运筹学（Operation）是近代应用数学的一个分支。它把具体的问题进行数学抽象，然后用像是统计学、数学模型和算法等方法加以解决，以此来寻找复杂问题中的最佳或近似最佳的解答。
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运筹学代写
The optimal values of the dual variables in a linear program can, as we have seen, be interpreted as prices. In this section this interpretation is explored in further detail.
Sensitivity
Suppose we denote the minimal value function of the right-hand-side data vector $\mathbf{b}$ in the linear program
$\begin{aligned} z(\mathbf{b}):=& \text { minimize } \mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \ & \text { subject to } \mathbf{A x}=\mathbf{b}, \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0} \end{aligned}$
(3.9)
$3.4$ Sensitivity and Complementary Slackness
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the optimal basis is $\mathbf{B}$ with corresponding solution $\left(\mathbf{x}{\mathbf{B}}, \mathbf{0}\right)$, where $\mathbf{x}{\mathbf{B}}=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{b} . \mathbf{A}$ solution to the corresponding dual is $\mathbf{y}^{T}=\mathbf{c}{\mathbf{B}}^{T} \mathbf{B}^{-1}$. Now, assuming nondegeneracy, small changes in the vector $\mathbf{b}$ will not cause the optimal basis to change. Thus for $\mathbf{b}+\Delta \mathbf{b}$ the optimal solution is $$ \mathbf{x}=\left(\mathbf{x}{\mathbf{B}}+\boldsymbol{\Delta} \mathbf{x}{\mathbf{B}}, \mathbf{0}\right) $$ where $\boldsymbol{\Delta} \mathbf{x}{\mathbf{B}}=\mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{\Delta} \mathbf{b}$. Thus the corresponding increment in the cost function is
This equation shows that $\mathbf{y}$ gives the sensitivity of the optimal cost with respect to small changes in the vector $\mathbf{b}$. In other words, if a new program were solved with $\mathbf{b}$ changed to $\mathbf{b}+\boldsymbol{\Delta} \mathbf{b}$, the change in the optimal value of the objective function would be $\mathbf{y}^{T} \boldsymbol{\Delta} \mathbf{b}$.
This interpretation of the dual vector $\mathbf{y}$ is intimately related to its interpretation as a vector of simplex multipliers. Since $y_{i}$ is the price of the unit vector $\mathbf{e}{i}$ when constructed from the basis $\mathbf{B}$, it directly measures the change in cost due to a change be considered as the marginal price of the component $b{i}$, since if $b_{i}$ is changed to $b_{i}+\Delta b_{i}$ the value of the optimal solution changes by $y_{i} \Delta b_{i}$.
If the linear program is interpreted as a diet problem, for instance, then $y_{i}$ is the maximum price per unit that the dietitian would be willing to pay for a small amount of the $i$ th nutrient, because decreasing the amount of nutrient that must be supplied by food will reduce the food bill by $\lambda_{i}$ dollars per unit. If, as another who must select levels $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ of $n$ production activities in order to meet certain required levels of output $b_{1}, b_{2}, \ldots, b_{m}$ while minimizing production costs, the $y_{i}$ ‘s are the marginal prices of the outputs. They show directly how much the theorem to summarize the observations.
Theorem The minimal value function $z$ (b) of linear program (3.9) is a convex function, and the optimal dual solution $\mathbf{y}^{}$ is a sub-gradient vector of the function at $\mathbf{b}$, written as $\nabla z(b)=\mathbf{y}^{}$.
Proof Let $\mathbf{x}^{1}$ and $\mathbf{x}^{2}$ be the two optimal solutions of (3.9) corresponding to two right-hand-side vectors $\mathbf{b}^{1}$ and $\mathbf{b}^{2}$, respectively. Then for any scalar $0 \leq \alpha \leq 1$, $\left(\alpha \mathbf{x}^{1}+(1-\alpha) \mathbf{x}^{2}\right)$ the minimal value
$$
\begin{aligned}
\left.\mathrm{b}^{2}\right) & \leq \mathbf{c}^{T}\left(\alpha \mathbf{x}^{1}+(1-\alpha) \mathbf{x}^{2}\right) \
&=\alpha \cdot \mathbf{c}^{T} \mathbf{x}^{1}+(1-\alpha) \cdot \mathbf{c}^{T} \mathbf{x}^{2} \
&=\alpha z\left(\mathbf{b}^{1}\right)+(1-\alpha) z\left(\mathbf{b}^{2}\right)
\end{aligned}
$$
which implies the first claim.
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3 Duality and Complementarity
Furthermore, let $\mathbf{y}^{1}$ be the optimal dual solution with $\mathbf{b}=\mathbf{b}^{1}$. Note that $\mathbf{y}^{1}$ remains feasible for the dual of the primal with $\mathbf{b}=\mathbf{b}^{2}$ because the dual feasible region is independent of change in b. Thus
$z\left(\mathbf{b}^{2}\right)-z\left(\mathbf{b}^{1}\right)=\mathbf{c}^{T} \mathbf{x}^{2}-\left(\mathbf{y}^{1}\right)^{T} \mathbf{b}^{1} \quad$ (the zero-duality gap theorem) $\geq\left(\mathbf{y}^{1}\right)^{T} \mathbf{b}^{2}-\left(\mathbf{y}^{1}\right)^{T} \mathbf{b}^{1} \quad$ (the weak duality lemma) $=\left(\mathbf{y}^{1}\right)^{T}\left(\mathbf{b}^{2}-\mathbf{b}^{1}\right)$,
正如我们所见，线性程序中对偶变量的最优值可以解释为价格。在本节中，将更详细地探讨这种解释。
灵敏度
假设我们在线性规划中表示右侧数据向量 $\mathbf{b}$ 的最小值函数
$\begin{aligned} z(\mathbf{b}):=& \text { 最小化 } \mathbf{c}^{T} \mathbf{x} \ & \text { 服从 } \mathbf{A x }=\mathbf{b}, \mathbf{x} \geqslant \mathbf{0} \end{对齐}$
(3.9)
3.4 美元的灵敏度和互补的松弛度
53
最优基是 $\mathbf{B}$ 对应的解 $\left(\mathbf{x}{\mathbf{B}}, \mathbf{0}\right)$，其中 $\mathbf{x} {\mathbf{B}}=\mathbf{B}^{-1} \mathbf{b} 。 \mathbf{A}$ 对应对偶的解是 $\mathbf{y}^{T}=\mathbf{c}{\mathbf{B}}^{T} \mathbf{B}^{-1}美元。 现在，假设非退化，向量 $\mathbf{b}$ 的微小变化不会导致最优基发生变化。因此对于 $\mathbf{b}+\Delta \mathbf{b}$ 的最优解是 $$ \mathbf{x}=\left(\mathbf{x}{\mathbf{B}}+\boldsymbol{\Delta} \mathbf{x}{\mathbf{B}}, \mathbf{0}\right ) $$ 其中$\boldsymbol{\Delta} \mathbf{x}{\mathbf{B}}=\mathbf{B}^{-1} \boldsymbol{\Delta} \mathbf{b}$。因此，成本函数中的相应增量为
这个等式表明 $\mathbf{y}$ 给出了最优成本对向量 $\mathbf{b}$ 的微小变化的敏感性。换句话说，如果求解一个新程序，将 $\mathbf{b}$ 更改为 $\mathbf{b}+\boldsymbol{\Delta} \mathbf{b}$，则目标函数的最优值的变化将是 $\mathbf{y}^{T} \boldsymbol{\Delta} \mathbf{b}$。
对偶向量 $\mathbf{y}$ 的这种解释与其作为单纯形乘数向量的解释密切相关。由于 $y_{i}$ 是单位向量 $\mathbf{e}{i}$ 在由基础 $\mathbf{B}$ 构造时的价格，因此它直接衡量由于变化导致的成本变化被认为是组件 $b{i}$ 的边际价格，因为如果 $b_{i}$ 变为 $b_{i}+\Delta b_{i}$，则最优解的值会改变 $y_{ i} \Delta b_{i}$。
例如，如果将线性程序解释为饮食问题，则 $y_{i}$ 是营养师愿意为少量第 $i$ 种营养素支付的每单位最高价格，因为减少必须由食物提供的营养量将使每单位的食物费用减少 $\lambda_{i}$ 美元。如果作为另一个必须选择 $n$ 生产活动的级别 $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}$ 以满足某些所需的输出级别 $b_{1}, b_{ 2}, \ldots, b_{m}$ 在最小化生产成本的同时，$y_{i}$ 是产出的边际价格。它们直接显示了多少定理总结了观察结果。
定理线性规划(3.9)的最小值函数$z$ (b)是一个凸函数，最优对偶解$\mathbf{y}^{}$是函数在$\ mathbf{b}$，写成 $\nabla z(b)=\mathbf{y}^{}$。
证明 令 $\mathbf{x}^{1}$ 和 $\mathbf{x}^{2}$ 是 (3.9) 的两个最优解，对应于两个右手边向量 $\mathbf{b}^ {1}$ 和 $\mathbf{b}^{2}$。那么对于任何标量 $0 \leq \alpha \leq 1$, $\left(\alpha \mathbf{x}^{1}+(1-\alpha) \mathbf{x}^{2}\right)$最小值
$$
\开始{对齐}
\left.\mathrm{b}^{2}\right) & \leq \mathbf{c}^{T}\left(\alpha \mathbf{x}^{1}+(1-\alpha) \mathbf {x}^{2}\右）\
&=\alpha \cdot \mathbf{c}^{T} \mathbf{x}^{1}+(1-\alpha) \cdot \mathbf{c}^{T} \mathbf{x}^{2 } \
&=\alpha z\left(\mathbf{b}^{1}\right)+(1-\alpha) z\left(\mathbf{b}^{2}\right)
\end{对齐}
$$
这意味着第一个主张。
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3 二元性和互补性
此外，令 $\mathbf{y}^{1}$ 为 $\mathbf{b}=\mathbf{b}^{1}$ 的最优对偶解。注意 $\mathbf{y}^{1}$ 对于具有 $\mathbf{b}=\mathbf{b}^{2}$ 的原始对偶仍然是可行的，因为对偶可行域与 b 的变化无关.因此
$z\left(\mathbf{b}^{2}\right)-z\left(\mathbf{b}^{1}\right)=\mathbf{c}^{T} \mathbf{x}^ {2}-\left(\mathbf{y}^{1}\right)^{T} \mathbf{b}^{1} \quad$（零对偶间隙定理）$\geq\left(\ mathbf{y}^{1}\right)^{T} \mathbf{b}^{2}-\left(\mathbf{y}^{1}\right)^{T} \mathbf{b}^ {1} \quad$ (弱对偶引理) $=\left(\mathbf{y}^{1}\right)^{T}\left(\mathbf{b}^{2}-\mathbf{b }^{1}\right)$,
运筹学代考
什么是运筹学代写
运筹学（OR）是一种解决问题和决策的分析方法，在组织管理中很有用。在运筹学中，问题被分解为基本组成部分，然后通过数学分析按定义的步骤解决。
运筹学的过程大致可以分为以下几个步骤：
- 确定需要解决的问题。
- 围绕问题构建一个类似于现实世界和变量的模型。
- 使用模型得出问题的解决方案。
- 在模型上测试每个解决方案并分析其成功。
- 实施解决实际问题的方法。
与运筹学交叉的学科包括统计分析、管理科学、博弈论、优化理论、人工智能和复杂网络分析。所有这些学科的目标都是解决某一个现实中出现的复杂问题或者用数学的方法为决策提供指导。 运筹学的概念是在二战期间由参与战争的数学家们提出的。二战后，他们意识到在运筹学中使用的技术也可以被应用于解决商业、政府和社会中的问题。
运筹学代写的三个特点
所有运筹学解决实际问题的过程中都具有三个主要特征：
- 优化——运筹学的目的是在给定的条件下达到某一机器或者模型的最佳性能。优化还涉及比较不同选项和缩小潜在最佳选项的范围。
- 模拟—— 这涉及构建模型，以便在应用解决方案刀具体的复杂大规模问题之前之前尝试和测试简单模型的解决方案。
- 概率和统计——这包括使用数学算法和数据挖掘来发现有用的信息和潜在的风险，做出有效的预测并测试可能的解决方法。
运筹学领域提供了比普通软件和数据分析工具更强大的决策方法。此外，运筹学可以根据特定的业务流程或用例进行定制，以确定哪些技术最适合解决问题。
运筹学可以应用于各种活动，比如：计划和时间管理（Planning and Time Management），城乡规划（Urban and Rural Planning），企业资源计划（ERP）与供应链管理（Supply Chain Management）等等。 如有代写代考需求，欢迎同学们联系Assignmentexpert™，我们期待为你服务！
