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数学代写|图论代写Graph Theory代写|Basic notions, facts and techniques
This section gives a gentle introduction to the aspects of infinity most commonly encountered in graph theory. ${ }^2$
After just a couple of definitions, we begin by looking at a few obvious properties of infinite sets, and how they can be employed in the context of graphs. We then illustrate how to use the three most basic common tools in infinite graph theory: Zorn’s lemma, transfinite induction, and something called ‘compactness’. We complete the section with the combinatorial definition of an end; topological aspects will be treated in Section 8.5.
A graph is locally finite if all its vertices have finite degrees. An infinite graph $(V, E)$ of the form
$$
V=\left{x_0, x_1, x_2, \ldots\right} \quad E=\left{x_0 x_1, x_1 x_2, x_2 x_3, \ldots\right}
$$
is called a ray, and a double ray is an infinite graph $(V, E)$ of the form
$$
V=\left{\ldots, x_{-1}, x_0, x_1, \ldots\right} \quad E=\left{\ldots, x_{-1} x_0, x_0 x_1, x_1 x_2, \ldots\right}
$$
in both cases the $x_n$ are assumed to be distinct. Thus, up to isomorphism, there is only one ray and one double ray, the latter being the unique infinite 2-regular connected graph. In the context of infinite graphs, finite paths rays and double rays are all called paths.
The subrays of a ray or double ray are its tails. Formally, every ray has infinitely many tails, but any two of them differ only by a finite initial segment. The union of a ray $R$ with infinitely many disjoint finite paths having precisely their first vertex on $R$ is a comb; the last vertices of those paths are the teeth of this comb, and $R$ is its spine. (If such a path is trivial, which we allow, then its unique vertex lies on $R$ and also counts as a tooth; see Figure 8.1.1.)
数学代写|图论代写Graph Theory代写|Paths, trees, and ends
There are two fundamentally different aspects to the infinity of an infinite connected graph: one of ‘length’, expressed in the presence of rays, and one of ‘width’, expressed locally by infinite degrees. The infinity lemma tells us that at least one of these must occur:
Proposition 8.2.1. Every infinite connected graph has a vertex of infinite degree or contains a ray.
Proof. Let $G$ be an infinite connected graph with all degrees finite. Let $v_0$ be a vertex, and for every $n \in \mathbb{N}$ let $V_n$ be the set of vertices at distance $n$ from $v_0$. Induction on $n$ shows that the sets $V_n$ are finite, and hence that $V_{n+1} \neq \emptyset$ (because $G$ is infinite and connected). Furthermore, the neighbour of a vertex $v \in V_{n+1}$ on any shortest $v-v_0$ path lies in $V_n$. By Lemma 8.1.2, $G$ contains a ray.
Often it is useful to have more detailed information on how this ray or vertex of infinite degree lies in $G$. The following lemma enables us to find it ‘close to’ any given infinite set of vertices.
Lemma 8.2.2. (Star-Comb Lemma)
Let $U$ be an infinite set of vertices in a connected graph $G$. Then $G$ contains either a comb with all teeth in $U$ or a subdivision of an infinite star with all leaves in $U$.
Proof. As $G$ is connected, it contains a path between two vertices in $U$. This path is a tree $T \subseteq G$ every edge of which lies on a path in $T$ between two vertices in $U$. By Zorn’s lemma there is a maximal such tree $T^$. Since $U$ is infinite and $G$ is connected, $T^$ is infinite. If $T^*$ has a vertex of infinite degree, it contains the desired subdivided star.
Suppose now that $T^$ is locally finite. Then $T^$ contains a ray $R$ (Proposition 8.2.1). Let us construct a sequence $P_1, P_2, \ldots$ of disjoint $R-U$ paths in $T^$. Having chosen $P_i$ for every $i$ between two vertices in $U$; let us think of $P$ as traversing this edge in the same direction as $R$. Let $w$ be the last vertex of $v P$ on $v R$. Then $P_n:=w P$ contains an $R-U$ path, and $P_n \cap P_i=\emptyset$ for all $i<n$ because $P_i \cup R w \cup P_n$ contains no cycle.
图论代写
数学代写|图论代写Graph Theory代写|Basic notions, facts and techniques
本节简要介绍图论中最常遇到的无穷问题。 ${ }^2$
在简单介绍了几个定义之后，我们开始研究无限集的几个明显的性质，以及它们如何在图的上下文中应用。然后，我们说明了如何使用无限图论中最基本的三个常用工具:佐恩引理、超限归纳法和所谓的“紧性”。我们用end的组合定义来完成本节;拓扑方面将在8.5节中讨论。
如果一个图的所有顶点都有有限度，那么这个图就是局部有限的。形式为$(V, E)$的无限图
$$
V=\left{x_0, x_1, x_2, \ldots\right} \quad E=\left{x_0 x_1, x_1 x_2, x_2 x_3, \ldots\right}
$$
称为射线，双射线是一个无限图形$(V, E)$的形式是
$$
V=\left{\ldots, x_{-1}, x_0, x_1, \ldots\right} \quad E=\left{\ldots, x_{-1} x_0, x_0 x_1, x_1 x_2, \ldots\right}
$$
在这两种情况下，假设$x_n$是不同的。因此，在同构之前，只存在一条射线和一条双射线，双射线是唯一的无限2正则连通图。在无限图中，有限路径射线和双射线都称为路径。
一条射线或双射线的分束是它的尾巴。形式上，每条射线都有无限多条尾，但其中任意两条尾只相差一个有限的初始段。射线的并集 $R$ 有无限多条不相交的有限路径正好有它们的第一个顶点 $R$ 是一把梳子;这些路径的最后一个顶点是这个梳的齿，并且 $R$ 是它的脊梁。(如果这样的路径是平凡的，我们允许，那么它的唯一顶点在 $R$ 也可以算作牙齿;见图8.1.1。)
数学代写|图论代写Graph Theory代写|Paths, trees, and ends
无限连通图的无穷有两个根本不同的方面:一个是“长度”，在射线的存在下表示，另一个是“宽度”，在局部用无限度表示。无穷引理告诉我们至少有一种情况会出现:
提案8.2.1。每一个无限连通图都有一个无限度的顶点或包含一条射线。
证明。设$G$是一个无限连通图，所有次都是有限的。设$v_0$为顶点，对于每个$n \in \mathbb{N}$，设$V_n$为距离$v_0$$n$的顶点集合。对$n$的归纳表明集合$V_n$是有限的，因此$V_{n+1} \neq \emptyset$(因为$G$是无限的并且是连通的)。此外，在任何最短$v-v_0$路径上的顶点$v \in V_{n+1}$的邻居位于$V_n$。根据引理8.1.2,$G$包含一条射线。
通常有更多关于这条射线或无限度顶点如何位于$G$的详细信息是有用的。下面的引理使我们能够找到它“接近”任何给定的无限顶点集。
引理8.2.2。(星梳引理)
设$U$为连通图$G$中的无限顶点集。那么$G$要么包含一个梳，所有的齿在$U$中，要么包含一个无限星的细分，所有的叶子在$U$中。
证明。当$G$被连接时，它包含$U$中两个顶点之间的路径。这条路径是一棵树$T \subseteq G$每条边都位于$T$中两个顶点之间的路径$U$。根据佐恩的引理，有一个极大的这样的树$T^$。因为$U$是无限的，并且$G$是连通的，所以$T^$是无限的。如果$T^*$有一个无限度的顶点，它包含所需的细分星。
假设$T^$是局部有限的。那么$T^$包含一条射线$R$(命题8.2.1)。让我们在$T^$中构造一个不相交的$R-U$路径序列$P_1, P_2, \ldots$。为$U$中两个顶点之间的每个$i$选择$P_i$;假设$P$和$R$沿同一方向穿过这条边。设$w$为$v P$在$v R$上的最后一个顶点。然后$P_n:=w P$包含一个$R-U$路径，$P_n \cap P_i=\emptyset$包含所有$i<n$路径，因为$P_i \cup R w \cup P_n$不包含循环。以上翻译结果来自有道神经网络翻译（YNMT）· 通用场景
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
