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交换代数Commutative Algebra换元代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数理论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。与模块化算术有关的考虑导致了估值环的概念。代数场扩展对子环的限制导致了积分扩展和积分封闭域的概念，以及估值环扩展的公理化概念。
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数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Further Characterization of Cohen–Macaulayness
In this section we shall first use finite ring extensions as, for instance, Noether normalizations to characterize Cohen-Macaulay rings. We prove that a local ring, which is finite over a regular local ring, is Cohen-Macaulay if and only if it is free. Further, we shall introduce the projective dimension $\operatorname{pd}_A(M)$ as the length of a minimal resolution of a finitely generated module $M$ over a local ring $A$ and prove the Auslander-Buchsbaum formula,
$$
\operatorname{pd}_A(M)=\operatorname{depth}(A)-\operatorname{depth}(M)
$$
which allows to check Cohen-Macaulayness over regular local rings by computing a free resolution.
Proposition 7.8.1. Let $(A, \mathfrak{m}) \rightarrow(B, \mathfrak{n})$ be a local map of local rings (that is, $\mathfrak{m} B \subset \mathfrak{n})$, and assume that $B$ is flat over $A$. Then
(1) $\operatorname{depth}(B)=\operatorname{depth}(A)+\operatorname{depth}(B / \mathfrak{m} B)$.
(2) $B$ is Cohen-Macaulay if and only if $A$ and $B / \mathrm{m} B$ are Cohen-Macaulay.
Proof. To prove (1), let $x_1, \ldots, x_r \in \mathfrak{m}$ be a maximal regular sequence and $y_1, \ldots, y_s \in \mathfrak{n}$ induce a maximal regular sequence in $B / \mathfrak{m} B$. Let $\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r$ be the images of $x_1, \ldots, x_r$ in $B$. We shall prove that $\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r, y_1, \ldots, y_s$ is a maximal regular sequence in $\mathfrak{n}$.
Using Exercise 7.6.12, we obtain that $\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r$ is a regular sequence in $\mathfrak{n}$. Using Corollary 7.4.8, we obtain that $y_1$ is regular in $B$ and $B /\left\langle y_1\right\rangle$ is $A$-flat. Consider the exact sequence
$$
0 \longrightarrow B \stackrel{\cdot y_1}{\longrightarrow} B \longrightarrow B /\left\langle y_1\right\rangle \longrightarrow 0
$$
then, for $\bar{A}:=A /\left\langle x_1, \ldots, x_r\right\rangle$ we obtain
$$
\operatorname{Tor}_1^A\left(\bar{A}, B /\left\langle y_1\right\rangle\right) \longrightarrow \bar{A} \otimes_A B \stackrel{y_1}{\longrightarrow} \bar{A} \otimes_A B
$$
is exact. But $\operatorname{Tor}_1^A\left(\bar{A}, B /\left\langle y_1\right\rangle\right)=0$, since $B /\left\langle y_1\right\rangle$ is $A$-flat. This implies that $y_1$ is regular in $\bar{A} \otimes_A B=B /\left\langle\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r\right\rangle$. Continuing like this, we obtain that $y_1, \ldots, y_s$ is a regular sequence in $B /\left\langle\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r\right\rangle$. It remains to prove that $\operatorname{depth}\left(B /\left\langle\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r, y_1, \ldots, y_s\right\rangle\right)=0$. But this is clear, since $\mathfrak{m}^a \subset\left\langle x_1, \ldots, x_r\right\rangle$ and $\mathfrak{n}^b \subset \mathfrak{m} B+\left\langle y_1, \ldots, y_s\right\rangle$ for suitable $a, b$, which implies that $\left\langle\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r, y_1, \ldots, y_s\right\rangle$ is $\mathfrak{n}$-primary.
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Homological Characterization of Regular Rings
In this section we characterize regular rings by the property that all modules have finite projective dimension. With this characterization we can apply Hilbert’s Syzygy Theorem to obtain that the localization of a regular ring at a prime ideal is regular, and that the rings $K\left[x_1, \ldots, x_n\right]_{>}$are regular for every monomial ordering $>$.
Theorem 7.9.1 (Serre). Let $(A, \mathfrak{m})$ be a Noetherian local ring. The following conditions are equivalent.
(1) $A$ is regular.
(2) $\operatorname{pd}_A(A / \mathfrak{m})=\operatorname{dim}(A)$.
(3) $\operatorname{pd}_A(A / \mathfrak{m})<\infty$. (4) Every finitely generated A-module has finite projective dimension. Proof. (1) $\Rightarrow(2)$ : let $A$ be regular of dimension $n$. Then there exists an $A-$ sequence $x_1, \ldots, x_n$ such that $\mathfrak{m}=\left\langle x_1, \ldots, x_n\right\rangle$. Using Theorem 7.6 .14 and Corollary 7.6.10, we obtain that the Koszul complex $K\left(x_1, \ldots, x_n\right) \bullet$ is a minimal free resolution of $k=A / \mathfrak{m}$ of length $n$. This implies $\operatorname{pd}_A(A / \mathfrak{m})=\operatorname{dim}(A)$. The implication $(2) \Rightarrow(3)$ is trivial, and $(3) \Rightarrow(4)$ is a consequence of Exercise 7.8.9. (4) $\Rightarrow(1)$ : let $s:=\operatorname{edim}(A)$. We have to prove that $s=\operatorname{dim}(A)$. Because $s \geq \operatorname{dim}(A)$, we may assume $s>0$. We want to proceed by induction on s. Therefore, we need a non-zerodivisor. Assume that $\operatorname{depth}(A)=0$, then Theorem 7.8.7 implies $\operatorname{pd}_A(A / \mathfrak{m})=0$, that is, $k=A / \mathfrak{m}$ is free, which is a contradiction to $s>0$. We may choose a non-zerodivisor $x \in \mathfrak{m} \backslash \mathfrak{m}^2$. Let $B:=A /\langle x\rangle$, then $\operatorname{edim}(B)=s-1$.
We shall prove that $\operatorname{pd}_B(k) \leq \operatorname{pd}_A(k)+1$. Once we have proved this, we obtain, by induction, that $B$ is regular. This implies, using Proposition 5.6.17, that $A$ is regular. It remains to prove that $\operatorname{pd}_B(k) \leq \operatorname{pd}_A(k)+1$. Using the following exact sequence of $B$-modules
$$
0 \longrightarrow \mathfrak{m} /\langle x\rangle \longrightarrow B \longrightarrow k \longrightarrow 0
$$
it is enough to prove that $\mathrm{pd}_B(\mathfrak{m} /\langle x\rangle) \leq \mathrm{pd}_A(k)$.
交换代数代写
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Further Characterization of Cohen–Macaulayness
在本节中，我们将首先使用有限环扩展作为，例如，Noether归一化来表征Cohen-Macaulay环。证明了正则局部环上有限的局部环是Cohen-Macaulay的当且仅当它是自由的。进一步，我们将引入投影维$\operatorname{pd}_A(M)$作为有限生成模块$M$在局部环$A$上的最小分辨率的长度，并证明Auslander-Buchsbaum公式
$$
\operatorname{pd}_A(M)=\operatorname{depth}(A)-\operatorname{depth}(M)
$$
，该公式允许通过计算自由分辨率来检查正则局部环上的Cohen-Macaulayness。
提案7.8.1。设$(A, \mathfrak{m}) \rightarrow(B, \mathfrak{n})$为局部环的局部映射(即$\mathfrak{m} B \subset \mathfrak{n})$)，并假设$B$平于$A$。那么
(1) $\operatorname{depth}(B)=\operatorname{depth}(A)+\operatorname{depth}(B / \mathfrak{m} B)$ .
(2) $B$是Cohen-Macaulay当且仅当$A$和$B / \mathrm{m} B$是Cohen-Macaulay.
证明。为证明(1)，设$x_1, \ldots, x_r \in \mathfrak{m}$为极大正则序列，$y_1, \ldots, y_s \in \mathfrak{n}$在$B / \mathfrak{m} B$中引出极大正则序列。设$\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r$为$B$中$x_1, \ldots, x_r$的图像。我们将证明$\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r, y_1, \ldots, y_s$是$\mathfrak{n}$中的一个极大正则序列。
通过习题7.6.12，我们得到$\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r$是$\mathfrak{n}$中的一个正则序列。利用推论7.4.8，我们得到$y_1$在$B$中是正则的，$B /\left\langle y_1\right\rangle$是$A$ -平坦的。那么考虑精确序列
$$
0 \longrightarrow B \stackrel{\cdot y_1}{\longrightarrow} B \longrightarrow B /\left\langle y_1\right\rangle \longrightarrow 0
$$
，对于$\bar{A}:=A /\left\langle x_1, \ldots, x_r\right\rangle$我们得到
$$
\operatorname{Tor}_1^A\left(\bar{A}, B /\left\langle y_1\right\rangle\right) \longrightarrow \bar{A} \otimes_A B \stackrel{y_1}{\longrightarrow} \bar{A} \otimes_A B
$$
是精确的。但是$\operatorname{Tor}_1^A\left(\bar{A}, B /\left\langle y_1\right\rangle\right)=0$，因为$B /\left\langle y_1\right\rangle$是$A$ -平的。这意味着$y_1$在$\bar{A} \otimes_A B=B /\left\langle\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r\right\rangle$中是规则的。继续这样，我们得到$y_1, \ldots, y_s$是$B /\left\langle\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r\right\rangle$中的一个正则序列。还有待证明$\operatorname{depth}\left(B /\left\langle\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r, y_1, \ldots, y_s\right\rangle\right)=0$。但这是很清楚的，因为$\mathfrak{m}^a \subset\left\langle x_1, \ldots, x_r\right\rangle$和$\mathfrak{n}^b \subset \mathfrak{m} B+\left\langle y_1, \ldots, y_s\right\rangle$适合$a, b$，这意味着$\left\langle\tilde{x}_1, \ldots, \tilde{x}_r, y_1, \ldots, y_s\right\rangle$是$\mathfrak{n}$ -primary。
数学代写|交换代数代写Commutative Algebra代考|Homological Characterization of Regular Rings
在这一节中，我们用所有模具有有限射影维的性质来描述正则环。利用这一性质，我们可以应用Hilbert的Syzygy定理得到正则环在素理想处的局域是正则的，并且对于每一个单项式阶$>$，正则环$K\left[x_1, \ldots, x_n\right]_{>}$都是正则的。
定理7.9.1(续)。假设$(A, \mathfrak{m})$是一个诺瑟局部环。以下条件是等价的。
(1) $A$是正规的。
(2) $\operatorname{pd}_A(A / \mathfrak{m})=\operatorname{dim}(A)$。
(3) $\operatorname{pd}_A(A / \mathfrak{m})<\infty$。(4)每个有限生成的a模具有有限的射影维数。证明。(1) $\Rightarrow(2)$:设$A$为规则维度$n$。那么存在一个$A-$序列$x_1, \ldots, x_n$，使得$\mathfrak{m}=\left\langle x_1, \ldots, x_n\right\rangle$。利用定理7.6. 14和推论7.6.10，我们得到了Koszul复数$K\left(x_1, \ldots, x_n\right) \bullet$是长度为$n$的最小自由分辨率$k=A / \mathfrak{m}$。这意味着$\operatorname{pd}_A(A / \mathfrak{m})=\operatorname{dim}(A)$。隐含的$(2) \Rightarrow(3)$是微不足道的，$(3) \Rightarrow(4)$是练习7.8.9的结果。(4) $\Rightarrow(1)$:让$s:=\operatorname{edim}(A)$。我们要证明$s=\operatorname{dim}(A)$。因为$s \geq \operatorname{dim}(A)$，我们可以假设$s>0$。我们要对s进行归纳，因此，我们需要一个非零因子。假设$\operatorname{depth}(A)=0$，则定理7.8.7暗示$\operatorname{pd}_A(A / \mathfrak{m})=0$，即$k=A / \mathfrak{m}$是自由的，这与$s>0$是矛盾的。我们可以选择一个非零因子$x \in \mathfrak{m} \backslash \mathfrak{m}^2$。先让$B:=A /\langle x\rangle$，然后$\operatorname{edim}(B)=s-1$。
我们将证明$\operatorname{pd}_B(k) \leq \operatorname{pd}_A(k)+1$。一旦我们证明了这一点，我们就可以通过归纳法得到$B$是正则的。这意味着，使用命题5.6.17,$A$是正则的。还有待证明$\operatorname{pd}_B(k) \leq \operatorname{pd}_A(k)+1$。使用以下$B$ -模块的精确序列
$$
0 \longrightarrow \mathfrak{m} /\langle x\rangle \longrightarrow B \longrightarrow k \longrightarrow 0
$$
这足以证明$\mathrm{pd}_B(\mathfrak{m} /\langle x\rangle) \leq \mathrm{pd}_A(k)$。
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微观经济学代写
微观经济学是主流经济学的一个分支，研究个人和企业在做出有关稀缺资源分配的决策时的行为以及这些个人和企业之间的相互作用。my-assignmentexpert™ 为您的留学生涯保驾护航 在数学Mathematics作业代写方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的数学Mathematics代写服务。我们的专家在图论代写Graph Theory代写方面经验极为丰富，各种图论代写Graph Theory相关的作业也就用不着 说。
线性代数代写
线性代数是数学的一个分支，涉及线性方程，如：线性图，如：以及它们在向量空间和通过矩阵的表示。线性代数是几乎所有数学领域的核心。
博弈论代写
现代博弈论始于约翰-冯-诺伊曼（John von Neumann）提出的两人零和博弈中的混合策略均衡的观点及其证明。冯-诺依曼的原始证明使用了关于连续映射到紧凑凸集的布劳威尔定点定理，这成为博弈论和数学经济学的标准方法。在他的论文之后，1944年，他与奥斯卡-莫根斯特恩（Oskar Morgenstern）共同撰写了《游戏和经济行为理论》一书，该书考虑了几个参与者的合作游戏。这本书的第二版提供了预期效用的公理理论，使数理统计学家和经济学家能够处理不确定性下的决策。
微积分代写
微积分，最初被称为无穷小微积分或 “无穷小的微积分”，是对连续变化的数学研究，就像几何学是对形状的研究，而代数是对算术运算的概括研究一样。
它有两个主要分支，微分和积分；微分涉及瞬时变化率和曲线的斜率，而积分涉及数量的累积，以及曲线下或曲线之间的面积。这两个分支通过微积分的基本定理相互联系，它们利用了无限序列和无限级数收敛到一个明确定义的极限的基本概念 。
计量经济学代写
什么是计量经济学？
计量经济学是统计学和数学模型的定量应用，使用数据来发展理论或测试经济学中的现有假设，并根据历史数据预测未来趋势。它对现实世界的数据进行统计试验，然后将结果与被测试的理论进行比较和对比。
根据你是对测试现有理论感兴趣，还是对利用现有数据在这些观察的基础上提出新的假设感兴趣，计量经济学可以细分为两大类：理论和应用。那些经常从事这种实践的人通常被称为计量经济学家。
Matlab代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
