle $T$ with center point $O$ and vertices labeled $V_1, V_2$, and $V_3$ (see Figure 3.15).

The equilateral triangle, of course, consists of the set of all points on the three sides of the triangle. By a rigid motion of the triangle, we mean a bijection of the set of points of the triangle onto itself that leaves the distance between any two points unchanged. In other words, a rigid motion of the triangle is a bijection that preserves distances. Such a rigid motion must map a vertex onto a vertex, and the entire mapping is determined by the images of the vertices $V_1, V_2$, and $V_3$. These rigid motions (or symmetries, as they are often called) form a group with respect to mapping composition. (Verify this.) There are a total of six elements in the group, and they may be described as follows:

$e$, the identity mapping, that leaves all points unchanged.
$r$, a counterclockwise rotation through $120^{\circ}$ about $O$ in the plane of the triangle.
$r^2=r \circ r$, a counterclockwise rotation through $240^{\circ}$ about $O$ in the plane of the triangle.
A reflection $f$ about the line $L_1$ through $V_1$ and $O$.
A reflection $g$ about the line $L_2$ through $V_2$ and $O$.
A reflection $h$ about the line $L_3$ through $V_3$ and $O$.

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Homomorphisms

We saw in the last section that an isomorphism between two groups provides a connection that shows that the two groups have the same structure relative to their group operations. It is for this reason that the concept of an isomorphism is extremely important in algebra.
The name homomorphism is given to another important type of mapping that is related to, but different from, the isomorphism. The basic differences are that a homomorphism is not required to be one-to-one and also not required to be onto. The formal definition is as follows.
Homomorphism, Endomorphism, Epimorphism, Monomorphism phism from $G$ to $G^{\prime}$ is a mapping $\phi: G \rightarrow G^{\prime}$ such that
$$
\phi(x \circledast y)=\phi(x) \text { 函 } \phi(y)
$$
for all $x$ and $y$ in $G$. If $G=G^{\prime}$, the homomorphism $\phi$ is an endomorphism. A homomorphism $\phi$ is called an epimorphism if $\phi$ is onto, and a monomorphism if $\phi$ is one-to-one.
If there exists an epimorphism from $G$ to $G^{\prime}$, then $G^{\prime}$ is called a homomorphic image of $G$.

现代代数代写

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Isomorphisms

事实证明，排列群可以作为所有群的模型。出于这个原因，我们将在下一章详细研究置换群。为了描述它们与群的一般关系，我们需要同构的概念。然而，在正式介绍这个概念之前，我们考虑一些例子。

例1考虑一个4阶的循环群。如果$G$是一个4阶的循环组，那么它必须在$G$中包含一个标识元素$e$和一个生成器$a \neq e$。定理3.21的证明表明
$$
G=\left{e, a, a^2, a^3\right}
$$
在哪里$a^4=e$。$G$的乘法表的形式如图3.14所示。

因此，以一种非常明确的方式确定了$G$的结构。关于元素$a$可能是什么以及$G$中的操作可能是什么的细节可能会有所不同，但是$G$的基本结构符合表中的模式。

让我们考虑一个与几何有关的群体。我们从一个等边三角形$T$开始，中心点$O$，顶点分别标记为$V_1, V_2$和$V_3$(参见图3.15)。

当然，等边三角形是由三角形三条边上所有点的集合组成的。所谓三角形的刚体运动，我们指的是三角形的一组点对其自身的双射，使任意两点之间的距离保持不变。换句话说，三角形的刚性运动是保持距离的双射。这样的刚性运动必须将一个顶点映射到另一个顶点上，整个映射由顶点$V_1, V_2$和$V_3$的图像决定。这些刚性运动(或通常所说的对称运动)在映射组合方面形成了一组。(验证一下。)在这个群体中总共有六个元素，它们可以描述如下:

$e$即恒等映射，使所有点保持不变。

$r$，在三角形平面上绕$O$逆时针旋转$120^{\circ}$。

$r^2=r \circ r$，在三角形平面上绕$O$逆时针旋转$240^{\circ}$。

关于$L_1$到$V_1$和$O$这条线的反射$f$。

关于$L_2$到$V_2$和$O$这条线的反射$g$。

关于$L_3$到$V_3$和$O$这条线的反射$h$。

数学代写|现代代数代考Modern Algebra代写|Homomorphisms

我们看到两个组之间的同构提供了一种连接，表明两个组相对于它们的组操作具有相同的结构。正是由于这个原因，同构的概念在代数中是极其重要的。
同态映射是另一种重要的映射类型，它与同构相关，但又不同于同构。基本的区别是同态不需要是一对一的，也不需要是映上的。正式定义如下。
同态，自同态，外同态，单态从$G$到$G^{\prime}$的映射$\phi: G \rightarrow G^{\prime}$使得
$$
\phi(x \circledast y)=\phi(x) \text { 函 } \phi(y)
$$
有关所有$x$和$y$，请参阅$G$。如果$G=G^{\prime}$，则同态$\phi$是自同态。如果$\phi$是映上的，则同态$\phi$称为上同态，如果$\phi$是一对一的，则称为单态。
如果存在从$G$到$G^{\prime}$的上同态，则$G^{\prime}$称为$G$的同态象。

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微观经济学代写

微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着说。

线性代数代写

线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。

博弈论代写

现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。

微积分代写

微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。

它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念。

计量经济学代写

什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。

根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。